江苏省南师大附校2013届高三12月学情反馈数学试题

江苏省南师大附校2013届高三12月学情反馈数学试题

南师大附校2012-2013学年度第一学期高三年级学情反馈（2012.12）‎ ‎ 数学试卷 学校 班级 考号 姓名__________________________‎ ‎ ‎ uuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuuuuuuuu ‎ 时间 120 分钟 满分 160 分 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1．函数的最小正周期为 ▲ ‎ ‎2.设集合，则集合A中有 ▲ 个元素.‎ ‎3．函数的单调减区间是 ▲ ‎ ‎4.若是虚数单位)，则乘积的值是 ▲ ‎ ‎5.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是　　▲　　． ‎ ‎6．给出一个算法：‎ ‎ Read x ‎ If ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 根据以上算法，可求得 ▲ ‎ ‎7.椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为 ▲ ‎ ‎8.向量，的夹角为，， 则 ▲ ． ‎ ‎9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则A、B为焦点，过点C的椭圆的离心率 ▲ ‎ ‎10.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：，请你求OF的方程： ‎ ‎（ ▲ ）.‎ ‎ ‎ O P1‎ P0‎ P2‎ ‎11．如图，点P是单位圆上的一个动点，它从初始位置开始沿单位圆按逆时针方向运动角（）到达点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横坐标为，则的值等于 ▲ ‎ ‎12．设实数满足 则的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎13.满足条件的三角形的面积的最大值是______▲ _________.‎ ‎14 对于总有≥0 成立，则= ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.在△ABC中，A,B,C分别为a,b,c边所对的角，且．‎ ‎⑴求的值；‎ ‎⑵若a =2，求△ABC的面积S的最大值．‎ ‎16．已知点P(3, 4)是椭圆＝1 (a>b>0) 上的一点，F1、F2是它的两焦点，若PF1⊥PF2，求：(1) 椭圆的方程； (2) △PF1F2的面积． ‎17.已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如图1）。现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB，设M是AB的中点。‎ ‎（1）求证：BC⊥平面AEC；‎ ‎（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由。‎ ‎18.某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形（线段和为两个底边），已知 其中是以为顶点、为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．‎ A B C D E F P Q R ‎ ‎ ‎19. 已知过点,且与:关于直线对称.‎ ‎(Ⅰ)求的方程；‎ ‎(Ⅱ)设为上的一个动点,求的最小值；‎ ‎(Ⅲ)过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 已知函数定义域为(),设.‎ ‎(Ⅰ)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；‎ ‎(Ⅱ)求证:；‎ ‎(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.‎ 南师大附校2012-2013学年度第一学期高三年级学情反馈（2012.12）‎ ‎ 数学试卷 全卷满分160分，考试时间120分钟 一、填空题：本大题共14小题；每小题5分，共70分．‎ ‎1. 2. 　　　　　　　　　3. 4. ‎ ‎ ‎ ‎5. 6. 7. 8. 9. ‎ ‎10. 11. 12. 13. 14. ‎ 二、解答题：本大题共5小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ ‎ ‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ ‎ ‎ ‎17．（本小题满分15分）‎ ‎ ‎ A B C D E F P Q R ‎18．（本小题满分15分）‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ ‎ ‎ 学校 班级 考号 姓名__________________________‎ ‎ ‎ uuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuuuuuuuu 南师大附校2012-2013学年度第一学期高三年级学情反馈（2012.12）‎ ‎ 数学试卷（理科附加）30分钟 ‎1．已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．‎ ‎ 2．在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），判断直线和圆的位置关系．‎ ‎3．如图，在四棱锥P – ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA^底面ABCD，‎ P B C D A M 点M是棱PC的中点，AM^平面PBD．‎ ‎（1）求PA的长；‎ ‎（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．‎ ‎4．