2019-2020学年安徽省黄山市屯溪第一中学高二上学期期中考试数学试题 word版

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2019-2020学年安徽省黄山市屯溪第一中学高二上学期期中考试数学试题 word版

屯溪一中2019-2020学年高二第一学期期中考试数学试卷 一、选择题 :(本大题共12小题 ,每小题5分,共60分) ‎ ‎1.已知两条直线l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0平行,则a= (  ).‎ ‎ A.-1 B.‎2 C.0或-2 D.-1或2‎ ‎2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B‎1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在(  ). ‎ A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 ‎3.设b、c表示两条直线,a、b 表示两个平面,下列命题中真命题是 A.若ba ,c∥a,则b∥c B.若ba,b∥c,则c∥a ‎ C.若c∥a,c⊥b,则a⊥b D.若c∥a,a⊥b,则c⊥b ‎ ‎4.已知直线、,平面、,给出下列命题:‎ ‎①若,且,则 ②若,且,则 ‎③若,且,则 ④若,且,则 其中正确的命题是(  )‎ A..①③ B. ②④ C. ③④ D. ①④‎ ‎5.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是 (  ).‎ ‎ A. B.∪ ‎ C.(-∞,1)∪ D.(-∞,-1)∪ ‎6.给出下面四个命题:其中正确的命题是(  )‎ ‎ ①过平面外一点,作与该平面成角的直线一定有无穷多条 ‎ ②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行 ‎ ③对确定的两异面直线,过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ‎ ④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 A. ②③ B. ②④ C. .①②③ D. ①②④‎ ‎7.已知—l—β是大小确定的一个二面角,若a、b是空间两条直线,则能使a、b所成角的为定值的一个条件是(  )‎ A.a//且b//β B.a//且b⊥β C.a⊥且b//β D.a⊥且b⊥β ‎8. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于 (  ).‎ A.1 B. C. D. ‎9.若二面角为,直线,直线,则直线与所成的角取值范围是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.正方体ABCD—的棱上到异面直线AB,CC1的距离相等的点的个数为( )‎ A.2 B.‎3 C. 4 D. 5 ‎ ‎11.如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,是侧 ‎ 棱的中点,则异面直线所成的角的大小是 (  )‎ A.30° B.45° C. 60° D. 90° ‎ ‎12.某几何体的三视图如图所示,当a+b取 最大值时,这个几何体的体积为 (  )‎ A. B. C. D. 二. 填空题(本大题共4小题 ,每小题5分,共20分)‎ ‎13.设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长,则直线xsin A+ay+c=0与 bx-ysin B+sin C=0的位置关系是________.‎ ‎14.点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最大值是 .‎ ‎15.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,点E为AA1的中点,在对角面BB1D1D上取一点M,使AM+ME最小,其最小值为________.‎ ‎16.如图,正方体,则下列四个命题: ①在直线上运动时,三棱锥的体积不变;②在直线上运动时,直线AP与平面ACD1所成角的大小不变;③在直线上运动时,二面角的大小不变;④M是平面上到点D 和距离相等的点,则M点的轨迹是过点的直线.‎ 其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号).‎ 三.解答题(本大题共有6小题,总分70分)‎ ‎17.(本题满分10分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).‎ ‎(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;‎ ‎(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.‎ ‎18. (本题满分12分)有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.‎ A C B P ‎19. (本题满分12分)如图,在三棱锥中,,,,.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的正弦值。;‎ ‎20.(本题满分12分)如图,已知,在空间四边形中,,是的中点. ‎ ‎(1)求证:平面⊥平面;‎ ‎(2)若,求几何体的体积;‎ ‎(3)若为△的重心,试在线段上找一点,使得 ‎∥平面.‎ ‎21. (本题满分12分) 如图,四棱锥 P - ABCD 的底面是菱形, PO ^ 底面 ABCD ,‎ O、E 分别是 AD、AB 的中点, AB = 6, AP = 5 , ÐBAD = 60° .‎ ‎(1)求证:平面 PAC ^ 平面 POE ;‎ ‎(2)求直线 PB 与平面 POE 所成角的正弦值;‎ ‎(3)若 F 是边 DC 的中点,求异面直线 BF 与 PA 所成角的余弦值。‎ ‎22. (本题满分12分)如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)设线段的中点为,在直线上是否存在一点,使得PM∥平面BCE?若存在,请指出点的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由;‎ ‎(III)求二面角的正切值。‎ 屯溪一中高二第一学期期中考试数学试卷参考答案 一、 选择题 ‎1.D 2.A 3.C 4.D 5.D 6.B 7.D 8.C 9.C 10.C 11.D 12.D 二. 填空题 ‎13.垂直 14. 15. 16. ①③④‎ ‎17.