2019-2020学年内蒙古赤峰市高一上学期联合考试数学试题（解析版）

2019-2020学年内蒙古赤峰市高一上学期联合考试数学试题（解析版）

2019-2020 学年内蒙古赤峰市高一上学期联合考试数学试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先求出集合 ，再根据交集的定义，即可得解. 【详解】 解：因为 ， . 故选：D 【点睛】 本题考查交集的运算，属于基础题. 2．若 ，且 ( ，且 )，则 可能的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】要 时， ，得函数 ( ，且 )为增函数，进而可得 结果. 【详解】 因为 ，且 ， 所以函数 ( ，且 )为增函数， 故 ， 所以 可能的取值为 . 故选：A. 【点睛】 本题考查幂函数的单调性，是基础题. { }1,2,3,4,5A = { }| 3B x x= − < − A B = { }5 { }1,2 { }3,4,5 { }4,5 B { }| 3B x x= − < − { }| 3B x x∴ = > { }1,2,3,4,5A = { }4,5A B∴ = m n< m na a< 0a > 1a ≠ a 3 2 1 2 1 3 1 4 m n< m na a< xy a= 0a > 1a ≠ m n< m na a< xy a= 0a > 1a ≠ 1a > a 3 2 3．已知函数 ，则 （ ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】根据分段函数的解析式代入求函数值即可. 【详解】 ， ， 故选：C 【点睛】 本题主要考查了分段函数的解析式，求函数值，属于容易题. 4．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数定义域的求法，求得函数 的定义域. 【详解】 由于 的定义域为 ，所以 ，所以函 数 的定义域为 . 故选：B 【点睛】 本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 5．已知某停车场规定:停车时间在 3 小时内，车主需交费 5 元，若停车超过 3 小时，每 多停 1 小时，车主要多交 3 元，不足 1 小时按 1 小时计算.一辆汽车在该停车场停了 7 小时 20 分钟，在离开时车主应交的停车费为（ ） A．16 元 B．18 元 C．20 元 D．22 元 【答案】C 【解析】根据题意按照 8 小时计算停车费即可. 2 1, 0 ( ) 1 , 0 x x f x x xx − + ≥ =  + <   ( )( )3f f ＝ 1 4 25 4 100 9 (3) 4 2f = − = − 25 25( (3)) ( 2) 2 4f f f  ∴ = − = − =   ( )f x [0,2] 2 ( 1) 1 f xy x += − [ 1,1]− ( 1,1)− [0,1) (1,2]∪ [0,2] 2 ( 1) 1 f xy x += − ( )f x [ ]0,2 2 0 1 2 1 1 1 11 0 1 x x xx x ≤ + ≤ − ≤ ≤ ⇒ ⇒ − < < − ≠ ≠ ±  2 ( 1) 1 f xy x += − ( 1,1)− 【详解】 由已知得 7 小时 20 分钟按 8 小时计算， 所以停车费为 元. 故选：C. 【点睛】 本题考查分段收费问题，是基础题. 6．下列函数既是奇函数又是减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】逐一判断选项中函数的单调性和奇偶性即可. 【详解】 ， ， 所以 为奇函数， 又 为减函数， 为增函数 为减函数， 故 既是奇函数又是减函数. 另外 A. 不是减函数；B. 不是奇函数；C. 不 是奇函数. 故选：D. 【点睛】 本题考查函数的单调性和奇偶性，是基础题. 7．函数 的零点 所在区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先判断函数的单调性，再利用零点存在定理得到零点所在的区间. 5 (8 3) 3 20+ − × = ( ) 3f x x= ( ) 2 3x xf x −= − 2( )f x x= − + ( ) 0.2 5x xf x = − 1( ) 0.2 5 5 5 55 x x x x x xf x − = − = − = −   ( ) 5 ( )5x xf x f x−−∴ − = = − ( ) 0.2 5x xf x = − 5−= xy 5xy = ( ) 0.2 5x xf x∴ = − ( ) 0.2 5x xf x = − ( ) 3f x x= ( ) 2 3x xf x −= − 2( )f x x= − + ( ) 6 72xf x = − 0x (2,3) (1,2) (4,5) (3,4) 【详解】 因为 在 上单调递增， ， ， 所以 . 故选：A. 【点睛】 本题考查零点存在定理的应用，求解时要先判断函数的单调性，再判断区间端点函数值 的正负. 8．