北京市一五九中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

北京市一五九中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

北京市第一五九中学2019－2020学年度第一学期期中考试 高一年级数学试题 考生须知 ‎1.本试卷共6页，共三道大题，22道小题.考试时间120分钟，试卷满分150分.‎ ‎2.除特别说明外，试卷答案一律填涂在答题卡或书写在答题纸上.‎ ‎3.选择题用2B铅笔在答题卡上作答，其他试题用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.‎ 一、选择题（每小题4分）‎ ‎1.集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以确定集合与集合中所包含的元素，然后根据交集的相关性质即可得出结果.‎ ‎【详解】因，即，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查交集的相关性质，交集是指两个集合中都包含的元素所组成的集合，考查推理能力，体现了基础性，是简单题.‎ ‎2.下列四个命题中的真命题为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以对四个选项中的式子进行求解，然后根据全称命题与特称命题的性质即可得出结果.‎ ‎【详解】A项：，解得，故A错；‎ B项：，解得，故B错；‎ C项：，解得，故C错；‎ D项：，故D正确，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题与特称命题的相关性质，全称命题是指“所以”、“任意”，而特称命题是指“存在”，考查推理能力与计算能力，是简单题.‎ ‎3.若则一定有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选 ‎4. 下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由于在上是增函数，所以在(0，2)上为增函数.‎ ‎5.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意得，不等式，解得或，‎ 所以“”是“”充分而不必要条件，‎ 故选A．‎ 考点：充分不必要条件的判定．‎ ‎6.函数的零点所在的一个区间是（ ）‎ A. （-2，-1） B. （-1，0） C. （0，1） D. （1，2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的零点判定定理，先判断函数的单调性，然后判断端点值的符合关系．‎ ‎【详解】解：∵f（x）＝2x+x﹣2在R上单调递增 又∵f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝1＞0‎ 由函数的零点判定定理可知，函数的零点所在的一个区间是（0，1）‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．‎ ‎7.已知集合， ，若，则的取值范围为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵，，‎ 由，‎ 得，‎ 故选．‎ 点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎8.若定义在上的偶函数在上单调递增，则下列各式中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据题意得出函数在上单调递减，然后判断出与、与、与以及与之间的大小关系，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递增，‎ 所以函数在上单调递减，‎ 故，，，，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查偶函数的相关性质以及根据函数单调性判断大小关系，偶函数左右两侧函数单调性相反且满足，考查推理能力，是简单题.‎ ‎9.已知，，，则的最小值为（ ）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据得出，然后将转化为并根据基本不等式化简得出，最后通过计算即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 因为（当且仅当时“=”号成立），‎ 所以，，，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的灵活应用，考查的公式为，考查化归与转化思想，考查推理能力，是中档题.‎ ‎10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗‎1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）‎ A. 消耗‎1升汽油，乙车最多可行驶‎5千米 B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗‎10升汽油 D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】解：对于A，由图象可知当速度大于‎40km/h时，乙车的燃油效率大于‎5km/L，‎ ‎∴当速度大于‎40km/h时，消耗‎1升汽油，乙车的行驶距离大于‎5km，故A错误；‎ 对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗‎1升汽油，甲车的行驶路程最远，‎ ‎∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；‎ 对于C，由图象可知当速度为‎80km/h时，甲车的燃油效率为‎10km/L，‎ 即甲车行驶‎10km时，耗油‎1升，故行驶1小时，路程为‎80km，燃油为‎8升，故C错误；‎ 对于D，由图象可知当速度小于‎80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，‎ ‎∴用丙车比用乙车更省油，故D正确 故选D．‎ 考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.‎ 二、填空题（每小题5分）‎ ‎11.命题，，则为____________.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以结合题意判断出命题是全称命题，然后根据全称命题的否命题是特称命题即可得出结果.‎ ‎【详解】因为命题，是全称命题，‎ 所以命题的否命题为，,‎ 故答案为：，.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题与特称命题的相关性质，全称命题的否命题是特称命题，考查推理能力，体现了基础性，是简单题.‎ ‎12.，则的零点为____________.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以通过题意得出分段函数的每一段函数的解析式，然后利用每一段函数的解析式即可求出零点.‎ ‎【详解】当时，函数，，解得；‎ 当时，函数，，解得；‎ 当时，函数，，解得(不满足)，‎ 综上所述，函数的零点为、，‎ 故答案为：、.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数零点的求解，能否明确每一个区间所对应的函数解析式是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.‎ ‎13.已知：奇函数的定义城是，当时，，则_________，且时，的解析式为____________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据函数是奇函数得出，然后将其带入中即可求出的值，最后根据即可求出当时函数的解析式.‎ ‎【详解】因为函数是奇函数，且当时，‎ 所以，，解得，，‎ 当时，，有，‎ 因为，所以，，‎ 故答案为：，.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，定义域包括的奇函数满足以及，考查推理能力，体现了基础性，是简单题.‎ ‎14.函数的两个零点为，，则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先可以根据函数解析式得出以及，然后根据即可求出的值.