【数学】山东省济南市2019-2020学年高一上学期期末考试试题 （解析版）
山东省济南市 2019-2020 学年高一上学期期末考试数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 , ,则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为集合 , ,故 .
故选：C
2.命题“ ”的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】命题“ ”的否定是“ ”.
故选：C
3.函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
{ }1,0,1A = − { }0,1,2B = A B =
{ }0 { }1
{ }0,1 { }1,0,1,2-
{ }1,0,1A = − { }0,1,2B = { }0,1A B =
( )0, ,e 1xx x∀ ∈ +∞ +
( )0, ,e 1xx x∃ ∈ +∞ + ( )0, ,e 1xx x∀ ∈ +∞ < +
( )0, ,e 1xx x∃ ∈ +∞ < + ( ],0 ,e 1xx x∀ ∈ −∞ +
( )0, ,e 1xx x∀ ∈ +∞ + ( )0, ,e 1xx x∃ ∈ +∞ < +
( )2lg 2 3y x x= − −
( )1,3− ( )3,1−
( ) ( ), 3 1,−∞ − ∪ +∞ ( ) ( ), 1 3,−∞ − +∞
【解析】由题, ,即 ,解得 或 .
故选：D
4.为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】 ，据此可知，为了得到函数 的图象，
可以将函数 的图象向右平移 个单位长度.
本题选择 D 选项.
5.方程 的解所在的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 ， ，
根据零点存在性定理可知方程 的解所在的区间是 .
故选：C
6.函数 的图象大致为( )
A.
B.
2 2 3 0x x− − > ( )( )3 1 0x x− + > 3x > 1x < −
πsin(2 )4
= −y x sin 2y x=
4
π
4
π
π
8
π πsin 2 sin 24 8
− = − x x πsin 2 4
= − y x
sin2y x= π
8
2log 5x x= −
( )1,2 ( )2,3 ( )3,4 ( )4,5
2( ) log 5f x x x= + − 2 02(2) log 2 5 2f = + − = − <
2 04(4) log 4 5 1f = + − = >
2log 5x x= − ( )3,4
2( ) 1
xf x x
= +
C.
D.
【答案】A
【解析】因为 .故 为奇函数,排除 CD.
又当 时, ,排除 B.
故选：A
7.已知 , ,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 , , 。
故 ,即 .
故选：A
8.已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题 的定义域满足 ,
解得 .
又 ,故 为奇函数.
( )2 2( ) ( )11
x xf x f xxx
−− = = − = −+− + ( )f x
0x > 2( ) 01
xf x x
= >+
1
23a
−= 2
1log 3b = 1
2
1log 3c =
b a c< < b c a< <
c b a< < a b c< <
( ) ( )1
02 0,3 0 13 ,a
−= ∈ = 2 2
1log log 1 03b = < = 1 2
2
1log log 3 13c = = >
0 1b a c< < < < b a c< <
( ) 3
2log 2
xf x x
−= +
( ) ( )1 0f a f a+ − > a
1, 2
−∞
11, 2
−
( )2,2− ( )1,2−
( ) 3
2log 2
xf x x
−= + ( )( )2 0 2 2 02
x x xx
− > ⇒ − + <+
2 2x− < <
( ) ( ) 3 3
2 2log lo2 1 0g2
x xf x f x x x
− ++ − = ⋅ =+ =−
( )f x
又 ,且 在 为减函数,故
在 为减函数.故 为减函数.
故 即 .所以
,解得 .
故选：B
二､多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.
9.若 , ,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】对 A,因为 , ,故 ,故 A 错误.
对 B,因为 , ,故 ,故 ,故 B 正确.
对 C,取 易得 ,故 C 错误.
对 D,因为 为增函数,故 D 正确.
故选：BD
10.下列函数中,最小值为 2 的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】AB
【解析】对 A, ,当且仅当 时取等号.故 A 正确.
