北京市人大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

北京市人大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

人大附中2019-2020学年第一学期期中考试高一数学试卷 I卷（共17题，满分100分）‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确案填涂在答题纸上的相应位置.）‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据表示元素的范围以及表示元素是整数先分别用列举法写出集合，然后再计算的结果.‎ ‎【详解】因为，，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查集合集合的表示方法以及集合的交集运算，难度较易.‎ ‎2.下列各组函数是同一函数的是（ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选项A、C中分析每组函数的定义域是否相同；选项B中分析分析函数的值域；选项D中分析函数的定义域和值域.‎ ‎【详解】的定义域为{x|x≠0}，的定义域为R，故A选项错误；‎ 值域为，值域为R，故B选项错误；‎ 与的定义域为{x|x≠0}，定义域为R，故C选项错误；‎ 与的定义域和值域均为R，故D选项正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】判断两个函数是否为同一函数可以先从定义域进行分析，定义域不同，则不是同一函数；定义域相同则再分析对应关系，若对应关系也相同则为同一函数，若对应关系不相同则不是同一函数.‎ ‎3.下列函数中，在区间是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接判断一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数在区间上的单调性即可得到结果.‎ ‎【详解】、、在区间是减函数，‎ 在区间是增函数.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】一次函数的单调性判断：，当时在上递增，当时在上递减；‎ 二次函数的单调性判断：，当时在上递减，在上递增；当时在上递增，在上递减.‎ ‎4.命题“对任意x∈R，都有x2≥‎0”‎的否定为（　　）‎ A. 对任意x∈R，都有x2＜0 B. 不存在x∈R，都有x2＜0‎ C. 存在x0∈R，使得x02≥0 D. 存在x0∈R，使得x02＜0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题“对任意x∈R，都有x2≥‎0”‎的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．‎ 故选D．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎5.已知函数的图象是两条线段（如图，不含端点），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象先用分段函数形式写出的解析式，然后根据分段函数的解析式计算出的值.‎ ‎【详解】由图象可知：，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求值问题，难度较易.对于给定图象的函数，首先可考虑通过图象求出函数的解析式，然后再考虑计算函数值.‎ ‎6.已知是实数，则“且”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑“且”与“”互相推出的成立情况，判断出是何种条件.‎ ‎【详解】根据不等式的性质可知：由“且”可以推出“”，‎ 但由“”不能推出“且”，例如：，此时推不出“且”，‎ 所以是充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】对于充分、必要条件的判断要分两步考虑：判断充分性是否满足、判断必要性是否满足，再根据判断的结果得到是属于四种条件中的何种条件.‎ ‎7.如图所示，是吴老师散步时所走的离家距离与行走时间之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象中有一段为水平线段（表示离家的距离一直不变），逐项判断此时对应选项是否满足.‎ ‎【详解】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，‎ 所以A、B、C三个选项均不符合，只有D选项符合题意.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查实际问题中对应的函数图象问题，难度较易.‎ ‎8.已知集合为正整数}，则的所有非空真子集的个数是（ ）‎ A. 30 B. ‎31 ‎C. 510 D. 511‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据为正整数可计算出集合中的元素，然后根据非空真子集个数的计算公式（是元素个数）计算出结果.‎ ‎【详解】因为为正整数，所以{−，0， ，1，，2，，3，}，‎ 所以集合中共有9个元素，所以的非空真子集个数为29-2=510，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查用列举法表示集合以及计算集合的非空真子集的个数，难度较易.