‎ ‎【详解】因为函数，‎ 所以根据韦达定理可知，两个零点为、满足，，‎ 所以，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查韦达定理在与零点相关问题上的灵活应用，若有两解、，则满足、，考查计算能力，是简单题.‎ ‎15.若是定义在R的偶函数，且在上是增函数，，则的解集是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据偶函数的性质可得，函数在上单调递减，且，故只需，解不等式即可求解.‎ ‎【详解】由是定义在R的偶函数，且在上是增函数，，‎ 可得在上单调递减，且，‎ 因为，所以，解得，‎ 故不等式的解集为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及单调性解不等式，属于基础题.‎ ‎16.定义在上的函数满足（，），，则__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 令x＝y＝0⇒f(0)＝0；令x＝y＝1⇒f(2)＝‎2f(1)＋2＝6；令x＝2，y＝1⇒f(3)＝f(2)＋f(1)＋4＝12；再令x＝3，y＝－3，得f(0)＝f(3－3)＝f(3)＋f(－3)－18＝0⇒f(－3)＝18－f(3)＝6‎ 三、解答题（共80分，要求写出规范的解答过程）：‎ ‎17.如果全集为，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可以根据集合得出集合，然后根据集合得出集合，最后根据交集的相关性质即可得出结果；‎ ‎(2)本题首先可以根据(1)得出或以及或，然后根据并集的相关性质即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)集合A：，，，，‎ 故集合，‎ 集合B：，，，‎ 故集合，‎ 故，‎ ‎(2)因为集合，所以或，‎ 因为集合，所以或，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的相关性质，主要考查交集、并集、补集的相关运算，考查推理能力与计算能力，能否熟知交集、并集、补集的含义是解决本题的关键，是简单题.‎ ‎18.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x（单位：元）．‎ ‎（1）写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；‎ ‎（2）该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？‎ ‎（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用/建筑总面积）‎ ‎【答案】（1）y＝560＋48x＋（x≥10，x∈N*）．（2）当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元 ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）依题意得 y＝（560＋48x）＋‎ ‎＝560＋48x＋（x≥10，x∈N*）．‎ ‎（2）∵x>0，∴48x＋‎ ‎≥2＝1440，‎ 当且仅当48x＝，即x＝15时取到“＝”，‎ 此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000（元）．‎ 答 当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元 ‎19.已知 ‎（1）求的奇偶性；‎ ‎（2）证明在区间上是增函数.‎ ‎【答案】（1）奇函数（2）证明见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)本题首先可以求出函数的定义域，然后根据函数解析式得出即可得出结果；‎ ‎(2)本题首先可以令且，然后对进行化简，得出，最后根据增函数的定义即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)因为函数，定义域为，‎ 所以，‎ 所以函数是奇函数.‎ ‎(2)令且，‎ 则有 ‎，‎ 因为且，‎ 所以，‎ 故函数在区间上是增函数.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性以及根据函数单调性的定义来判断函数单调性，若定义域关于轴对称的函数满足，则函数是奇函数；若函数满足，则函数是偶函数，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.‎ ‎20.已知函数，其中．‎ ‎（I）若，求在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（II）解关于x的不等式 ‎【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】(Ⅰ)最小值为，最大值为；‎ ‎(Ⅱ)当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为 ‎21.已知函数是定义在上的增函数，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）若，解不等式：.‎ ‎【答案】（1）0（2）证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题可以令以及，带入，即可得出结果；‎ ‎(2)本题可以令以及，然后带入，根据即可得出结果；‎ ‎(3)本题首先可以通过题意得出，然后根据得出，再然后根据得出即，最后根据函数是定义在上的增函数即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)令，，‎ 则，解得,‎ ‎(2)令，，则，‎ 因为，所以，‎ ‎(3)因为函数的定义域为，‎ 所以，，‎ 因为，所以，解得，‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 因为函数是定义在上的增函数，‎ 所以，即，‎ 即，，‎ 解得，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的灵活应用以及增函数的相关性质，若函数是增函数且满足，则有，考查推理能力，考查化归与转化思想，是难题.‎ ‎22.设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0）．‎ ‎（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；‎ ‎（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）g（x）=x （2）存在，a=c=，b=．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；‎ ‎（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在．‎ ‎【详解】（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0），‎ 可得a-b+c=0，又a=1，b=2，‎ 则f（x）=x2+2x+1，‎ 由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；‎ ‎（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，‎ 且f（x）为函数的一个承托函数．‎ 即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立，‎ 令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，‎ 即1-b=a+c，‎ 又ax2+（b-1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b-1）2‎-4ac≤0，‎ 即为（a+c）2‎-4ac≤0，即有a=c；‎ 又（a-）x2+bx+c-≤0恒成立，‎ 可得a＜，且b2-4（a-）（c-）≤0，‎ 即有（1‎-2a）2-4（a-）2≤0恒成立．‎ 故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1‎-2a，‎ 可取a=c=，b=．满足题意．‎ ‎【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和判别式法，考查运算能力，属于中档题．‎