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，‎ 其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．‎ ‎（1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；‎ ‎（2）求的分布列及期望．‎ 南师大附校2012-2013学年度第一学期高三年级学情反馈（2012.12）‎ ‎ 数学试卷 学校 班级 考号 姓名__________________________‎ ‎ ‎ uuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuuuuuuuu ‎ 时间 120 分钟 满分 160 分 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1．函数的最小正周期为 π ‎ ‎2.设集合，则集合A中有 个元素.【答案】6‎ ‎3．函数的单调减区间是 ‎ ‎4.若是虚数单位)，则乘积的值是 【答案】-3‎ ‎5.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是　　　　．【答案】.‎ ‎6．给出一个算法：‎ ‎ Read x ‎ If ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 根据以上算法，可求得 0 ‎ ‎7.椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为 24 ‎ ‎ 解：设＝r1，＝r2，则r1＋r2＝14，r＋r＝4c2＝100，故r1·r2＝48，所以S△PF1F2＝r1·r2＝24‎ ‎8.向量，的夹角为，， 则 ▲ ．【答案】7‎ ‎9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则A、B为焦点，过点C的椭圆的离心率 ‎ ‎10.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：，请你求OF的方程： ‎ ‎（ ▲ ）.‎ ‎【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．‎ O P1‎ P0‎ P2‎ ‎【答案】‎ ‎11．如图，点P是单位圆上的一个动点，它从初始位置开始沿单位圆按逆时针方向运动角（）到达点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横坐标为，则的值等于 ‎ ‎12．设实数满足 则的取值范围是 ． ‎ ‎13.满足条件的三角形的面积的最大值是_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎14 对于总有≥0 成立，则= ▲ ．‎ ‎【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，2‎ 设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥2；‎ 当x＜0 即时，≥0可化为2，‎ ‎ 在区间上单调递增，因此，从而≤2，综上＝2‎ ‎【答案】2‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.在△ABC中，A,B,C分别为a,b,c边所对的角，且．‎ ‎⑴求的值；‎ ‎⑵若a =2，求△ABC的面积S的最大值．‎ 解：⑴= +cos2A ‎ ‎= ． ‎ ‎⑵ 由,‎ ,‎ ‎, ‎ ‎.当且仅当b=c时，取得最大值，所以当b= c时，△ABC的面积S的最大值为3．‎ ‎16．已知点P(3, 4)是椭圆＝1 (a>b>0) 上的一点，F1、F2是它的两焦点，若PF1⊥PF2，求：(1) 椭圆的方程； (2) △PF1F2的面积． 解：（1）法一：令F1(－C，0)，F2(C，0) ‎∵ PF1⊥PF2，∴ ＝－1 即，解得c＝5 ‎∴ 椭圆的方程为 ∵ 点P（3，4）在椭圆上，∴ 解得a2＝45或a2＝5 又a＞c，∴ a2＝5舍去 故所求椭圆的方程为. 法二：利用△PF1F2是直角三角形，求得c＝5(以下同方法一) ‎（2）由焦半径公式： ‎| PF1 |＝a＋ex＝3＋×3＝4 | PF2 |＝a－ex＝3－×3＝2 ‎∴ ＝| PF1 |·| PF2 |＝×4×2＝20 ‎17.已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥‎ AB（如图1）。现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB，设M是AB的中点。‎ ‎（1）求证：BC⊥平面AEC；‎ ‎（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由。‎ A B C D E F P Q R ‎18.某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形（线段和为两个底边），已知 其中是以为顶点、为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．‎ 解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图，‎ 则，…………（2分）‎ 由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为，由得，，‎ ‎∴AF所在抛物线的方程为，…………（5分）‎ 又，∴EC所在直线的方程为，……（7分）‎ 设，‎ 则， …………（9分）‎ ‎∴工业园区的面积，…………（12分）‎ ‎∴令得或（舍去负值），…………（13分）‎ 当变化时，和的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↑‎ 极大值 ‎↓‎ 由表格可知，当时，取得最大值．…………（15分）‎ 答：该高科技工业园区的最大面积． …………（16分）‎ ‎19. 已知过点,且与:关于直线对称.