( ) 3 3
2 4log log 12 2
xf x x x
− = = − + + +
4
2y x
= +
( )2,2−
41 2y x
= − + +
( )2,2− ( )f x
( ) ( )1 0f a f a+ − > ( ) ( ) ( )1 1f a f a f a> − − = −
2 2
2 1 2
1
a
a
a a
− < <
− < − <
< −
11, 2a ∈ −
0a b> > 0d c< <
ac bc> a d b c− > − 1 1
d c
< 3 3a b>
0a b> > 0c < ac bc<
0a b> > 0d c< < d c− > − a d b c− > −
2, 1d c= − = − 1 1
d c
>
( ) 3f x x=
2 2 3y x x= + +
e ex xy −= +
1 πsin , 0,sin 2y x xx
= + ∈
3 2xy = +
( )22 2 3 1 2 2y x x x= + + = + + ≥ 1x = −
对 B, ,当且仅当 时取等号.故 B 正确.
对 C, .取等号时 ,又 故不可
能成立.故 C 错误 .
对 D,因为 ,故 .故 D 错误.
故选：AB
11.函数 在一个周期内的图象如图所示,则( )
A. 该函数的解析式为
B. 该函数的对称中心为
C. 该函数的单调递增区间是
D. 把函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,可得到该
函数图象
【答案】ACD
【解析】由图可知 ,函数的周期为 ,故 .即
,代入最高点 有 .因为
.故 .故 A 正确.
2e e e 2ex x x xy − −= ⋅≥ =+ 0x =
1 1sin 2 sin 2sin sin
= + ≥ ⋅ =y x xx x
1sin sin
=x x
π0, 2x ∈
3 0xy = > 3 2 2xy = + >
( )( )si πn 0, 0,0ω ϕ ω ϕ= + > > <
2b =
( ) 32f x x
= − ( ),0−∞ ( )0,+∞
存在跟随区间 则有 ,即 为 的两根.
即 ,无解.故不存在.故 B 正确.
对 C, 若函数 存在跟随区间 ,因为 为减函数,故
由跟随区间的定义可知 ,
即 ,因为 ,所以 .
易得 .
所以 ,令 代入化简可得 ,同理
也满足 ,即 在区间 上有两根不相等的实数根.
故 ,解得 ,故 C 正确.
对 D,若 存在“3 倍跟随区间”,则可设定义域为 ,值域为 .当
时,易得 在区间上单调递增,此时易得 为方程
的两根,求解得 或 .故存在定义域 ,使得值域为 .
故 D 正确.
故选：BCD
三､填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. ______.
【答案】-5
【解析】 .
故答案为：
14.“密位制”是一种度量角的方法,我国采用的“密位制”是 6000 密位制,即将一个圆周角分为
6000 等份,每一个等份是一个密位,那么 120 密位等于______弧度.
( ) 32f x x
= − [ ],a b
32
32
a a
b b
= −
= −
,a b 32 xx
− =
2 2 3 0x x− + =
( ) 1f x m x= − + [ ],a b ( ) 1f x m x= − +
1 1 1
1
b m a a b a b
a m b
= − + ⇒ − = + − +
= − +
a b<
( )( ) ( ) ( )1+ 1 1 1a b a b a b a b− + + = + − + = − a b< 1+ 1 1a b+ + =
0 1 1 1a b≤ + < + ≤
( )1 1 1a m b m a= − + = − − + 1t a= + 2 0t t m− − =
1t b= + 2 0t t m− − = 2 0t t m− − = [ ]0,1
1 4 0
0
m
m
+ >
− ≥
1 ,04m ∈ −
( ) 21
2f x x x= − + [ ],a b [ ]3 ,3a b
1a b< ≤ ( ) 21
2f x x x= − + ,a b
21 32 x x x− + = 0x = 4x = − [ ]4,0− [ ]12,0−
3
2
log 4 33 27− =
( )3
2 2
log 4 33 33 27 4 43 9 5= −− − = −=
5−
【答案】
【解析】由题, 120 密位等于
故答案为：
15.已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，则 .
【答案】
【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
.
考点：函数奇偶性的应用.
16.已知函数 ,若方程 有四个不同的解 ,且
,则 的最小值是______, 的最大值是______.