函数 f(x)=x2+ 的图象大致为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用奇偶性排除选项C、D；利用 时， ,排除 A,从而可得 结论. 【详解】 ∵f( x)=( x)2+ =x2+ =f(x), ∴f(x)是偶函数,其图象关于 y 轴对称,排除 C,D； 又 时， ,排除 A, 故选：B. 【点睛】 本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高 考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可 循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特 ( ) 6 72xf x = − R (2) 0f < (3) 0f > 0 (2, 3)x ∈ 2 ln| | 2 x x x → +∞ ( )f x → +∞ − − 2 ln| | 2( ) x x − − 2 ln| | 2 x x x → +∞ ( )f x → +∞ 殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将 不合题意的选项一一排除. 9．设 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据指数函数、幂函数单调性，判断出 三者的大小关系. 【详解】 由于 在 上递减，所以 ；由于 在 上递增，所以 ，所以 ，即 . 故选：C 【点睛】 本小题主要考查指数式比较大小，考查指数函数、幂函数单调性，属于基础题. 10．若函数 满足 ，则 在 上的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据 ，利用配凑法求出函数 解析式，求值域即可. 【详解】 因为 ， 所以 . 因为 ， 所以 . 函数值域为 ， 故选：B 【点睛】 本题主要考查了求函数解析式，函数的值域，属于容易题. 0 , 0 , ,x x x x+ −→ → → +∞ → −∞ 1 1 1 5 3 51 1 1, ,4 4 3a b c     = = =           , ,a b c a b c< < a c b< < b a c< < b c a< < , ,a b c 1 4 x y  =    R 1 1 5 31 1 4 4    >       1 5y x= R 1 1 5 51 1 3 4    >       1 1 1 5 5 31 1 1 3 4 4      > >           b a c< < ( )f x 3( 2) 2 xf x x ++ = + ( )f x [1 )∞，＋ [2 )∞，＋ (1 2]， ( 2]∞－ ， 4(0, 3   3( 2) 2 xf x x ++ = + ( )f x 2 1( 2) 2 xf x x + ++ = + 1 1( ) 1xf x x x += = + 1x 1 ( ) 2f x< ≤ (1 2]， 11．已知函数 在 上的最大值为 ，则 m 的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数图象，结合图象可以观察所得. 【详解】 的图象如下图： 对称轴为 ， 令 ，得 . 因为 ， 所以数形结合可得 或 . 故选：D 【点睛】 本题主要考查了函数的图象，数形结合的思想，属于中档题. 12．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到 ，且 ，解不等式得 解. 2( ) 2 3f x x x= − − [ ]1 m－ ， ( )f m ( 11]－ ， ( 1,1 2 2]− + [1 2 2, )+ +∞ ( 1,1] [1 2 2, )− ∪ + +∞ ( )f x 1, (1) 4x f= = 2 2 3 4x x− − = 1 2 2x = ± ( 1) 0f − = 1 1m− <  1 2 2m + 2 2 1 1( ) log 1 3| |f x x x  = + + +   (lg ) 3f x > 1 ,1010      1, (10, )10  −∞ ∪ +∞   (1,10) 1 ,1 (1,10)10  ∪   1 lg 1x− < < lg 0x ≠ 【详解】 由题得函数的定义域为 . 因为 ， 所以 为 上的偶函数， 因为函数 都是在 上单调递减. 所以函数 在 上单调递减. 因为 ， 所以 ，且 ， 解得 . 故选：D 【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、填空题 13．已知函数 ，若 ，则 ______. 【答案】 【解析】根据分段函数,代入自变量即可求解. 