‎ ‎(Ⅰ)求的方程；‎ ‎(Ⅱ)设为上的一个动点,求的最小值；‎ ‎(Ⅲ)过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.‎ 解:(Ⅰ)设圆心,则,解得 (3分)‎ 则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为………(5分)‎ ‎(Ⅱ)设,则,且 (7分)‎ ‎==,所以的最小值为 ‎(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)‎ ‎(Ⅲ)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,‎ ‎,由,得 (11分)‎ ‎ 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 (13分)‎ ‎ 同理,,所以 ‎=‎ ‎ 所以,直线和一定平行… ………(16分)‎ ‎20. (本小题满分16分)‎ 已知函数定义域为(),设.‎ ‎(Ⅰ)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；‎ ‎(Ⅱ)求证:；‎ ‎(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.‎ ‎(Ⅰ)解:因为…………………………………(2分)‎ 由；由,所以在上递增,‎ 在上递减 …………………………………………………………………………………………(4分)‎ 欲在上为单调函数,则………………………………………………………(5分)‎ ‎(Ⅱ)证:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值(7分)‎ ‎ 又,所以在上的最小值为 …………………………………(9分)‎ ‎ 从而当时,,即…… …(10分)‎ ‎(Ⅲ)证:因为,所以即为,‎ ‎ 令,从而问题转化为证明方程=0‎ 在上有解,并讨论解的个数…… ……(12分)‎ ‎ 因为,,所以 ‎ ①当时,,所以在上有解,且只有一解 (13分)‎ ‎②当时,,但由于,‎ 所以在上有解,且有两解 …………………………………………………………(14分)‎ ‎③当时,,所以在上有且只有一解；‎ 当时,, ‎ 所以在上也有且只有一解 …(15分)‎ 综上所述, 对于任意的,总存在,满足,‎ 且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意 ‎ (16分)‎ ‎(说明:第(Ⅱ)题也可以令,,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)‎ 学校 班级 考号 姓名__________________________‎ ‎ ‎ uuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuuuuuuuu 南师大附校2012-2013学年度第一学期高三年级学情反馈（2012.12）‎ ‎ 数学试卷（理科附加）30分钟 ‎1．已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．‎ ‎ 2．在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），判断直线和圆的位置关系．‎ ‎3．如图，在四棱锥P – ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA^底面ABCD，‎ P B C D A M 点M是棱PC的中点，AM^平面PBD．‎ ‎（1）求PA的长；‎ ‎（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．‎ ‎4．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，‎ 其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．‎ ‎（1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；‎ ‎（2）求的分布列及期望．‎ 附加题答案 ‎1．解：矩阵M的特征多项式为 ‎ =………………………1分 ‎ 因为方程的一根，所以………………………3分 ‎ 由得，…………………………………5分 设对应的一个特征向量为,‎ 则得…………………………………………8分 令,‎ 所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为………10分 ‎2．消去参数，得直线的直角坐标方程为；…………… 2分 即，‎ 两边同乘以得，‎ 得⊙的直角坐标方程为：, …………………… 6分 圆心到直线的距离，[来源:学|科|网]‎ 所以直线和⊙相交． …………………………………………………… 10分 ‎3．如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a).‎ 因为M是PC中点,所以M点的坐标为(,,)，所以 = (,,)，‎ = (–1,1,0)， = ( – 1,0,a). ……………………………………………2分 ‎⑴因为^平面PBD,所以· = · = 0.即 ‎ – + = 0,所以a = 1,即PA = 1. ………………………………4分 ‎⑵由 = (0,1,0), = (,,),可求得平面AMD的一个法向量 n = ( – 1,0,1).又 = ( – 1,–1,1).所以cos = = = .‎ 所以,PC与平面AMD所成角的正弦值为.………………………10分 ‎4．解：（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．‎ 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”‎ ‎，．…………………………………………………… 4分 ‎（Ⅱ）的可能取值为元，元，元．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎0.4‎ 的分布列为 ‎…………8分 ‎（元）．……………10分