高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系

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高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系

一、选择题 ‎1.异面直线是指(  )‎ A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 ‎[答案] D ‎[解析] 对于A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面.∴A应排除.‎ 对于B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可异面,如右图,就是相交的情况,∴B应排除.‎ 对于C,如右图的a,b可看做是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b,显然它们是相交直线,∴C应排除.只有D符合定义.∴应选D.‎ 规律总结:‎ 解答这类立体几何的命题的真假判定问题,一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理;另一方面要善于寻找特例,构造相关特例模型,能快速、有效地排除相关的选择项.‎ ‎2.a,b为异面直线,且a⊂α,b⊂β,若α∩β=l,则直线l必定(  )‎ A.与a,b都相交 B.与a,b都不相交 C.至少与a,b之一相交 D.至多与a,b之一相交 ‎[答案] C ‎[解析] 若a,b与l都不相交,则a∥l,b∥l,即a∥b,与a,b是异面直线矛盾.故选C.‎ ‎3.直线a与直线b相交,直线c也与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是(  )‎ A.相交 B.平行 C.异面 D.以上都有可能 ‎[答案] D ‎[解析] 如图所示,长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,AB与AA1相交,A1B1与AA1相交,所以AB∥A1B1;又AD与AA1相交,所以AB与AD相交;又A1D1与AA1相交,所以AB与A1D1异面.故选D.‎ ‎4.正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,与对角线AC1异面的棱有(  )‎ A.3条 B.4条 C.6条 D.8条 ‎[答案] C ‎[解析] 画一个正方体,不难得出有6条.‎ ‎5.下列命题中,正确的结论有(  )‎ ‎①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎[答案] B ‎[解析] ②④是正确的.‎ ‎6. 空间四边形ABCD中,E、F分别为AC、BD中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.90°‎ ‎[答案] A ‎[解析] 取AD的中点H,连FH、EH,在△EFH中 ∠EFH=90°,‎ HE=2HF,从而∠FEH=30°,‎ 故选A.‎ ‎7.正方体A1B‎1C1D1-ABCD中,BD与B‎1C所成的角是(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.90°‎ ‎[答案] C ‎[解析] ∵A1D∥B‎1C,∴A1D与BD所成的锐角(或直角)即为所求角,连接A1B.∵△A1DB为正三角形,‎ ‎∴∠A1DB=60°.‎ ‎8.空间四边形ABCD中,AB、BC、CD的中点分别为P、Q、R,且AC=4,BD=2,PR=3,则AC和BD所成的角为(  )‎ A.90° B.60°‎ C.45° D.30°‎ ‎[答案] A ‎[解析] 如图,P、Q、R分别为AB、BC、CD中点,∴PQ∥AC,QR∥BD,‎ ‎∴∠PQR为AC和BD所成角 又PQ=AC=2,‎ QR=BD=,RP=3‎ ‎∴PR2=PQ2+QR2,∴∠PQR=90°‎ 即AC和BD所成的角为90°,故选A.‎ 二、填空题 ‎9.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是________,不平行的两条直线的位置关系是________,两条直线没有公共点,则它们的位置关系是________,垂直于同一直线的两条直线的位置关系为________.‎ ‎[答案] 平行、相交、异面 相交、异面 平行、异面 平行、相交、异面.‎ ‎10.若AB∥A′B′,AC∥A′C′,则下列结论:‎ ‎①∠ACB=∠A′C′B′;‎ ‎②∠ABC+∠A′B′C′=180°;‎ ‎③∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180°.‎ 一定成立的是________.‎ ‎[答案] ③‎ ‎11.正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为a、M、N、P、Q分别为棱AB、BC、C1D1和CC1的中点,则 ‎①MN与PQ的位置关系为________,它们所成的角为________.‎ ‎②DB1与MN的位置关系为________,它们所成的角是________.