【数学】安徽省合肥市高升学校2019-2020学年高一上学期期中考试试题（解析版）
安徽省合肥市高升学校 2019-2020 学年
高一上学期期中考试试题
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合 A.= ,则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 集合 , ,
又 , ，故选 C.
2.设全集 ,则 等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得： ，
结合交集的定义可得：
故选 C.
3.与函数 是同一个函数的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数 的定义域、值域均为 .
A, 的值域为 ，与 的值域不同,故 A 不正确.
B．由对数的运算性质有 ，与 是同一函数,故 B 正确.
}{ }{ }{1,2 , 1,2,3 , 2,3,4B C= = ( )A B∩ C∪ =
}{1,2,3 }{1,2,4
}{1,2,3,4 }{2,3,4
{ } { }1,2 , 1,2,3A B= = { }1,2A B A∴ ∩ = =
{ }2,3,4C = { }( ) 1,2,3,4A B C∴ ∩ ∪ =
, { | 2 2}, { | 1}U M x x N x x= = − ≤ ≤ =
< −或
( ) { }| 2UC M N x x= < −
y x=
2y x= ( )log 0, 1x
ay a a a= > ≠
2xy x
= ( )log 0, 1a xy a a a= > ≠
y x= R
2y x= [0, )+∞ y x=
( )log = 0, 1x
ay a x a a= > ≠ y x=
C． 函数 的定义域为 与 的定义域不同, 故 C 不正确.
D． 函数 的定义域为 ，与 的定义域不同, 故 D 不正确.
故选：B.
4.已知点 在幂函数 的图象上，则 的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
则 的表达式为
5.下列函数中，在区间 不是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于 A， ，为指数函数，且 2＞1，在区间 是增函数，
对于 B， ，为二次函数，对称轴为 ，在区间 是增函数，
对于 C， ，为幂函数，3＞0，在区间 是增函数，
对于 D， 为反比例函数，在区间 是减函数，
故选：D ．
6.函数 的定义域是（ ）
A. B.
2xy x
= { | 0}x x ≠ y x=
( )log 0, 1a xy a a a= > ≠ (0, )+∞ y x=
3( ,3)3M ( )f x ( )f x
1
2( )f x x=
1
2( )f x x
−=
2( )f x x= 2( )f x x−=
( )f x xα= 33 ( )3
α= 2α = −
( )f x ( ) 2f x x−=
( )0, ∞+
2xy = 2 1y x x= + +
3y x= 1y x
=
2xy = (0, )+∞
2 1y x x= + + 1
2x = (0, )+∞
3y x= (0, )+∞
1y x
= (0, )+∞
( )1
2
log 3 2y x= −
[ )1,+∞ 2 ,13
C. D.
【答案】B
【解析】函数 的定义域为 ，解得 ，
函数 的定义域是 ，故选 B.
7.设函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当 时， ,得 .所以
当 时， ，得 所以
综上 或 .故选: C
8.函数 的单调增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由 解得 或 ，由于 为 上的增函数，而
开口向上，故 在 时递减，根据复合函数单调性同增异
减可知 在区间 上递增.故选 D.
9.函数 与 在同一坐标系中 图像只可能是（ ）的
2 ,13
2 ,3
+∞
( )1
2
log 3 2y x= − ( )1
2
3 2 0
| log 3 2 0
x
x x
− > − >
2| 13x x < ≤
( )1
2
log 3 2y x= − 2 ,13
( )
1
2
1 , 02
, 0
x
x
f x
x x
≤ =
>
( ) 1f a > a
( )1,1− ( )1,− +∞
( ) ( ),0 1,−∞ ∪ +∞ ( ) ( ), 1 1,−∞ − +∞
0a ≤ ( ) 1( ) 12
af a = > 0a < 0a <
0a > ( ) 1
2 1f a a= > 1a > 1a >
1a > 0a <
2
1
2
log ( 5 6)y x x= − +
5
2
+ ∞ ， (3 )+ ∞，
5
2
−∞ ， ( 2)−∞，
2 5 6 0x x− + > 2x < 3x > 1
2
logy x= ( )0, ∞+
2 5 6y x x= − + 2 5 6y x x= − + 2x <
( )2
1
2
log 5 6y x x= − + ( ),2−∞
xy a= log ( 0, 1)ay x a a= − > ≠且
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当 时， 是增函数， 是减函数，且前者图像恒过定点 ，
后者图像恒过定点 ，故 A 正确，B、D 错误；
当 时， 是减函数， 是增函数，故 C 错.