(本题满分10分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).‎ ‎(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;‎ ‎(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为0,当然相等.‎ ‎∴a=2,方程即为3x+y=0.‎ 当直线不过原点时,由截距存在且均不为0,得=a-2,即a+1=1,‎ ‎∴a=0,方程即为x+y+2=0.‎ 综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.‎ (2) 将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,‎ 所以 或 故 综上可知a的取值范围是(-∞,-1].‎ ‎18.(本题满分12分)有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.‎ 解 如图所示,作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面半径BC的长为r,则容器内水的体积为,V=V圆锥-V球=π(r)2·3r-πr3=πr3,‎ 将球取出后,设容器中水的深度为h,则水面圆的半径为h,从而容器内水的体积为,‎ ‎,‎ 由V=V′,得h=r.‎ A C B P A C B D P ‎19. (本题满分12分)如图,在三棱锥中,,,,.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的正弦值;‎ 证明 :(Ⅰ) 取中点,连结.‎ ‎∵PA=PB,.‎ ‎∵AC=BC,.‎ A C B E P 平面.Ì PC 平面,‎ ‎ .‎ ‎(Ⅱ)解 ,,PC=PC .‎ 又∵, . 又∵,即,‎ 且, 平面.取中点.‎ 连结. ,.‎ 是在平面内的射影, .‎ 是二面角的平面角.‎ 在直角三角形ACB中, ∵AB=BC=2, ,AB=. 在等边三角形ABP中,BE=,‎ 在中,,,BE= ,‎ ‎. ‎ 20. ‎(本题满分12分)(1)证明: 连接BD, ∵四边形ABCD 是菱形, AC ^ BD ,‎ 20. ‎ 又∵ OEBD,OE ^ AC ‎∵PO ^ 底面 ABCD, PO ^ AC, OE Ç OP = O, ‎ AC ^ 平面 POE, 又∵AC Ì 平面 PAC,‎ 平面 PAC ^ 平面 POE ‎(2)过点 B 作 BM ^ OE 于 M , 易证 PO ^ BM,OE, OE Ç OP = O, BM ^ 平面 POE PM 是 PB 在平面 POE 上的射影,ÐBPM 即为所求。‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,由平几知识得BM= ,‎ 又AP=5,OA=3,在直角三角形POA中得OP=4,‎ ‎ 在直角三角形POB中,OB= ,OP=4, PB=,‎ 在中,,‎ ‎,所以 ‎(3)取PB的中点T,AB的中点H,连BF,DH,TH.易证 DH / / BF ,TH / / PA ÐDHT 即为异面直线 BF 与 PA 所成角或其补角,在三角形PDB中,PD=5,DB=6,PB=,‎ ‎ ,‎ ‎ 在三角形PDT中,‎ ‎ , ‎ 所以,在中,,,‎ ‎21.(本题满分12分)如图,已知,在空间四边形中,, 是 的中点. (1)求证:平面⊥平面;(2)若,求几何体的体积;(3)若为△的重心,试在线段上找一点,使得∥平面.‎ ‎ 证明:(1)∵BC=AC,E为AB的中点,∴AB⊥CE.‎ 又∵AD=BD,E为AB的中点∴AB⊥DE. ‎ ‎∵,∴AB⊥平面DCE ‎∵AB平面ABC,∴平面CDE⊥平面ABC.………4分 (2) ‎∵在△BDC中,DC=3,BC=5,BD=4,∴CD⊥BD,………… 5分,‎ 在△ADC中,DC=3,AD=BD=4,AC=BC=5,∴CD⊥AD,∵∴CD⊥平面ABD.所以线段CD的长是三棱锥C-ABD的高。…………6分,‎ 又在△ADB中,DE=,‎ ‎∴VC-ABD……8分 ‎(3)在AB上取一点F,使AF=2FE,则可得GF∥平面CDE…………………9分 ‎ 取DC的中点H,连AH、EH∵G为△ADC的重心,∴G在AH上,且AG=2GH,连FG,则FG∥EH………10分 又∵FG平面CDE, EH平面CDE,∴GF∥平面CDE …………12分 ‎22.如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相 垂直,△是等腰直角三角形,‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)设线段的中点为,在直线上是否存在一点,使得PM∥平面BCE?若存在,请指出点的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由;‎ ‎(III)求二面角的正切值。‎ 解:(Ⅰ)因为平面⊥平面,平面,平面 平面,BC⊥AB,所以⊥平面所以⊥.‎ 因为为等腰直角三角形, ,所以 又因为,所以,即⊥,‎ BC Ç BE=B,所以⊥平面。 …………………………4分 ‎(Ⅱ)存在点,当为线段AE的中点时,PM∥平面 .取BE的中点N,连接CN,MN,则MN∥=∥=PC,所以四边形PMNC为平行四边形,所以PM∥CN, 因为CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内, 所以PM∥平面BCE . ……………………… 8分 另解:取AB的中点T, 连接MT,PT,证明平面MPT平行平面BCE,从而得到PM∥平面BCE .‎ ‎(Ⅲ)∵平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF平面ABCD =AB,EA平面ABEF,EA⊥AB, ‎ ‎∴ EA⊥平面ABCD,作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA。‎ 从而,FG⊥平面ABCD,作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知,BD⊥FH,因此,∠FHG为二面角F-BD-A的平面角,‎ 因为FA=FE, ∠AEF=45°,所以∠AFE=90°,∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=.FG=AF·sinFAG=‎ 在Rt△FGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,GH=BG·sinGBH=·=‎ 在Rt△FGH中,tanFHG= = ‎ 故二面角F-BD-A的正切值为. ……………………………12分
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