- 2021-06-23 发布 |
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文档介绍
高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、选择题 1.异面直线是指( ) A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 [答案] D [解析] 对于A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面.∴A应排除. 对于B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可异面,如右图,就是相交的情况,∴B应排除. 对于C,如右图的a,b可看做是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b,显然它们是相交直线,∴C应排除.只有D符合定义.∴应选D. 规律总结: 解答这类立体几何的命题的真假判定问题,一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理;另一方面要善于寻找特例,构造相关特例模型,能快速、有效地排除相关的选择项. 2.a,b为异面直线,且a⊂α,b⊂β,若α∩β=l,则直线l必定( ) A.与a,b都相交 B.与a,b都不相交 C.至少与a,b之一相交 D.至多与a,b之一相交 [答案] C [解析] 若a,b与l都不相交,则a∥l,b∥l,即a∥b,与a,b是异面直线矛盾.故选C. 3.直线a与直线b相交,直线c也与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.异面 D.以上都有可能 [答案] D [解析] 如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与AA1相交,A1B1与AA1相交,所以AB∥A1B1;又AD与AA1相交,所以AB与AD相交;又A1D1与AA1相交,所以AB与A1D1异面.故选D. 4.正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1异面的棱有( ) A.3条 B.4条 C.6条 D.8条 [答案] C [解析] 画一个正方体,不难得出有6条. 5.下列命题中,正确的结论有( ) ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 [答案] B [解析] ②④是正确的. 6. 空间四边形ABCD中,E、F分别为AC、BD中点,若CD=2AB,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° [答案] A [解析] 取AD的中点H,连FH、EH,在△EFH中 ∠EFH=90°, HE=2HF,从而∠FEH=30°, 故选A. 7.正方体A1B1C1D1-ABCD中,BD与B1C所成的角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° [答案] C [解析] ∵A1D∥B1C,∴A1D与BD所成的锐角(或直角)即为所求角,连接A1B.∵△A1DB为正三角形, ∴∠A1DB=60°. 8.空间四边形ABCD中,AB、BC、CD的中点分别为P、Q、R,且AC=4,BD=2,PR=3,则AC和BD所成的角为( ) A.90° B.60° C.45° D.30° [答案] A [解析] 如图,P、Q、R分别为AB、BC、CD中点,∴PQ∥AC,QR∥BD, ∴∠PQR为AC和BD所成角 又PQ=AC=2, QR=BD=,RP=3 ∴PR2=PQ2+QR2,∴∠PQR=90° 即AC和BD所成的角为90°,故选A. 二、填空题 9.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是________,不平行的两条直线的位置关系是________,两条直线没有公共点,则它们的位置关系是________,垂直于同一直线的两条直线的位置关系为________. [答案] 平行、相交、异面 相交、异面 平行、异面 平行、相交、异面. 10.若AB∥A′B′,AC∥A′C′,则下列结论: ①∠ACB=∠A′C′B′; ②∠ABC+∠A′B′C′=180°; ③∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180°. 一定成立的是________. [答案] ③ 11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a、M、N、P、Q分别为棱AB、BC、C1D1和CC1的中点,则 ①MN与PQ的位置关系为________,它们所成的角为________. ②DB1与MN的位置关系为________,它们所成的角是________. [答案] ①相交 60° ②异面 90° [解析] ①连接AC、D1C由于P、Q分别为C1D1、C1C的中点, 所以PQ∥D1C, 同理MN∥AC, 则AC与D1C所成角即为MN与PQ所成角,∠D1CA=60°. ②连接AC、BD交于O, 取BB1的中点H,连OH,则OH∥B1D, 连AH,HC,则AH=HC,∴OH⊥AC, 又MN∥AC,OH∥B1D,∴MN⊥B1D. 12.正方体ABCD-A1B1C1D1中 ①AC和DD1所成角是________度. ②AC和D1C1所成的角是________度. ③AC和B1D1所成的角是________度. ④AC和A1B所成的角是________度. ⑤O为B1D1中点,AC和BO所成角是________度. ⑥A1B和B1D1所成角是________度. [答案] ①90°,②45°,③90°,④60°,⑤90°,⑥60°. [解析] ①DD1⊥面ABCD,∴DD1⊥AC; ②D1C1∥DC,∠DCA=45°,∴D1C1与AC成45°角; ③B1D1∥BD,BD⊥AC,∴B1D1⊥AC; ④A1B∥D1C,△D1AC为等边三角形,∴成60°角; ⑤在正方体中,∵O是B1D1中点,∴O为A1C1中点, 又A1B=BC1∴BO⊥A1C1, 又AC∥A1C1,∴BO⊥AC,∴AC与BO成90°角; ⑥B1D1∥BD,△A1BD为等边三角形,∴成60°角. 三、解答题 13.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由. [分析] 由于BC∥B1C1,所以平行于BC的直线只需要平行于B1C1即可. [解析] 如图所示,在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求. 理由:∵EF∥B1C1,BC∥B1C1,∴EF∥BC. 14.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D、E分别是VB、VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角. [解析] 由已知得BC⊥AC, 又BC=AC,∴∠ABC=45°. 又在△VBC中,D、E分别为VB、VC中点, ∴DE∥BC,∴DE与AB所成的角为∠ABC=45°. 15.如右图,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值. [分析] 根据异面直线所成角的定义,我们可以选择适当的点,分别引BE与DC的平行线,换句话说,平移BE(或CD).设想平移CD,沿着DA的方向,使D移向E,则C移向AC的中点F,这样BE与 CD所成的角即为∠BEF或其补角,解△EFB即可获解. [解析] 取AC的中点F,连接BF、EF,在△ACD中,E、F分别是AD、AC的中点, ∴EF∥CD, ∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角). 在Rt△EAB中,AB=1,AE=AD=,∴BE=. 在Rt△AEF中,AF=AC=,AE=,∴EF=. 在Rt△ABF中,AB=1,AF=,∴BF=. 在等腰△EBF中,cos∠FEB===, ∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为. 16.如下图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、E1、F1分别为棱AD、AB、B1C1、C1D1的中点. 求证:∠EA1F=∠E1CF1. [证明] 如下图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取A1B1的中点M,则BF=A1M=AB. 又∵BF∥A1M, ∴四边形A1FBM为平行四边形. ∴A1F∥BM. 而F1、M分别为C1D1、A1B1的中点, 则F1M綊C1B1, 而C1B1綊BC,∴F1M∥BC,且F1M=BC. ∴四边形F1MBC为平行四边形, ∴BM∥F1C.又BM∥A1F,∴A1F∥CF1. 同理取A1D1的中点N,连接DN,E1N, 则A1N綊DE, ∴四边形A1NDE为平行四边形. ∴A1E∥DN. 又E1N∥CD,且E1N=CD, ∴四边形E1NDC为平行四边形. ∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1. ∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行, 且方向都相反. ∴∠EA1F=∠E1CF1. 规律总结:证明角的相等问题,等角定理及其推论是较常用的方法.另外,通常证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明,如本例还可通过证明△EA1F与△E1CF1全等来证明角相等.查看更多