2020届四川省泸县第二中学高三上学期期末考数学（理）试题

2020届四川省泸县第二中学高三上学期期末考数学（理）试题

‎2019年秋四川省泸县第二中学高三期末考试 理科数学试题 第I卷(选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1．已知集合，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．小张刚参加工作时月工资为元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少元，则目前小张的月工资为 ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在中，为线段上一点，且，则 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．函数的图象大致为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为 A． B． C． D．‎ ‎7．已知角的终边经过点，则 A． B． C． D．‎ ‎8．已知双曲线的离心率为，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎9．数列中，已知且则 A．19 B．21 C．99 D．101‎ ‎10．将函数的图像向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）‎ A．函数的最大值为 B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增 ‎11．已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知椭圆：，的左、右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是 ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．若x，y满足约束条件，则的最大值为______．‎ ‎14．在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）‎ ‎15． “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，尺，为的中点，，寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．（注：l尺=10寸）‎ ‎16．已知抛物线的焦点为，直线与交于 ，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为____．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17．（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）‎ 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 ‎50‎ ‎100‎ 女性 ‎70‎ ‎100‎ 合计 ‎（I）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？‎ ‎（II）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；‎ ‎②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．‎ 参考公式：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎18．（12分）如图，是以为直径的半圆上异于的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且， ‎ ‎（I）求证：平面平面；‎ ‎（II）若的长度为，求二面角的正弦值．‎ ‎19．（12分）‎ 设数列满足．‎ ‎（I）求的通项公式； （II）求数列的前项和．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线，与以右焦点为圆心，半径为的圆相切.‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）线段是椭圆过右焦点的弦，且，求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）当时，设函数有最小值，求的值域.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）设直线与曲线相交于两点，若，求值．‎ ‎23．已知函数，.‎ ‎（I）求函数的值域；‎ ‎（II）若函数的值域为，且，求实数的取值范围.‎ ‎2019年秋四川省泸县第二中学高三期末考试 理科数学试题参考答案 ‎1．B 2．A 3．A 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C 9．D 10．D 11．B 12．B ‎13．10 14．40． 15．26 16．‎ ‎17．解：（1）完成列联表（单位：人）：‎ 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 女性 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 合计 ‎120‎ ‎80‎ ‎200‎ 由列联表，得：‎ ‎，‎ ‎∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．‎ ‎（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，‎ 偶尔或不用网购的有人，‎ ‎∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：‎ ‎．‎ ‎② 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，‎ 将频率视为概率，‎ ‎∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，‎ 由题意，‎ ‎∴随机变量的数学期望，‎ 方差D（X）=．‎ ‎18．（1）证明：平面平面，两平面交线为，平面， ‎ 平面 平面 ‎ 是直角 平面 平面 平面平面 ‎（2）如图，连结，以点为坐标原点，在平面中，过作的垂线为轴，所在的直线为轴，在平面中，过作的垂线为轴，建立空间直角坐标系 的长度为 ‎ 则：，，，，‎ ‎，，‎ 设平面的一个法向量为 则：，令，解得：，‎ 平面的一个法向量：‎ ‎ ‎ 二面角的正弦值为 ‎19．（1）由n＝1得，因为，‎ 当n≥2时，，‎ 由两式作商得：（n＞1且n∈N*），‎ 又因为符合上式，所以（n∈N*）．‎ ‎（2）设，‎ 则bn＝n＋n·2n，‎ 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋‎ 设Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，①‎ 所以2Tn＝22＋2·23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②‎ ‎①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，‎ 所以Tn＝（n－1）·2n＋1＋2．‎ 所以，‎ 即．‎ ‎20．（1）设，，‎ 则直线的方程为：，即.‎ ‎∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，解之得.‎ ‎∵椭圆的离心率为，即，所以，所以，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 由题意得直线的斜率不为0，故设直线的方程为：，‎ 代入椭圆方程化简可得，‎ 恒成立，‎ 设，，则，是上述方程的两个不等根，‎ ‎∴，.‎ ‎∴的面积 设，则，，则，.‎ 令，则恒成立，‎ 则函数在上为减函数，故的最大值为，‎ 所以的面积的最大值为，当且仅当，即时取最大值，‎ 此时直线的方程为，即直线垂直于轴，此时，即.‎ 21． 解：（1）定义域为，‎ ‎.‎ 令，①‎ ‎，‎ 当时，，，‎ 即且不恒为零，故单调递增区间为，，‎ 当时，，方程①两根为，，‎ 由于，‎ ‎.故，‎ 因此当时，，单调递增，‎ ‎，，单调递减，‎ ‎，，单调递减，‎ ‎，，单调递增，‎ 综上，当时，在单调递增，单调递增，‎ 当时，在单调递增，‎ ‎，单调递减；‎ 在单调递增.‎ ‎（2），‎ 设，‎ 由（1）知，时，在单调递增，‎ 由于，，‎ 故在存在唯一，使，‎ ‎，‎ 又当，，即，单调递减，‎ ‎，，即，单调递增，‎ 故时，‎ ‎，.‎ 又设，，，‎ 故单调递增，故，‎ 即，即.‎ ‎22．（1）由，得 ‎，即 ‎（2）将直线的参数方程代入曲线的方程得：‎ 设是方程的根，则：，‎ ‎∴‎ ‎，又 ‎ 或 ‎23．（1）函数可化简为 可得当时，.‎ 当时，.‎ 当时，.故的值域.‎ ‎（2）当时，，，，所以不符合题意.‎ 当时，因为，所以函数的值域，‎ 若，则，解得或，从而符合题意.‎ 当时，因为，所以函数的值域，‎ 此时一定满足，从而符合题意.综上，实数的取值范围为.‎