【答案】 (1). 1 (2). 4
【解析】画出 的图像有：
因为方程 有四个不同的解 ,故 的图像与 有四个不同的交
点,又由图, , 故 的取值范围是 ,故 的最小值是 1.
又由图可知, , ,故
,故 .
故 .
π
25
120 π2π6000 25
× =
25
π
( )f x [0, )x∈ +∞ 2( ) 2f x x x= + ( 1)f − =
3−
( )f x R [0, )x∈ +∞ 2( ) 2f x x x= +
2( 1) (1) (1 2 1) 3f f− = − = − + × = −
( ) 2
0.5
2 1, 0
log , 0
x x xf x x x
− − += >
( )f x a= 1 2 3 4, , ,x x x x
1 2 3 4x x x x< < < a ( )4 1 2 2
3 4
16x x x x x
⋅ + + ⋅
( ) 2
0.5
2 1, 0
log , 0
x x xf x x x
− − += >
( )f x a= 1 2 3 4, , ,x x x x ( )f x y a=
( )0 1f = ( )1 2f − = a [ )1,2 a
1 2
1 21 22
x x x x= − ⇒ + = −+
0.5 3 0.5 4log logx x=
0.5 3 0.5 4 0.5 3 4log log log 0x x x x= − ⇒ = 3 4 1x x =
( )4 1 2 42
3 4 4
16 162x x x xx x x
⋅ + + = −⋅ +
又当 时, .当 时, ,故 .
又 在 时为减函数,故当 时 取最大值
.
故答案为：(1). 1 (2). 4
四､解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.已知集合 , .
(1)当 时,求 , ;
(2)若 是 的充分不必要条件,求实数 的取值范围.
解：(1)因为 ,所以 ,
所以有 ,
.
(2)若 是 的充分不必要条件,
则有 MN,
所以 .
18.在平面直角坐标系 中,已知角 的终边与以原点为圆心的单位圆交于点 .
(1)请写出 , , 的值;
(2)若角 满足 .
(ⅰ)计算 的值;
(ⅱ)计算 的值.
解：(1)由三角函数定义可知:
, , .
(2)(法一)
(ⅰ)由题意可知: ,
1a = 0.5 4 4log 1 2x x− = ⇒ = 2a = 0.5 4 4log 2 4x x− = ⇒ = [ )4 2,4x ∈
4
4
162y x x
+= − [ )4 2,4x ∈ 4 2x = 4
4
162y x x
+= −
162 2 42y += − × =
{ }1 4M x x= − < < { }0N x x a= − >
1a = M N∩ M N∪
x M∈ x∈N a
1a = { }1N x x= >
{ }1 4M N x x∩ = < <
{ }1M N x x∪ = > −
x M∈ x∈N
1a ≤ −
xOy α 3 4,5 5P −
sinα cosα tanα
β ( )cos 0α β+ =
tan β
2
2
cos
sin 2 sin
β
β β+
4sin 5
α =
3cos 5
α = − 4tan 3
α = −
cos cos sin sin 0α β α β− =
即 ,
所以有: .
(ⅱ)原式
.
(法二)
(ⅰ)由题意可知: ,
所以 ,
(ⅱ)由 ,可知 或
原式
19.已知函数 .
(1)求 的最小正周期;
(2)当 时,
(ⅰ)求函数 的单调递减区间;
(ⅱ)求函数 的最大值､最小值,并分别求出使该函数取得最大值､最小值时的自变量
的值.
解：(1)由题意可知:
.
因为 ,所以 的最小正周期为 .
cos cos sin sinα β α β=
1 3tan tan 4
β α= = −
2
2 2
cos 1
2sin cos sin 2tan tan
β
β β β β β= =+ +
16
15
= −
π π,2 k kα β+ = + ∈Z
π 1 3tan tan π cot2 tan 4kβ α α α
= + − = = = −
2 2sin cos 1
sin 3tan cos 4
β β
ββ β
+ = = = −
3sin 5
4cos 5
β
β
= −
=
3sin 5
4cos 5
β
β
=
= −
2
2
16
cos 1625
24 92sin cos sin 15
25 25
β
β β β= = = −+ − +
( ) 22sin cos 2 3 cos 3f x x x x= + −
( )f x
π0, 2x ∈
( )f x
( )f x x
( ) sin 2 3 cos2f x x x= + 1 32 sin 2 cos22 2x x
= +
π2sin 2 3x = +
2π π2T = = ( )f x π
(2)(ⅰ)因为 ,所以 ,
因为 , 的单调递减区间是 ,
且由 ,得 ,
所以 的单调递减区间为 .
