- 2021-06-23 发布 |
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文档介绍
北京市通州区2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析
通州区高三年级期中考试 数学试卷 第一部分(选择题共40分) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合,,则M∩N=( ) A. {-2,-1,0,1} B. {-1,0,1} C. {-1,0} D. {0,1} 【答案】C 【解析】 【分析】 先计算集合N,再计算得到答案. 【详解】, 则 故选:C 【点睛】本题考查了交集的运算,属于简单题型. 2.等比数列中,则( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】等比数列中,, 故选:A 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题型. 3.下列函数中为偶函数且在上为增函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 依次判断每个选项的奇偶性和单调性,判断得到答案. 【详解】A. ,是奇函数,排除;B. ,是偶函数,时,,单调递增,正确; C. ,偶函数,时,是周期函数,排除;D. ,非奇非偶函数,排除; 故选:B 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性,记忆常规函数的奇偶性和单调性是解题的关键. 4.“”是“”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据角度的范围依次判断充分性和必要性,判断得到答案. 【详解】,充分性; 或 或,故,必要性. 故选:C 【点睛】本题考查了充分必要条件,意在考查学生的推断能力. 5.直线经过点,且与直线平行,如果直线与曲线相切,那么等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先表示出直线方程为,求导计算切点为,代入直线方程得到答案. 【详解】直线经过点,且与直线平行,则直线方程为: 直线与曲线相切,,切点为 代入直线方程 解得: 故选:A 【点睛】本题考查了切线问题,也可以联立方程利用计算答案. 6.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,,,则ABC的面积等于( ) A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用余弦定理得到,代入面积公式计算得到答案. 【详解】利用余弦定理得到:或(舍去) 故选:D 【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式,意在考查学生的计算能力. 7.设函数若方程有且只有一个根,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 方程有且只有一个根,等价于图像有一个交点,画出函数图像得到答案. 【详解】方程有且只有一个根,等价于图像有一个交点. 画出函数图像: 根据图像知: 故选:B 【点睛】本题考查了方程的解的问题,转化为函数的图像的交点是解题的关键. 8.2014年6月22日,卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产大会上宣布:中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录,成为中国第46个世界遗产项目.随着对大运河的保护与开发,大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片,也成为众多旅游者的游览目的的.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头,又立即逆水返回奥体公园码头.已知游船在顺水中的速度为,在逆水中的速度为(),则游船此次行程的平均速度与的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先计算平均速度,再计算得到答案. 【详解】设两码头距离为,则 即 故选:C 【点睛】本题考查了不等式的应用,意在考查学生的应用能力. 第二部分(非选择题共110分) 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.已知(为虚数单位,),则_____. 【答案】; 【解析】 【分析】 化简复数得到,再计算得到答案. 【详解】 故答案为: 【点睛】本题考查了复数的计算,属于基础题型. 10.已知,,,则三个数的大小关系是__________. 【答案】>>; 【解析】 【分析】 依次判断三个数与1和3 的大小关系,判断得到答案. 【详解】; ; 故答案为: 【点睛】本题考查了数的大小比较,意在考查学生对于函数单调性的应用能力. 11.设等差数列的前项和为,若,,则数列的公差等于____. 【答案】; 【解析】 分析】 根据计算得到,再计算得到答案. 【详解】 故答案为: 【点睛】本题考查了等差数列的公差,也可以根据数列公式联立方程组解得答案. 12.定义在R上的函数,给出下列三个论断: ①在R上单调递增;②;③. 以其中的两个论断为条件,余下的一个论断为结论,写出一个正确的命题:________. 【答案】①②推出③; 【解析】 【分析】 写出答案,再根据函数单调性得到证明. 详解】①②推出③; 证明:在单调递增且当时,有,得证. 故答案为:①②推出③ 【点睛】本题考查了利用函数单调性判断命题,意在考查学生的推断能力. 13.若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是___. 【答案】; 【解析】 【分析】 求导根据函数单调递减得到恒成立,计算函数的最大值为,得到答案. 【详解】在恒成立 即恒成立,在的最大值为,即 故答案为: 【点睛】本题考查了函数的单调性,将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键. 14.设是整数集的一个非空子集,对于,若,且,则称是的一个“孤立元”.