一个集合中含有个元素则：‎ 集合的子集个数为：；‎ 真子集、非空子集个数为：；‎ 非空真子集个数为：.‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）‎ ‎9.方程组的解集用列举法表示为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对的形式表示元素）.‎ ‎【详解】因为，所以，所以列举法表示解集为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元素表示成有序数的形式：.‎ ‎10.已知函数，则方程的解集为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别考虑时的解，求出解时注意判断是否满足定义域的要求.‎ ‎【详解】当时，，所以或（舍）；‎ 当时，，所以或（舍）；‎ 所以解集为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的简单应用，难度较易.已知是分段函数，求解方程的解时，可以根据的定义域分段考虑，求出每一段符合要求的解，最后写出解集.‎ ‎11.某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.‎ 点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．‎ ‎12.若函数在区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】（2，5）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的对称轴以及开口方向与单调性的关系，判断出二次函数的对称轴在区间内，由此计算出的取值范围.‎ ‎【详解】因为函数f(x)=x2-2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数，‎ 所以对称轴x=a-1位于区间(1,4)上，即1＜a-1＜4，所以2＜a＜5.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】判断二次函数的单调性，可以通过二次函数的开口方向以及对称轴来进行分析：开口向上，在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；开口向下，在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减.‎ ‎13.几位同学在研究函数时给出了下面几个结论：①函数的值域为；②若，则一定有；③在是增函数；④若规定，且对任意正整数都有：，则对任意恒成立.上述结论中正确结论的序号为__________.‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑时对应函数的值域、单调性、奇偶性即可判断出①②③是否正确，利用归纳推理的思想判断是否正确.‎ ‎【详解】的定义域为，当时且是单调递增的，‎ 当时且是单调递增的，‎ 当时，‎ 又因为，所以是奇函数，‎ 由此可判断出①②③正确，‎ 因为，，，‎ 由归纳推理可得：，所以④正确.‎ 故答案为：①②③④.‎ ‎【点睛】本题考查函数的值域、单调性、奇偶性的综合运用，难度较难.‎ ‎（1）分段函数的值域可以采用分段求解，最后再取各段值域的并集；‎ ‎（2）分段函数在判断单调性时，除了要考虑每一段函数单调性，还需要考虑到在分段点处各段函数的函数值的大小关系.‎ ‎14.函数，若存在，使得，则的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据的范围计算出的值域，然后分析的值域，考虑当两个值域的交集不为空集时对应的取值范围即可.‎ ‎【详解】因为，所以当时，‎ 因为，所以当时，‎ 由题意可知，‎ 当时，或，所以或，‎ 综上可知：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数值域的关系求解参数范围，难度一般. 当两个函数的值域的交集不为空集时，若从正面分析参数的范围较复杂时，可考虑交集为空集时对应的参数范围，再求其补集即可求得结果.‎ 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤， 请将答案写在答题纸上的相应位置.）‎ ‎15.设全集是实数集，，.‎ ‎（1）当时，求和；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】⑴，.⑵.‎ ‎【解析】‎ 本试题主要是考查了集合的运算以及二次不等式的求解的综合运用。‎ ‎（1）因为全集是实数集R，，得到，当时，，故，.。‎ ‎（2）由于,得到集合的关系在求解参数的范围。‎ 解析：⑴，当时，，故，.‎ ‎⑵由，知。‎ ‎①，；‎ ‎②当时，，，，只要满足，则；综上所述.‎ ‎16.已知二次函数.‎ ‎（1）已知的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）已知，设、是关于的方程的两根，且，求实数的值；‎ ‎（3）已知满足，且关于的方程的两实数根分别在区间内，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）（，）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据一元二次不等式的解集的端点值为对应一元二次方程的根，列出方程组求解出的值；‎ ‎（2）将用表示，然后根据韦达定理将转化为关于的方程，求解出其中的值；‎ ‎（3）根据将用的形式表示，然后考虑新函数的零点分布，由此得到关于的不等式，求解出解集即可.