(ⅱ)由(ⅰ)可知当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
且 , ,
所以:当 时, 取最大值为 2,
当 时, 取最小值为 .
20.济南新旧动能转换先行区,承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想,肩负着山东
省新旧动能转换先行先试的重任,是全国新旧动能转换的先行区.先行区将以“结构优化､质量
提升”为目标,通过开放平台汇聚创新要素,坚持绿色循环保障持续发展,建设现代绿色智慧新
城.2019 年某智能机器人制造企业有意落户先行区,对市场进行了可行性分析,如果全年固定
成本共需 2000(万元),每年生产机器人 (百个),需另投人成本 (万元),且
,由市场调研知,每个机器人售价 6 万元,且全年生产
的机器人当年能全部销售完.
(1)求年利润 (万元)关于年产量 (百个)的函数关系式;(利润=销售额-成本)
(2)该企业决定:当企业年最大利润超过 2000(万元)时,才选择落户新旧动能转换先行区.请问
该企业能否落户先行区,并说明理由.
解：(1)当 时,
π0, 2x ∈
π π 4π2 ,3 3 3z x = + ∈
siny z= π 4π,3 3z ∈
π
2
4π, 3
π π 4π22 3 3x≤ + ≤ π π
12 2x≤ ≤
( )f x π
12
π, 2
π0,12x ∈
( )f x
2
π π,12x ∈
( )f x
π π2sin 212 2f = =
π 4π2sin 32 3f = = −
( ) π0 2sin 33f = =
π
12x = ( )f x
π
2x = ( )f x 3−
x ( )C x
( )
210 200 ,0 40
10000601 4500, 40
x x x
C x
x xx
+ < <= + −
( )L x x
0 40x< <
;
当 时,
所以
(2)当 时,
所以 ,
所以当 时, ;
当 时,
所以 ,
当且仅当 ,即 时,
所以 .
故该企业能落户新旧动能转换先行区.
21.已知函数 ( ,且 ),且 .
(1)求实数 的值;
(2)判断函数 的奇偶性并证明
(3)若函数 有零点,求实数 的取值范围.
解：(1)因为 解得
(2) 是奇函数.由 得:
故 ,所以 是奇函数
(3)方法一:
( ) 2 26 100 10 200 2000 10 400 2000L x x x x x x= × − − − = − + −
40x≥
( ) 10000 100006 100 601 4500 2000 2500L x x x xx x
= × − − + − = − +
( )
210 400 2000,0 40
100002500 , 40
x x x
L x
x xx
− + − < <
= − + ≥
0 40x< <
( ) ( )2210 400 2000 10 20 2000L x x x x= − + − = − − +
20x = ( ) ( )max 20 2000L x L= =
40x≥
( ) 10000 100002500 2500 2 2500 200 2300L x x xx x
= − + − ⋅ = − =
10000x x
= 100x =
( ) ( )max 100 2300 2000L x L= = >
( ) 41 2 xf x a a
= − + 0a > 1a ≠ ( ) 11 3f =
a
( )f x
( ) ( ) 1g x kf x= − k
( ) 4 11 1 2 3f a a
= − =+ 2a =
( )f x 2a = ( ) 4 2 11 2 2 2 2 1
x
x xf x
−= − =⋅ + +
( ) ( )2 1 1 2
2 1 1 2
x x
x xf x f x
−
−
− −− = = = −+ +
( )f x
代入 可得
因为 有零点,所以 有实根.
显然 不是 的实根,所以 有实根.
设 , , .因为 .
①当 时, ,所以 ,
所以
②当 时, ,
所以
综上, 的值域为
所以,当 时, 有实根,
即 有零点
方法二:代入 可得
因为 有零点,所以 有实根.
