2020高中数学 模块综合测评（二）新人教A版必修5
模块综合测评(二)
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知S＝，T＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a≥0}，若S∪T＝R，则a的取值范围是( )
A．[－1,1] B．(－1,1]
C．[0,1] D．(0,1]
C [S＝{x|0
0恒成立．
∴(3－2a)2－4a2＝9－12a<0.
∴a>.]
5．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则等于( )
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A. B. C. D.
B [在等差数列an，bn中，＝＝＝＝.]
6．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，那么cos C的值为( )
【导学号：91432398】
A．－ B.
C．－ D.
A [由题意知，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝3∶2∶4，
设a＝3k，b＝2k，c＝4k，
∴cos C＝＝＝－.]
7．已知等差数列{an}的前n项和为18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，则n等于( )
A．9 B．21
C．27 D．36
C [S3＋an＋an－1＋an－2＝4＝3(a1＋an)，∴a1＋an＝，
又Sn＝＝＝18，
∴n＝27.]
8．已知点P(x，y)满足条件则z＝x－3y的最小值为( )
【导学号：91432399】
A．9 B．－6 C．－9 D．6
B [作出可行域如图所示的阴影部分．
由目标函数z＝x－3y得：
y＝x－，
∴－为直线在y轴上的截距．
∴平移直线l0：y＝x，当直线经过点A时，z取得最小值．
∵∴∴A(3,3)．
∴zmin＝3－3×3＝－6.]
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9．如图1，一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船行驶方向与距离分别为( )
图1
A．北偏东60°；10
B．北偏东40°；10
C．北偏东30°；10
D．北偏东20°；10
B [由已知得在△ABC中，∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，
AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°，
所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°，
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝102＋102－
2×10×10＝300，所以AC＝10.]
10．当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立，则实数m的取值范围是( )
【导学号：91432400】
A．(－∞，6) B．(－∞，6]
C．[6，＋∞) D．(6，＋∞)
A [由题意得：当x>0时，mx0)，则有x＋≥2＝6 ，当且仅当x＝，即x＝3时，等号
成立．则
实数m的取值范围是m<6.]
11．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
D [由log4(3a＋4b)＝log2，得log2(3a＋4b)＝log2(ab)，所以3a＋
4b＝ab，即＋＝1.
- 8 -
所以a＋b＝(a＋b)＝＋＋7≥4＋7，当且仅当＝，即a
＝2＋4，b＝3＋2时取等号，故选D.]
12．已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则
a＝( )
【导学号：91432401】
A．3 B．2
C．－2 D．－3
B [画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，
若z＝ax＋y的最大值为4，则最优解为x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，经检验x＝2，y＝0符合题意，∴2a＋0＝4，此时a＝2，故选B.]
二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
2 [因为实数x，y满足xy＝1，所以x2＋2y2≥2＝2＝2，当且仅当x2＝2y2且xy＝1，即x2＝2y2＝时等号成立，故x2＋2y2的最小值为2.]
14．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________.
【导学号：91432402】
15 [由于三边长构成公差为4的等差数列，
故可设三边长分别为x－4，x，x＋4.
由一个内角为120°，知其必是最长边x＋4所对的角．
由余弦定理得，(x＋4)2＝x2＋(x－4)2－2x(x－4)·cos 120°，
∴2x2－20x＝0，
∴x＝0(舍去)或x＝10，
∴S△ABC＝×(10－4)×10×sin 120°＝15.]
15．设Sn是数列{an}的前 n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
－ [∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.
又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.]
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16．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号) 【导学号：91432403】
①③④ [因为ab≤2＝1，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，所以③正确；＋＝＝≥2，所以④正确．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝242，求n.
[解] (1)设{an}的首项为a1，公差为d，
则解得
∴通项an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d＝242，得12n＋×2＝242，解得n＝11，或n＝－22(舍去)．故 n＝11.
18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A＋sin C＝psin B(p∈R)，且ac＝b2.
(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；
(2)若角B为锐角，求p的取值范围.
【导学号：91432404】
[解] (1)由题设并利用正弦定理，得解得或
(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B＝p2b2－
b2－b2cos B，即p2＝＋cos B，因为00，所以p的取值范围为.
19．(本小题满分10分)解关于x的不等式>0(a≠0)．
[解] ∵x2－x＋3>0对x∈R恒成立，
∴原不等式可化为x2＋ax>0，即x(x＋a)>0.
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又a≠0，∴当a<0时，解得x<0或x>－a；
当a>0时，解得x<－a或x>0.
综上，当a<0时，
原不等式的解集为{x|x<0或x>－a}；
当a>0时，原不等式的解集为{x|x<－a或x>0}．
20．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，
c.
(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；
(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值.
【导学号：91432405】
[解] (1)因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，即2sin B＝sin A＋sin C，因为sin B＝sin(A＋C)，
所以sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
(2)因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，所以cos B＝≥＝＝，当且仅当a＝c＝b时，cos B取得最小值，此时三角形为正三角形．
21．(本小题满分12分)在△ABC中，BC＝6，点D在BC边上，且(2AC－AB)cos A＝BCcos C.
(1)求角A的大小；
(2)若AD为△ABC的中线，且AC＝2，求AD的长；
(3)若AD为△ABC的高，且AD＝3，求证：△ABC为等边三角形．
[解] (1)由(2AC－AB)cos A＝BCcos C及正弦定理，
有(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，
得2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C＝sin(A＋C)＝sin B，所以cos A＝.
因为0°
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