‎ ‎【详解】（1）因为的解集为，所以，所以；‎ ‎（2）因为，所以，‎ 因为，所以，所以，‎ 当时，满足条件，‎ 当时，此时无解，所以不符合，‎ 所以；‎ ‎（3）因为，所以，所以，‎ 所以，令，‎ 因为的两根在区间内，所以，解得，‎ 则的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求参数以及二次函数的零点分布问题，难度一般.‎ ‎（1）一元二次不等式的解集的端点值即为对应一元二次方程的根；‎ ‎（2）一元二次方程根的分布问题可转化为二次函数的零点分布问题.‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）指出该函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；‎ ‎（3）已知函数，当时，的取值范围是，求实数取值范围.(只需写出答案)‎ ‎【答案】（1）函数为奇函数；（2）函数在（0，1]上为减函数，在（1，2]上为增函数，证明见解析；（3）[0，1].‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求函数的定义域，然后根据定义判断出的奇偶性；‎ ‎（2）利用定义法证明在上的单调性即可；‎ ‎（3）作出的图象，根据图象分析的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为的定义域为关于原点对称且，‎ 所以是奇函数；‎ ‎（2）单调递减，‎ 证明：任取且，‎ 所以，‎ 因为，所以，，所以，所以，‎ 所以在上单调递减；‎ ‎（3），‎ 作出图象如图所示：‎ 可知当值域为时，.‎ ‎【点睛】（1）判断函数的奇偶性时，第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则一定是非奇非偶函数，若对称则再判断与的关系由此得到函数奇偶性；‎ ‎（2）用定义法判断函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判符号、给出结论.‎ II卷 （共7道题，满分50分）‎ 四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）‎ ‎18.已知两个函数和的定义域和值域都是集合，其定义如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 则方程的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别考虑时是否满足方程，若满足则是方程的解，若不满足则不是方程的解.‎ ‎【详解】当x=1时，g[f(1)]=g（2）=2=1+1‎ ‎∴x=1是方程的解 当x=2时，g[f(2)]=g（1）=3=2+1‎ ‎∴x=2是方程的解 当x=3时，g[f(3)]=g（3）=1≠3+1‎ ‎∴x=3不是方程的解.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的定义域与值域的对应关系求方程的解，难度较易.求形如的复合函数的值时，可先计算出内层的值，然后根据的值，计算外层的值.‎ ‎19.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则实（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是偶函数得到在上的单调性，考虑时对应的关于的不等式，最后求出的范围.‎ ‎【详解】因为是上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以或，‎ 所以的取值范围是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的单调性、奇偶性求解参数范围，难度一般.‎ ‎（1）利用奇偶性可分析函数在对称区间上的单调性；‎ ‎（2）利用单调性可将函数值之间的关系转化为自变量之间的关系，从而达到求解参数范围的目的.‎ ‎20.已知函数在上有零点，则正数的所有可取的值的集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑函数在区间 上有一个零点、有两个零点，根据二次函数的零点分布分别求解出的取值范围，即可求解出正数的所有取值的集合.‎ ‎【详解】当在实数集上仅有一个零点，，所以，‎ 此时零点，所以满足；‎ 当在实数集上有两个零点，有一个零点在上时，，‎ 所以，所以；‎ 当在上有两个零点时，对称轴为，‎ 所以，解得，所以.‎ 综上所述：正数的所有取值的集合为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的零点分布以及零点的存在性定理的运用，难度一般.定义在区间上的，若有则在区间上一定有零点；反之，若在区间上有零点则不一定有.‎ 五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）‎ ‎21.已知函数，则函数的最大值为_______；函数的最小值为________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的函数结构，考虑将平方（注意定义域），利用二次函数的最值分析方法求解出的最值，即可求解出的最值.‎ ‎【详解】因为[f(x)]2=(+)2=4+2()‎ 当x=-1时，[f(x)]2取最大值8，所以f(x)max=2‎ 当x=1时，[f(x)]2取最小值4，所以f(x)min=2.