集合元素中T的“孤立元”是_____;对给定集合,由中的3个元素构成的所有集合中,含“孤立元”的集合有____个 【答案】 (1). 5 (2). 16. 【解析】 【分析】 (1)依次判断每个元素是否为孤立元得到答案. (2)3个元素构成的所有集合为个,排除不满足的情况得到答案. 【详解】(1)依次判断每个元素是否为孤立元:对于1,,不是孤立元;对于2,,不是孤立元;对于3,,不是孤立元;对于5,,是孤立元; 故答案为:5 (2)3个元素构成的所有集合为个 不含孤立元的集合有,,4个 故含“孤立元”的集合有16个 故答案为:16 【点睛】本题考查了集合的新定义问题,集合个数问题,意在考查学生的应用能力. 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.已知函数. (1)求的值; (2)求的最小正周期及单调增区间. 【答案】(1)0(2)最小正周期,的单调增区间为 【解析】 【分析】 (1)直接代入数据计算得到答案. (2)化简得到,再计算周期和单调增区间. 【详解】(1) (2) 所以最小正周期. 令,解得 所以的单调增区间为 【点睛】本题考查了三角函数求值,三角函数的周期和单调区间,意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用. 16.在中,,,,D是AB边的中点. (1)求AB的长; (2)求CD的长. 【答案】(1)(2) 【解析】 【分析】 (1)先计算,根据正弦定理得到答案. (2)先计算,再利用余弦定理得到答案. 【详解】(1)则由正弦定理得到: 解得:AB= (2) 因D是AB中点,则,在中,由余弦定理得: 解得:CD=. 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形,意在考查学生的计算能力. 17.已知数列的前6项依次成等比数列,设公比为q(),数列从第5项开始各项依次为等差数列,其中,数列的前n项和为. (1)求公比q及数列的通项公式; (2)若,求项数n的取值范围. 【答案】(1),(2), 【解析】 【分析】 (1)设等比数列的公比为q,,代入,解得,再讨论和两种情况得到答案. (2)先计算数列前4项的和为20,构造数列,前m项和计算不等式得到答案. 【详解】(1)设等比数列的公比为q,则 ∵从第5项开始各项依次为等差数列,∴ ∵,∴,解得或 ∵数列为非常数列,∴ 当时, 当时,,∴ 综上所述, (2)易知数列前4项的和为20,从第5项开始为等差数列, 当时,数列为2,-1,-4,-7, 可令数列为2,-1,-4,-7,数列的前m项和, 依题意,,∴ 综上所述:, 【点睛】本题考查了数列的通项公式,先N项和,意在考查学生对于数列公式和方法的掌握情况. 18.如图,在四棱锥中,底面ABCD为菱形,且∠ABC=60°,平面ABCD,,点E,F为PC,PA的中点. (1)求证:平面BDE⊥平面ABCD; (2)二面角E—BD—F的大小; (3)设点M在PB(端点除外)上,试判断CM与平面BDF是否平行,并说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)(3)CM与平面BDF不平行,详见解析 【解析】 【分析】 (1)连接AC与BD,设交点为O,连接FO,证明平面ABCD,得到答案. (2)以O为原点,以OB,OC,OE为x,y,z轴建立空间直角坐标系,计算坐标得到平面的法向量,计算夹角得到答案. (3)假设存在,设,计算得到,所以不存在. 【详解】(1)证明:连接AC与BD,设交点为O,连接FO, 由已知E,O分别为PC,AC中点,可得EO//PA, 又因为平面ABCD, 所以平面ABCD,平面BDE 所以平面BDE⊥平面ABCD. (2)以O为原点,以OB,OC,OE为x,y,z轴建立空间直角坐标系 设AB=a,因为底面ABCD为菱形,且∠ABC=60°,,则AC=a, ,,,,,, 则,. 设平面BFD的法向量为, 则有,即,即 令,则 又由(1)可知为平面BDE的法向量, 所以二面角E—BD—F的大小为 (3)因为点M在PB(端点除外)上,设, 则,, 所以CM与平面BDF不平行. 【点睛】本题考查了面面垂直,二面角和线面平行,意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19.设函数. (1)当b=0时,求函数的极小值; (2)若已知b>1且函数与直线y=-x相切,求b的值; (3)在(2)的条件下,函数与直线y=-x+m有三个公共点,求m的取值范围.(直接写出答案) 【答案】(1)(2)b=3(3) 【解析】 分析】 (1)求导得到函数的单调区间,再计算极小值. (2)设切点是(),求导,根据条件得到计算得到答案. (3)化简得到,设,画出函数图象得到答案. 【详解】(1)当b=0时,则,由得, 当或时,;当时,, 则当时,f(x)取得极小值 (2)因,则 设函数与直线y=-x相切的切点是(), 因为,所以, 所以有 又,相减得, 所以,所以,解得b=3. (3) 设, 在上单调递增;在单调递减. 极大值,极小值,画出函数图象: 根据图象得到答案:. 【点睛】本题考查了函数的单调性,切线问题,零点,意在考查学生的计算能力和转化能力. 20.已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)求函数的零点个数; (3)当时,求证不等式解集为空集. 【答案】(1)的单调增区间为,单调减区间为(2)在上只有一个零点(3)证明见解析 【解析】 【分析】 (1)求导得到,计算得到答案. (2)求导得到,分类讨论,和三种情况得到答案. (3)原题等价于恒成立,求导得到函数的单调区间,计算最小值得到证明. 【详解】(1)的定义域为. 令,得 当时,有,所以在上单调递增. 当时,有,所以上单调递减. 综上所述:的单调增区间为,单调减区间为 (2)函数, 令,解得 , 当时,在上递减,有.所以. 所以有一个零点. 当时,在上递增,所以有一个零点. 当时,在上递增,在上递减,在上递增. 此时,所以有一个零点. 综上所述:在上只有一个零点. (3)当时,不等式解集为空集,等价于在定义域内恒成立. 即在定义域内恒成立. 令. ,令,得 列表得 — 0 + 递减 最小值 递增 因为,所以. 又,所以 所以恒成立.所以不等式解集为空集 【点睛】本题考查了单调区间,零点个数,不等式恒成立,将不等式恒成立问题通过构造转化为函数的最值问题是解题的关键.查看更多