【详解】 函数 所以当 时, ,即 无解; 当 , ,即 ,解得 综上可知, 故答案为: 【点睛】 ( ,0) (0, )−∞ +∞ ( ) ( )f x f x− = ( )f x ( ,0) (0, )−∞ +∞ 2 1 11 3| |y yx x = + = +， (0, )+∞ ( )f x (0, )+∞ (1) 3, (lg ) 3 (1)f f x f= > = 1 lg 1x− < < lg 0x ≠ 1 ,1 (1,10)10x  ∈ ∪   2 6, 0,( ) log ( ), 0, x xf x x x +=  − <  ( ) 5f a = a = 32− 2 6, 0,( ) log ( ), 0, x xf x x x +=  − <  0a ≥ ( ) 6 6f a a= + ≥ ( ) 5f a = 0a < 2( ) log ( ) 5f a a= − = 32a− = 32a = − 32a = − 32− 本题考查了分段函数的简单应用,根据函数值求自变量,属于基础题. 14．用“ ”“ ”“ ”“ ”填空:0______ ， ______ . 【答案】 【解析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系进行回答即可. 【详解】 易知 ， ，则第二空要填“ ”. 故答案为： ； . 【点睛】 本题考查元素与集合，集合与集合之间的关系，注意确定集合中元素的意义，是基础题. 15．已知奇函数 的定义域为 ，且在 上单调递减，则不等式 的解集为__________. 【答案】 【解析】首先根据函数奇偶性，判断出 在定义域内递减，由此化简不等式 ，求得不等式的解集. 【详解】 由于 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减，所以 ，且 在 上递减.所以由 得 ， ， ， ，解得 ， 所以不等式的解集为： . 故答案为： 【点睛】 本小题主要考查根据函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题. 16．若函数 ( ，且 )有最大值，且最大值不小 ∈ ∉ ⊆ ⊇ N { |1 3}x x  { | 1 ln(3 )}x y x x= − + − ∈ ⊇ 0 N∈ { | 1 ln(3 )} { |1 3}x y x x x x= − + − = < ⊇ ∈ ⊇ ( )f x ( 1,1)− ( 1,0]− ( 1) (2 1) (0)f x f x f− + − < 2 ,13      ( )f x ( 1) (2 1) (0)f x f x f− + − < ( )f x ( )1,1− ( 1,0]− ( )0 0f = ( )f x ( )1,1− ( 1) (2 1) (0)f x f x f− + − < ( 1) (2 1) 0f x f x− + − < ( 1) (2 1)f x f x− < − − ( 1) (1 2 )f x f x− < − 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 x x x x − < − < − < − <  − > − 2 ,13x  ∈   2 ,13      2 ,13      ( )2 2( ) log 2 4af x x ax a= − + + 0a > 1a ≠ 于 ，则 的取值范围为______. 【答案】 【解析】根据题意首先可得到 ，再求出内层函数的最小值，代入外层函数求最 大值，可得 ，解不等式即可. 【详解】 因为 的函数值可取到无穷大， 所以要函数 ( ，且 )有最大值， 则必有 ， 又 的最小值为 4， 所以 ， 又因为 ， 所以 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查复合函数的值域问题，注意由内而外确定函数最值，是基础题. 三、解答题 17．设集合 ， ， . （1）求 ， ； （2）若 ，求 ； （3）若 ，求 的取值范围. 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】（1）先可求出 ，再利用交集，并集的运算求解即可； （2）由（1）得 ，然后代入 ，即可求得 ； 1− a 10, 4     0 1a< < log 4 1a − 2 2 2( ) 2 4 ( ) 4g x x ax a x a= − + + = − + ( )2 2( ) log 2 4af x x ax a= − + + 0a > 1a ≠ 0 1a< < 2 2 2( ) 2 4 ( ) 4g x x ax a x a= − + + = − + max 1( ) log 4 1 4af x a = − ⇒  0a > 10 4a<  10, 4     { | 2 4}A x x= − < < { }| 2 8xB x= < { | 8}C x a x a= < < + A B A B 2a = ( )RB C∩ A C⊆ a { | 2 3}A B x x∩ = − < < { | 4}A B x x∪ = < R( ) { |3 10}C x xB ∩ = < 4 2a− −  { | 3}B x x= < R { | 3}B x x=  2a = ( )RB C∩ （3）由 可得到 ，解不等式组求出 的范围即可. 【详解】 （1）由已知得 ， 所以 ， ； （2）由（1）得 ， 当 时， ， 所以 .； （3）因为 ， 所以 ， 解得 . 【点睛】 本题考查集合的交并补的运算，考查集合的包含关系的含义，是基础题. 18．（1）求值 ； （2）求值 . 