2016年高考真题——理科数学（天津卷）原卷版

2016年高考真题——理科数学（天津卷）原卷版

绝密★启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学（理工类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。 2. 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： •如果事件 ， 互斥，那么 •如果事件 ， 相互独立，那么 . . •棱柱的体积公式 .• 棱锥的体积公式 . 其中 表示棱柱的底面面积， 其中 表示棱锥的底面面积， 表示圆柱的高. 表示棱锥的高. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合 ， ，则 （ ） （A） （B） 　 （C） （D） （2）设变量 ， 满足约束条件 则目标函数 的最小值为 （A） （B） （C） （D） A B A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B  ( ) ( ) ( )P AB P A P B V Sh 1 3V Sh S S h h  4,3,2,1A  AxxyyB  ,23 BA 1 4  3,1  4,1 x y           .0923 ,0632 ,02 yx yx yx yxz 52  4 6 10 17 ≥ ≥ （3）在 中，若 ， ， ， 则 （ ） （A） （B） （C） （D） （4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为（ ） （A） （B） （C） （D） （5）设 是首项为正数的等比数列，公比为 则 “ ”是“对任意的正整数 ， ”的（ ） （A）充要条件　　 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件　 　 （D）既不充分也不必要条件 （6）已知双曲线 ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐 近线相交于 ， ， ， 四点，四边形 的面积为 ，则双曲线的方程为（ ） （A） （B） （C） （D） （7）已知 是边长为 的等边三角形，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接 并延长到点 ，使得 ，则 的值为（ ） （A） （B） （C） （D） （8）已知函数 （ ，且 ）在 R 上单调递减，且关于 的方程 恰好有两个不相等的实数解，则 的取值范围是（ ） （A） （B） ABC 13AB 3BC 120C AC 1 2 3 4 S 2 4 6 8  na q 0＜q n 0212 ＜nn aa  14 2 22  b yx ）＞（ 0b A B C D ABCD b2 14 3 4 22  yx 13 4 4 22  yx 144 2 22  yx 1124 22  yx ABC 1 D E AB BC DE F EFDE 2 BCAF  8 5 8 1 4 1 8 11       0,1)1(log 0,3)34( )( 2 xx xaxax xf a ＜ 0＞a 1a x xxf  2)( a ]3 2,0( ]4 3,3 2[ ≥ 否 开始 4S 1n SS2 6SS 是 1nn 否 S输出 结束 ?3＞n ?6S 是 （C） { } （D） { } 绝密★启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学（理工类） 第Ⅱ卷 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 12 小题, 共 110 分. 二．填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. （9）已知 ， R， 是虚数单位，若 ，则 的值为_____________. （10） 的展开式中 的系数为_____________.（用数字作答） （11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱 锥的三视图如图所示（单位： ），则该四棱锥的体积 为_____________ . （12）如图， 是圆的直径，弦 与 相交于点 ， ， ，则线段 的长 为_____________. （13）已知 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 上单调递增.若实数 满足 ， 则 的取值范围是_____________. （14）设抛物线 （ 为参数， ）的焦 点 ，准线为 .过抛物线上一点 作 的垂线，垂足为 ]3 2,3 1[ 4 3 )3 2,3 1[ 4 3 a b i ab  )i1)(i1( b a 82 )1( xx  7x m 3m AB CD AB E 22  AEBE EDBD  CE )(xf )0,( a )2()2( 1  ff a ＞ a      pty ptx 2 ,2 2 t 0＞p F l A l A B C D E 1 1 1 1 3 .设 ， 与 相交于点 .若 ， 且 的面积为 ，则 的值为_____________. 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分 13 分） 已知函数 . （Ⅰ）求 的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论 在区间 上的单调性. （16）（本小题满分 13 分） 某小组共 人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为 ， ， 的人数分 别为 ， ， .现从这 人中随机选出 人作为该组代表参加座谈会. （Ⅰ）设 为事件“选出的 人参加义工活动次数之和为 ”，求事件 发生的概率； （Ⅱ）设 为选出的 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列 和数学期望. （17）（本小题满分 13 分） 如图，正方形 的中心为 ，四边形 为矩形，平面 平面 ，点 为 的 中点， . （Ⅰ）求证： ∥平面 ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （ Ⅲ ） 设 为 线 段 上 的 点 ， 且 ， 求直线 和平面 所成角的正弦值. B )0,2 7( pC AF BC E AFCF 2 ACE 23 p 3)3cos()2sin(tan4)(   xxxxf )(xf )(xf ]4,4[  10 1 2 3 3 3 4 10 2 A 2 4 A X 2 X ABCD O OBEF OBEF ABCD G AB 2 BEAB EG ADF CEFO  H AF HFAH 3 2 BH CEF A B C D E F H G O （18）（本小题满分 13 分） 已知 是各项均为正数的等差数列，公差为 .对任意的 ， 是 和 的等比中项. （Ⅰ）设 ， ，求证：数列 是等差数列； （Ⅱ）设 ， ， ，求证 . （19）（本小题满分 14 分） 设椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 .已知 ， 其中 为原点， 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交 于点 .若 ，且 ≤ ，求直线 的斜率的取值范 围. （20）（本小题满分 14 分） 设函数 ， R，其中 ， R. （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证： ； （Ⅲ）设 ，函数 ，求证： 在区间 上的最大值不小于  na d  Nn nb na 1na 22 1 nnn bbc    Nn  nc da 1    n k k k n bT 2 1 2)1(  Nn 2 1 2 11 dT n k k ＜  13 2 2 2  y a x )3( ＞a F A FA e OAOF 311  O e A l B B x l l M y H HFBF  MOA MAO l baxxxf  3)1()( x a b )(xf )(xf 0x )()( 01 xfxf  01 xx  32 01  xx 0＞a )()( xfxg  )(xg ]2,0[ 4 1