2020高中数学 第一章 解三角形 阶段复习课 第1课 解三角形学案 新人教A版必修5

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2020高中数学 第一章 解三角形 阶段复习课 第1课 解三角形学案 新人教A版必修5

第一课 解三角形 ‎[核心速填]‎ ‎1.正弦定理 ‎(1)公式表达:===2R.‎ ‎(2)公式变形:‎ ‎①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;‎ ‎②sin A=,sin B=,sin C=;‎ ‎③a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;‎ ‎④====2R.‎ ‎2.余弦定理 ‎(1)公式表达:‎ a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B,c2=a2+b2-2abcos_C.‎ ‎(2)推论:cos A=,cos B=,cos C=.‎ ‎3.三角形中常用的面积公式 ‎(1)S=ah(h表示边a上的高);‎ ‎(2)S=bcsin A=acsin B=absin C;‎ ‎(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).‎ ‎[体系构建]‎ - 9 -‎ ‎[题型探究]‎ 利用正、余弦定理解三角形 ‎ 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.‎ ‎(1)证明:A=2B;‎ ‎(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小. ‎ ‎【导学号:91432090】‎ ‎[解] (1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).‎ 又A,B∈(0,π),故08,应舍去,所以x=4-3≈3.9,即这条公路的长约为‎3.9 km.‎ ‎(2)在△ABD中,由正弦定理得=,所以sin∠ABD=sin∠CBD=·sin∠ADB==0.8,所以cos∠CBD=0.6.在△CBD中,sin∠DCB=sin(∠CBD+∠BDC)=sin(∠CBD+75°)=0.8×0.26+0.6×0.97=0.79,由正弦定理得CD=sin∠DBC×≈3.9.故景点C与景点D之间的距离约为‎3.9 km.‎ ‎[规律方法] 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题,测量高度问题,测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图,把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个定理转化,用哪个定理求解,并进行作答,解题时还要注意近似计算的要求.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3.如图13,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方‎20 km和‎54 km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号,8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号,在当时气象条件下,声波在水中的传播速度是‎1.5 km/s.‎ - 9 -‎ 图13‎ ‎(1)设A到P的距离为x km,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;‎ ‎(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到‎0.01 km). ‎ ‎【导学号:91432092】‎ ‎[解] (1)由题意得PA-PB=1.5×8=12(km),‎ PC-PB=1.5×20=30(km).‎ ‎∴PB=x-12,PC=18+x.‎ 在△PAB中,AB=‎20 km,‎ cos∠PAB===.‎ 同理cos∠PAC=.‎ ‎∵cos∠PAB=cos∠PAC,‎ ‎∴=,解得x=.‎ ‎(2)作PD⊥a于D,在Rt△PDA中,PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB=x·=≈17.71(km).‎ 所以静止目标P到海防警戒线a的距离为‎17.71 km.‎ 与三角形有关的综合问题 ‎[探究问题]‎ ‎1.如图14所示,向量与的夹角是∠B吗?在△ABC中,两向量·的数量积与余弦定理有怎样的联系?‎ 图14‎ - 9 -‎ 提示:向量与的夹角是∠B的补角,大小为180°-∠B,‎ 由于·=||·||cos A=bccos A.‎ 所以·=bccos A=(b2+c2-a2),有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角形问题.‎ ‎2.在解三角形的过程中,求某一个角有时既可以用余弦定理,也可以用正弦定理,两种方法有什么利弊呢?‎ 提示:用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角,但计算比较复杂.用正弦定理计算相对比较简单,但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小,所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角,避免讨论.‎ ‎ 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知·=2,cos B=,b=3.求:‎ ‎(1)a和c的值;‎ ‎(2)cos(B-C)的值. ‎ ‎【导学号:91432093】‎ 思路探究:(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理,列出关于a,c的方程组即可求解.‎ ‎(2)由(1)结合正弦定理分别求出B,C的正、余弦值,利用差角余弦公式求解.‎ ‎[解] (1)由·=2得cacos B=2.‎ 又cos B=,所以ac=6.‎ 由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.‎ 又b=3,所以a2+c2=9+2×6×=13.‎ 解得或 因为a>c,所以a=3,c=2.‎ ‎(2)在△ABC中,‎ sin B===,‎ 由正弦定理,得sin C=sin B=×=.‎ 因为a=b>c,所以C为锐角,‎ 因此cos C===.‎ - 9 -‎ 于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C ‎=×+×=.‎ 母题探究:1.(变条件,变结论)将本例中的条件“a>c,·=2,cos B=,b=‎3”‎变为“已知S△ABC=30且cos A=”求·的值.‎ ‎[解] 在△ABC中,cos A=,‎ ‎∴A为锐角且sin A=,‎ ‎∴S△ABC=bcsin A=bc·=30.‎ ‎∴bc=156.‎ ‎∴·=||·||cos A ‎=bccos A=156×=144.‎ ‎2.(变条件,变结论)在“母题探究‎1”‎中再加上条件“c-b=‎1”‎能否求a的值?‎ ‎[解] 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc(1-cos A)=1+2×156×=25,∴a==5.‎ ‎[规律方法] 正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化,为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据,而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合,通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.‎ ‎(1)解三角形与向量的交汇问题,可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.‎ ‎(2)解三角形与其他知识的交汇问题,可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换,通过等价转化或构造方程及函数求解.‎ - 9 -‎
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