【答案】（1）7（2） 【解析】直接利用指数幂的运算，对数的运算性质求解即可. 【详解】 （1）原式 ； （2）原式 . 【点睛】 本题考查指数幂的运算和对数的运算性质，是基础题. 19．已知函数 （1）判断 在 上的单调性（不需要证明）； （2）若 在 上为单调函数，求 的取值范围. A C⊆ 2 8 4 a a −  +   a { | 3}B x x= < { | 2 3}A B x x∩ = − < < { | 4}A B x x∪ = < R { | 3}B x x=  2a = { | 2 10}C x x= < < R( ) { |3 10}C x xB ∩ = < A C⊆ 2 8 4 a a −  +   4 2a− −  0.5 0 21 ( 2)16 π −  + + −   21 log 5lg 400 2lg 2 2 +− − 8− 11 1 2 4 1 2 74 − = + + = + + =   400lg 400 lg 4 2 5 lg 10 2 10 84 = − − × = − = − = − 2 ln( ) 1, 1,( ) 1, 1. x xf x x ax x − + < −= − + − −  ( )f x ( , 1)−∞ − ( )f x ( , )−∞ +∞ a 【答案】（1） 在 上为减函数（2） 【解析】（1）根据复合函数单调性的判断原则，同增异减，可得答案； （2）分段函数为单调函数，则每一段具有相同的单调性，可得 在 上也为 减函数，另外根据函数左边一段的最小值不能小于右边一段的最大值，列不等式求解. 【详解】 解：（1） 在 上为减函数， 在 为增函数， 在 上为减函数， 在 上为减函数； （2）由（1）知， 在 上为减函数， 则 在 上也为减函数， 所以 ，且 ， 解得 . 【点睛】 本题考查分段函数的单调性，注意各段之间的最值关系，是基础题. 20．尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如， 地震释放出的能量 (单位:焦耳)与地震里氏震级 之间的关系为 . (1)已知地震等级划分为里氏 级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于 级的为 “小地震”,介于 级到 级之间的为“有感地震”,大于 级的为“破坏性地震”若某次 地震释放能量约 焦耳，试确定该次地震的类型; (2)2008 年汶川地震为里氏 级,2011 年日本地震为里氏 级,问:2011 年日本地震所释放 的能量是 2008 年汶川地震所释放的能量的多少倍? (取 ) 【答案】(1) 破坏性地震 (2) 倍 【解析】(1)先阅读题意，再计算 ，即可得解； (2)结合地震释放出的能量 (单位:焦耳)与地震里氏震级 之间的关系为 ，再求出 ，再求解即可. 【详解】 ( )f x ( , 1)−∞ − 3 2a− −  ( )f x [ 1, )− +∞ y x= − R lny x= (0, )+∞ ln( )y x∴ = − ( ,0)−∞ ( )f x∴ ( , 1)−∞ − ( )f x ( , 1)−∞ − ( )f x [ 1, )− +∞ 12 a − 2( 1) 1 ln1 1a− − − − + 3 2a− −  E M 4.8 1.5lgE M= + 12 2.5 2.5 4.7 4.7 1210 8 9 10 3.2= 32 12 10 4.8 = 4.81.5 lgM −= E M 4.8 1.5lgE M= + 1 2 ,E E 解:(1)当某次地震释放能量约 焦耳时, ， 代入 ,得 . 因为 ,所以该次地震为“破坏性地震”. (2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为 . 由题意知, ， 即 , 所以 取 ,得 故 2011 年日本地震所释放的能量是 2008 年汶川地震的 倍. 【点睛】 本题考查了对数函数在实际问题中的应用，重点考查了阅读，处理实际问题的能力，属 中档题. 21．已知 为二次函数，且 ， . （1）求 的解析式； （2）设 ，若关于 的方程 在 上有解，求 的最大值. 【答案】（1） （2）4 【解析】（1）设 ，根据条件，列方程组求出 即可； （2）将关于 的方程 在 上有解转化为 在 有解，利用换元法求出 的最大值即可得结果. 【详解】 （1）设 ， ， . 102 1210E = 4.8 1.5lg E M= + 12 10 4.8 12 4.8= 4.81.5 1.5 lgM − −= = 4. 8 4.7> 1 2,E E 1 2 16.8, 18.3lg E Ig E= = 16.8 18.3 1 210 , 10E E= = 1.52 1 10 10 10E E = = 10 3.2= 2 1 32E E = 32 ( )f x (0) 1f = ( 2) ( ) 16 8f x f x x+ − = + ( )f x 2( ) (4 )g x k x= − x ( ) ( ) 0f x g x− = 1 ,3  +∞    k 2( ) 4 4 1f x x x= − + 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ , ,a b c x ( ) ( ) 0f x g x− = 1 ,3  +∞    2 1 4k x x = − + 1 ,3  +∞    2 1 4 x x − + 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ (0) 1f = 1c∴ = ，解得 ， ； （2）由（1）得， . 