综上，选 A.
10.若 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由指数函数的单调性有：
， .
由对数函数的单调性有： ，所以 .
故选：D
11.定义在 R 上的偶函数 满足对任意 ，有 ，
则当 时，有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【 解 析 】 依 题 意 可 知 ， 函 数 满 足 对 任 意 ， 有
1a > xy a= logay x= − ( )0,1
( )1,0
0 1a< < xy a= logay x= −
0.76a = 60.7b = 0.7log 6c =
b c a< < b a c< <
c a b< < c b a< <
0.7 06 6 1a = > = 6 00.7 0.7 1b = < =
0.7 0.7log 6 log 1 0c = < = a b c> >
( )f x ( ]( )1 2 1 2, ,0x x x x∈ −∞ ≠ ( ) ( )2 1
2 1
0f x f x
x x
− >−
*n∈N
( ) ( ) ( )1 1f n f n f n− < − < + ( ) ( ) ( )1 1f n f n f n− < − < +
( ) ( ) ( )1 1f n f n f n+ < − < − ( ) ( ) ( )1 1f n f n f n+ < − < −
( )f x ( ]( )1 2 1 2, ,0x x x x∈ −∞ ≠
，也即函数 在 上单调递增，由于 为偶函数，故函数
在 上 单 调 递 减 . 而 ， 且 ， 故
，即 .故选 C.
12.已知函数 的最小值是-3，则函数 的最大值是（ ）
A. 10 B. 7
C. 4 D. 1
【答案】B
【解析】设 ,
则
所以 为奇函数. ，
当 取得最小值时， 有最小值，且为 ，
所以 的最小值为 , 的最大值为 5.
当 取得最大值 5 时， 有最大值 7.
故选：B
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卷的相应位置.）
13.集合 非空真子集个数为___________________.
【答案】6
【解析】 的非空真子集有： ， ， , , .
故答案为: 6
14.若函数 f(x)=kx2+(k-1)x+2 是偶函数，则 k 的值是 .
【答案】1
【解析】由题意得
15. ______.
( ) ( )2 1
2 1
0f x f x
x x
− >− ( )f x ( ],0−∞ ( )f x
[ )0,+∞ ( ) ( )f n f n− = 0 1 1n n n≤ − < < +
( ) ( ) ( )1 1f n f n f n+ < < − ( ) ( ) ( )1 1f n f n f n+ < − < −
( ) 1ln 21
x bf x a x x
−= + ++
( )f x
1g( ) ln 1
x bx a x x
−= ++
1 1( ) ln ln ( )1 1
x b x bg x a a g xx x x x
− − +− = + = − = −− − −
g( )x ( ) g( ) 2f x x= +
g( )x ( )f x 3−
g( )x 5− g( )x
g( )x ( )f x
{ }, ,a b c
{ }, ,a b c { }a { }b { }c { },a b { },a c { },b c
1 0, 1k k− = =
1
2
100
36lg 20 log 25 49
+ + =
【答案】
【解析】
.
故答案为： .
16.下列四个判断：
①若 在 上是增函数，则 ；
②函数 的最大值是 2；
③函数 的最小值是 1；④函数 是偶函数；
其中正确命题的序号是______________（写出所有正确的序号）.
【答案】②③④
【解析】①. 的对称轴为 ， 在 上是增函数，则 .所
以①不正确.
②.设 ，则 ，由对数函数的单调性可得
，故②正确.
③设 ，根据指数函数单调性有 ,故③正确.
④函数 , , ,所以 奇
函数，则 为偶函数, 故④正确.
故答案为：②③④
三、解答题（本大题共 6 题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知对数数函数 （ ，且 ）的图像经过点 ，求 ，
， 的值.
解：由题意知 ，即 ，而 且 ，
所以 ， ，所以 ，
20
7
1
12 2 2
100
36 6lg 20 log 25 lg 20 lg5 [( ) ]49 7
+ + = + +
6 6 20=lg(20 5) 27 7 7
× + = + =
20
7
( ) 2 2f x x ax= − [ )1,+∞ 1a =
( )2
2log 2 3y x x= − + +
2 xy = ( ) ( )2lg 1f x x x x= + +
( ) 2 2f x x ax= − x a= ( )f x [ )1,+∞ 1a ≤
2 2 3t x x= − + + 2 22 3= ( 1) 4 4t x x x= − + + − − + ≤
( )2
2 2log 2 3 log 4 2x x− + + ≤ =
0t x= ≥ 0 =12 2xy ≥=
( )2( ) lg 1g x x x= + + ( )2g( ) lg 1x x x− = − + + ( ) ( ) 0g x g x+ − = ( )g x
( ) ( )2lg 1f x x x x= + +
( ) logaf x x= 0a > 1a ≠ ( )9,2 ( )1f
1
3f
( )3f
( )9 log 9 2af = = 2 9a = 0a > 1a ≠
3a = ( ) 3logf x x= ( ) 31 log 1 0f = =
，
.