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查含根号函数的最值的求解，难度一般.常见的含根号函数的值域或最值的求解方法：若只有一处含有根号，可考虑使用换元法求解函数的值域或最值；若是多处含有根号，可考虑函数本身的特点，通过平方、配凑等方法处理函数，使其更容易计算出值域或最值.‎ ‎22.关于的方程的实根个数记.（1）若，则=____________；（2）若，存在使得成立，则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据一次函数的特点直接可得到此时的值；‎ ‎（2）利用函数图象先考虑是否满足，再利用图象分析时满足要求时对应的不等式，从而求解出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）若g（x）=x+1，则函数的值域为R，且函数为单调函数，故方程g（x）=t有且只有一个根，故f（t）=1，‎ ‎（2）‎ 当时，利用图象分析可知：‎ 如下图，此时，，不满足题意； ‎ 如下图，此时，，不满足题意；‎ 当时，利用图象分析可知：‎ 当时，由上面图象分析可知不符合题意，‎ 当时，若要满足，如下图所示： ‎ 只需满足：，，所以，解得.‎ 综上可知：.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查了数形结合思想的运用，难度较难.方程的根的数目可通过数形结合的方法利用函数图象的交点个数来表示，更直观的解决问题.‎ ‎23.对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数值域是，则称区间为函数的“保值”区间.（1）写出函数的一个“保值”区间为_____________；（2）若函数存在“保值”区间，则实数的取值范围为_____________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件可知在区间上是单调函数，根据的值域判断出，由此得到从而求解出的值；‎ ‎（2）设存在的“保值”区间为，考虑两种情况：、，根据单调性得到关于等式，由此表示出并求解出的范围.‎ ‎【详解】（1）因为，所以的值域为，‎ 所以，所以在上单调递增，‎ 所以，所以，解得，所以一个“保值”区间为；‎ ‎（2）若，则在上单调递减，所以，所以，‎ 所以，所以，，‎ 所以，‎ 又因为，所以，所以，‎ 所以；‎ 当时，则在上单调递增，所以，所以，‎ 所以，所以，，‎ 所以，‎ 又因为，所以，所以，‎ 因为，所以.‎ 综上可知：.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查新定义背景下的二次函数的定义域、值域与单调性的综合问题，难度较难. 处理这类问题的关键是：将定义内容与已学知识产生联系，运用已学知识解决问题.本例中的保值区间实际就是函数的定义域与值域以及函数的单调性的结合.‎ 六、解答题（本大题共1小题，满分14分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）‎ ‎24.已知为实数，用表示不超过的最大整数.‎ ‎（1）若函数，求的值；‎ ‎（2）若函数，求的值域；‎ ‎（3）若存在且，使得，则称函数是函数，若函数 是函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1，2；（2）{0，1}；（3）且且．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据取整函数的定义直接计算；‎ ‎（2）考虑与之间的大小关系，从而得到的值域；‎ ‎（3）对进行分类讨论：，利用单调性证明在时不成立，当时，再对分类讨论：，由此求解出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）f(1.2)=1,f(-1.2)=-2；‎ ‎（2）因为[]=[]或[]=[]+1‎ 所以若函数的值域为{0，1}‎ ‎（3）当函数f（x）=x+是Ω函数时，‎ 若a=0，则f（x）=x显然不是Ω函数，矛盾．‎ 若a＜0，则一个增函数，‎ 所以f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，‎ 此时不存在m＜0，使得f（m）=f（[m]），‎ 同理不存在m＞0，使得f（m）=f（[m]），‎ 又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，‎ 所以此时f（x）=x+不是Ω函数．‎ 当a＞0时，设f（m）=f（[m]），所以m+=[m]+，所以有a=m[m]，其中[m]≠0，‎ 当m＞0时，‎ 因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜（[m]+1）[m]，‎ 所以[m]2＜a＜（[m]+1）[m]，‎ 当m＜0时，[m]＜0，‎ 因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＞m[m]＞（[m]+1）[m]，‎ 所以[m]2＞a＞（[m]+1）[m]，‎ 记k=[m]，综上，我们可以得到：a＞0且∀k∈N•，a≠k2且a≠k（k+1）．‎ ‎【点睛】本题考查新定义背景下的取整函数问题，主要考查学生的运算和推理能力，难度较难.取整函数是一个比较常考的一个函数，它实际上可以看做是一个分段函数，其函数图象的每一段都是平行于轴的.‎