‎ ‎[答案] ①相交 60° ②异面 90°‎ ‎[解析] ①连接AC、D‎1C由于P、Q分别为C1D1、C‎1C的中点,‎ 所以PQ∥D‎1C,‎ 同理MN∥AC,‎ 则AC与D‎1C所成角即为MN与PQ所成角,∠D1CA=60°.‎ ‎②连接AC、BD交于O,‎ 取BB1的中点H,连OH,则OH∥B1D,‎ 连AH,HC,则AH=HC,∴OH⊥AC,‎ 又MN∥AC,OH∥B1D,∴MN⊥B1D.‎ ‎12.正方体ABCD-A1B‎1C1D1中 ‎①AC和DD1所成角是________度.‎ ‎②AC和D‎1C1所成的角是________度.‎ ‎③AC和B1D1所成的角是________度.‎ ‎④AC和A1B所成的角是________度.‎ ‎⑤O为B1D1中点,AC和BO所成角是________度.‎ ‎⑥A1B和B1D1所成角是________度.‎ ‎[答案] ①90°,②45°,③90°,④60°,⑤90°,⑥60°.‎ ‎[解析] ①DD1⊥面ABCD,∴DD1⊥AC;‎ ‎②D‎1C1∥DC,∠DCA=45°,∴D‎1C1与AC成45°角;‎ ‎③B1D1∥BD,BD⊥AC,∴B1D1⊥AC;‎ ‎④A1B∥D‎1C,△D‎1AC为等边三角形,∴成60°角;‎ ‎⑤在正方体中,∵O是B1D1中点,∴O为A‎1C1中点,‎ 又A1B=BC1∴BO⊥A‎1C1,‎ 又AC∥A‎1C1,∴BO⊥AC,∴AC与BO成90°角;‎ ‎⑥B1D1∥BD,△A1BD为等边三角形,∴成60°角.‎ 三、解答题 ‎13.如图所示,在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中的面A‎1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由.‎ ‎[分析] 由于BC∥B‎1C1,所以平行于BC的直线只需要平行于B‎1C1即可.‎ ‎[解析] 如图所示,在面A‎1C1内过P作直线EF∥B‎1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.‎ 理由:∵EF∥B‎1C1,BC∥B‎1C1,∴EF∥BC.‎ ‎14.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D、E分别是VB、VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角.‎ ‎[解析] 由已知得BC⊥AC,‎ 又BC=AC,∴∠ABC=45°.‎ 又在△VBC中,D、E分别为VB、VC中点,‎ ‎∴DE∥BC,∴DE与AB所成的角为∠ABC=45°.‎ ‎15.如右图,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.‎ ‎[分析] 根据异面直线所成角的定义,我们可以选择适当的点,分别引BE与DC的平行线,换句话说,平移BE(或CD).设想平移CD,沿着DA的方向,使D移向E,则C移向AC的中点F,这样BE与 CD所成的角即为∠BEF或其补角,解△EFB即可获解.‎ ‎[解析] 取AC的中点F,连接BF、EF,在△ACD中,E、F分别是AD、AC的中点,‎ ‎∴EF∥CD,‎ ‎∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).‎ 在Rt△EAB中,AB=1,AE=AD=,∴BE=.‎ 在Rt△AEF中,AF=AC=,AE=,∴EF=.‎ 在Rt△ABF中,AB=1,AF=,∴BF=.‎ 在等腰△EBF中,cos∠FEB===,‎ ‎∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.‎ ‎16.如下图,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E、F、E1、F1分别为棱AD、AB、B‎1C1、C1D1的中点.‎ 求证:∠EA‎1F=∠E1CF1.‎ ‎[证明] 如下图,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,取A1B1的中点M,则BF=A‎1M=AB.‎ 又∵BF∥A‎1M,‎ ‎∴四边形A1FBM为平行四边形.‎ ‎∴A‎1F∥BM.‎ 而F1、M分别为C1D1、A1B1的中点,‎ 则F‎1M綊C1B1,‎ 而C1B1綊BC,∴F‎1M∥BC,且F‎1M=BC.‎ ‎∴四边形F1MBC为平行四边形,‎ ‎∴BM∥F‎1C.又BM∥A‎1F,∴A‎1F∥CF1.‎ 同理取A1D1的中点N,连接DN,E1N,‎ 则A1N綊DE,‎ ‎∴四边形A1NDE为平行四边形.‎ ‎∴A1E∥DN.‎ 又E1N∥CD,且E1N=CD,‎ ‎∴四边形E1NDC为平行四边形.‎ ‎∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1.‎ ‎∴∠EA‎1F与∠E1CF1的两边分别对应平行,‎ 且方向都相反.‎ ‎∴∠EA‎1F=∠E1CF1.‎ 规律总结:证明角的相等问题,等角定理及其推论是较常用的方法.另外,通常证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明,如本例还可通过证明△EA‎1F与△E1CF1全等来证明角相等.‎
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