18.已知全集 ， 或 ， 且
求:（1）
（2） .
解：（1）∵ ，
∴ .
（2）∵ 或 ，
∴ .
19.求下列函数的值域：
（1） ，
（2）
（3）
解：（1）∵ ，
当 时， ，当 时， ，
∴函数的值域为 .
（2）∵ ，∴函数的值域为 .
（3）令 ，则 ，
∵ ，∴当 时， ，
∴函数的值域为 .
-1
3 3 3
1 1log log 3 log 3 13 3f = = = − = −
( ) 33 log 3 1f = =
U = R { | 1A x x= ≤ − }3x ≥ { | 2 3 1,B x x x= − < − }0x >
A B
( )RC A B∪
{ } { }| 2 3 1, 0 | 0 2B x x x x x x= − < − > = < <且
{ } { }| 1 3 | 0 2A B x x x x x= ≤ − ≥ < < = ∅ 或
{ | 1A x x= ≤ − }3x ≥ { }| 0 2B x x= < <
( ) { } { }| 1 3 | 0 2RC A B x x x x= − < < < < { }| 1 3x x= − < <
2 2y x x= − + [ ]1,4x∈ −
2
3
xy x
+= −
2 2 11
3
x x
y
− − =
( )21 1y x= − − +
1x = max 1y = 4x = min 8y = −
[ ]8,1−
( )3 5
3
xy x
− − += −
51 3 x
= − + − 1≠ − { }| 1y y ≠ −
2 2 1t x x= − − 1
3
t
y =
( )21 2 2t x= − − ≥ − 2t = −
2
max
1 93y
− = =
( ]0,9
20.已知集合 ， ，若 ，求实数 的值.
解：∵ ，
∴当 时， ，则 ，
当 时， ，∵ ，
∴ 或 ，即 或 ，
综上可知， 的值为 ， ，0.
21.已知函数 .
（1）判断 的奇偶性，并证明；
（2）利用定义证明 在区间 上是增函数.
解：（1）函数 的定义域为 ，关于原点对称,
任取一个 ，则 ， 因为 ，
所以， ，即 奇函数.
（2）任取 ， ，使得 ，
，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 在区间 上是增函数.
22.已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（1）求 的值；
（2）求此函数在 上的解析式；
是
{ }2| 4 3 0P x x x= − + = { }| 3 0S x ax= + = S P⊆ a
{ } { }2| 4 3 1,3P x x x= − + =
S = ∅ 0a = S P⊆
S ≠ ∅ 3S a
= − S P⊆
3 1a
− = 3 3a
− = 3a = − 1a = −
a 3− 1−
( ) e 1
e 1
x
xf x
−= +
( )f x
( )f x ( )0, ∞+
( )f x R
x∈R x− ∈R ( ) e 1
e 1
x
xf x
−= +
( ) ( )
1 1e 1 1 ee
1e 1 1 e1e
x xx
x x
x
f x f x
−
−
−− −− = = = = −+ ++
( )f x
1x 2x 2 1 0x x> >
( ) ( ) ( )
( )( )
2 12 1
2 1 1 22 1
2 e ee 1 e 1
e 1 e 1 e 1 e 1
x xx x
x x x xf x f x
−− −− = − =+ + + +
2 1e ex x>
( )
( )( )
2 1
1 2
2 e e
0
e 1 e 1
x x
x x
−
>
+ +
( ) ( )2 1f x f x>
( )f x ( )0, ∞+
( )f x R 0x > 2( ) 2f x x x= +
(0)f
R
（3）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
解：（1） 为 R 上的奇函数， ；
（2）设 ，则 ，
，
又 为奇函数， ，
即 ，
.
（3） 在 上为增函数，
且 ， 为 R 上的奇函数，
为 R 上的增函数，
原不等式可变形为：
即 ，对任意 恒成立，
（分离参数法）
另法：即 ，对任意 恒成立，
，解得： ， 取值范围 .为
t ∈R 2 2( 2 ) ( 2 ) 0f t t f k t− + − < k