由 ，得 ，所以 . 令 ， 则 ， 因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以当 ，即 时， 取得最大值 4， 所以 的最大值为 4. 【点睛】 本题考查待定系数法求二次函数的解析式，考查单调性求函数最值，注意将有解问题转 化函数最值问题，考查学生的转化能力和计算能力，难度不大. 22．已知函数 ， . （1）解方程 ； （2）判断 在 上的单调性，并用定义加以证明； （3）若不等式 对 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） 或 （2）在 上单调递减，在 上单调递增，证 明见解析 （3） 【解析】（1）由已知得 ，解方程即可； （2）任取 ，且 ，则 ，分 ( )2 2( 2) ( ) ( 2) ( 2) 4 4 2 16 8f x f x a x b x c ax bx c ax a b x+ − = + + + + − + + = + + = + 4 16 4 2 8 a a b =∴ + = 4 4 a b =  = − 2( ) 4 4 1f x x x∴ = − + 2( ) ( ) 4 1f x g x kx x− = − + 2 4 1 0kx x− + = 2 1 4kx x= − + 2 1 4k x x = − + 1 (0 3)t tx = < < 2 2 2 1 4 4 ( 2) 4k t t tx x = − + = − + = − − + 2( 2) 4y t= − − + ( )0,2 ( )2,3 2t = 1 2x = 2( 2) 4t− − + k 2( ) log log 4xf x x= + ( ) ( 0)ag x x ax = + > ( ) 3f x = ( )g x (0, )+∞ ( ) 1f x m − (1, )x∈ +∞ m 2x = 4x = (0, )a [ , )a +∞ ( ,1 2 2]−∞ + 2 2( ) log 3log 2xf x x = + = 1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2x x< ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 x x ag x g x x x x x −− = − 和 讨论可得答案； （3）将不等式 对 恒成立问题转化为 ， 的最小值问题，求出 的最小值即可得 的取值范围. 【详解】 （1）由已知 . 所以 ，得 或 ， 所以 或 ； （2）任取 ，且 ，则 . 因为 ，且 ， 所以 ， . 当 时， 恒成立， ，即 ； 当 时， 恒成立， ，即 . 故 在 上单调递减，在 上单调递增； （3） ， ， 令 ， . 由（2）知， 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ， 所以 ， 1 2x x a< < 1 2a x x< ( ) 1f x m − (1, )x∈ +∞ 2 2 2( ) log logf x x x = + (1, )x∈ +∞ ( )f x m 4 2 2 2( ) log loglog l 1 2 ogf x x xx x = + = + 2 2( ) log 3log 2xf x x = + = 2log 1x = 2log 2x = 2x = 4x = 1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a a x x ag x g x x x x xx x x x   −− = − + − = −   1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2x x< 1 2 0x x− < 1 2 0x x > 1 2x x a< < 1 2 0x x a− < ( ) ( )1 2 0g x g x− > ( ) ( )1 2g x g x> 1 2a x x< 1 2 0x x a− > ( ) ( )1 2 0g x g x− < ( ) ( )1 2g x g x< ( )g x (0, )a [ , )a +∞ 2 2 2( ) log logf x x x = + (1, )x∈ +∞ 2log (0, )t x= ∈ +∞ 2( ) ( 0)h t t tt = + > 2( )h t t t = + (0, 2) [ 2, )+∞ min( ) ( 2) 2 2h t h= = 1 2 2m −  即 ， 故 的取值范围是 . 【点睛】 本题考查函数单调性的判断和证明，考查函数不等式恒成立问题，转化为最值问题即可， 是中档题. 1 2 2m + m ( ,1 2 2]−∞ +