所以 有实根.
显然, 时上式不成立,所以 有实根
因为 ,
所以
所以 或 .
所以,当 时, 有实根.
2a = ( ) 2 1
2 1
x
xf x
−= +
( ) 2 1 12 1
x
xg x k
−= ⋅ −+ ( ) 2 1 1 02 1
x
xg x k
−= ⋅ − =+
0x = ( ) 0g x = 2 1
2 1
x
xk
+= −
2xt = ( ) 1
1
th t t
+= −
( ) ( )0,1 1,t ∈ +∞ ( ) 21 1h t t
= + −
( )0,1t ∈ ( )1 1,0t − ∈ − 1 11t
< −−
( ) 21 11h t t
= + < −−
( )1,t ∈ +∞ ( )1 0,t − ∈ +∞
( ) 21 11h t t
= + >−
( )h t ( ) ( ), 1 1,−∞ − +∞
( ) ( ), 1 1,k ∈ −∞ − +∞
2 1
2 1
x
xk
+= −
( ) 2 1 12 1
x
xg x k
−= −+
2a = ( ) 2 1
2 1
x
xf x
−= +
( ) 2 1 12 1
x
xg x k
−= ⋅ −+ ( ) 2 1 1 02 1
x
xg x k
−= ⋅ − =+
( )1 2 1xk k− = +
1k = 12 1
x k
k
+= −
2 0x >
1 01
k
k
+ >−
1k < − 1k >
( ) ( ), 1 1,k ∈ −∞ − +∞
12 1
x k
k
+= −
即 有零点
22.数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数
的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.
(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算
性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果 ,且
, ,那么 ;
(2)请你运用上述对数运算性质计算 的值;
(3)因为 ,所以 的位数为 4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你
运用所学过的对数运算的知识,判断 的位数.(注 )
解：(1)方法一:设 所以
所以 所以 ,得证.
方法二:设 所以
所以 所以 所以
所以
方法三:
因
所以
所以 得证.
(2)方法一:
.
方法二:
为
( ) 2 1 12 1
x
xg x k
−= −+
0a >
1a ≠ 0M > ( )log logn
a aM n M n= ∈R
lg3 lg8 lg16
lg 4 lg9 lg 27
+
( )10 3 42 1024 10 ,10= ∈ 102
20202019 lg 2019 3.305≈
logax M= xM a=
( )nn x nxM a a= = log logn
a aM nx n M= =
logax n M= loga
x Mn
=
x
na M= x na M= log n
ax M=
log log n
a an M M=
log n
a M na M= ( )log loga a
nn M M na a M= =
log logn
a aM n Ma a=
log logn
a aM n M=
3 4
2 2 3
lg3 lg8 lg16 lg3 lg 2 lg 2
lg 4 lg9 lg 27 lg 2 lg3 lg3
+ = +
lg3 3lg 2 4lg 2
2lg 2 2lg3 3lg3
= +
lg3 17lg 2
2lg 2 6lg3
= ⋅ 17
12
=
.
(3)方法一:设 ,
所以 所以
所以 所以
因为 所以 所以 的位数为 6677
方法二:设 所以
所以 所以 所以 因为
,
所以 有 6677 位数,即 的位数为 6677
( )4 9 27
lg3 lg8 lg16 log 3 log 8 log 16lg 4 lg9 lg 27
+ = +
( )2 2 3
3 4
2 3 3log 3 log 2 log 2= + 2 3 3
1 3 4log 3 log 2 log 22 2 3
= + 2 3
1 17log 3 log 22 6
= ⋅
17
12
=
2020 110 2019 10k k+< < *k ∈N
2020lg 2019 1k k< < + 2020lg 2019 1k k< < +
2020 3.305 1k k< × < + 6675.1 6676.1k< <
*k ∈N 6676k = 20202019
20202019 N= 2020lg 2019 lg N=
2020 3.305 lg N× = lg 6676.1N = 6676.1 0.1 667610 10 10N = = ×
0.11 10 10< <
N 20202019
