山东省泰安市肥城市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

山东省泰安市肥城市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学试题 一、选择题 ‎1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，在复平面内对应的点为，位于第一象限．故A正确．‎ 考点：复数的运算．‎ ‎2.若函数，则值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出导函数，再计算导数值．‎ ‎【详解】由题意，∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数公式是解题关键．‎ ‎3.已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a=‎ A –4 B. –‎2 ‎C. 4 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D.‎ ‎【考点】函数的导数与极值点 ‎【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在 附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点.‎ ‎4.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)= ( )‎ A. -1 B. -2‎ C. 2 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，∴，令函数，可得，即函数为奇函数，∴，故选B.‎ ‎5.已知函数，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数和对数函数的导数公式计算．‎ ‎【详解】由题意．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运算，考查指数函数和对数函数的导数公式，掌握基本初等函数的导数公式是解题关键．‎ ‎6.在复平面内，设复数对应点关于实轴、虚轴的对称点分别是，则点对应的复数和是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先写出复数对应点坐标，求出对称点坐标后可得其对应复数，按题意计算即可．‎ ‎【详解】对应点为，则，，对应复数分别为，．‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题．复数在复平面上对应点为．也可从对称性得出两点关于原点对称，从而对应的复数和为0．‎ ‎7.若函数有极大值点和极小值点，则导函数的大致图象可能为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：首先确定所给函数的导函数为二次函数，然后结合函数的极值确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定函数的大致图象.‎ 详解：三次函数的导函数为二次函数，其图象与轴有两个交点，‎ 结合函数的极值可知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 则导函数在区间上为正数，在区间上为负数，在区间上为正数；‎ 观察所给的函数图象可知，只有C选项符合题意.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．‎ ‎(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．‎ ‎8.如图所示，圆为单位圆，、、、、分别表示的复数为、、、、，则只可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出，，求出，再分析确定 ‎【详解】由题意设，，，‎ 则，‎ 显然有，，且，只可能是对应的．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义．掌握模的概念是解题关键．‎ ‎9.已知函数，，则的极大值点为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导数，确定函数的单调性，可得极大值点．‎ ‎【详解】由题意，∵，由得，‎ 当或时，，时，，‎ ‎∴极大值点为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查导数与极值，在可导区间内函数的极值点不仅要求导数值为0，而且要求在该点两侧导数的符号相反．‎ ‎10.已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，由在上有解且不是等根可得．‎ ‎【详解】由题意，‎ 有两个不等实根，且在上有解．‎ ‎，，，‎ ‎∴，即．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查导数与单调性．对于可导函数，一般由确定增区间，由确定减区间．因此函数在某一区间不单调，则在此区间内方程有解，且在解的两侧的符号相反．‎ ‎11.若复数的实部等于虚部，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的定义写出其实部和虚部，由题意用表示出，再利用导数的知识求得最小值．‎ ‎【详解】由题意，，‎ ‎，易知当时，，时，，‎ ‎∴时，取得极小值也是最小值．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查复数的概念，考查用导数求函数的最值．求函数的最值，可先求出函数的极值，然后再确定是否是最值．‎ ‎12.已知函数，若，，，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意将问题转化为，记，从而在 上单调递增，从而在上恒成立，利用分离参数法可得，结合题意可得即可.‎ ‎【详解】设，因为，‎ 所以.‎ 记，则在上单调递增，‎ 故在上恒成立，即在上恒成立，‎ 整理得在上恒成立.‎ 因为，所以函数在上单调递增，‎ 故有.因为，‎ 所以，即.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了导数在不等式恒成立中的应用、函数单调性的应用，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.若复数为纯虚数，则________.‎ ‎【答案】5i .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用纯虚数的定义、复数的运算即可得出．‎ ‎【详解】∵为纯虚数，∴，∴，∴.‎ 故答案为：5i ‎【点睛】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算，属于基础题．‎ ‎14.曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.‎ 详解】由，得，‎ 则曲线在点处的切线的斜率为，‎ 则所求切线方程为，即.‎ ‎【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.‎ ‎15.已知函数的极小值为，则的值为______.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，确定极小值，由已知求出参数．‎ ‎【详解】由题意，时，，时，，所以的极小值是，所以，．‎ 故答案为：0．‎ ‎【点睛】本题考查导数与极值，掌握极值的定义是解题关键．‎ ‎16.设函数，集合，，若Ü，则实数的取值构成的集合是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，由求得或，结合分类讨论．‎ ‎【详解】由题意，令得或，‎ 若，则满足题意；‎ 时，首先有，即，，‎ 则，由得，解得或（舍去）．‎ ‎∴的取值集合是．‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】本题结合导数，考查集合之间的包含关系．考查学生的推理论证能力和运算求解能力．‎ 三、解答题 ‎17.设复数.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）求.‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据复数模的定义和共轭复数的定义求解．‎ ‎（2）由复数的乘法运算和减法运算计算．‎ ‎【详解】（1）由题意，；‎ ‎（2）．‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算，考查复数模和共轭复数的概念，属于基础题．‎ ‎18.已知函数在处取得极值，且.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求函数的极大值和极小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）极大值为，极小值为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导数，由和可求得；‎ ‎（2）由导数确定函数的单调性，得极值．‎ ‎【详解】（1）由题意，∴，，‎ 又．∴；‎ ‎（2）由（1），‎ ‎，‎ 当或时，时，，‎ ‎∴在和上递增，在上递减．‎ 的极大值为，极小值为．‎ ‎【点睛】本题考查导数与函数的极值之间的关系，掌握极值的概念和求法是解题关键．‎ ‎19.已知复数z满足，z的实部、虚部均为整数，且z在复平面内对应的点位于第四象限.‎ ‎（1）求复数z；‎ ‎（2）若，求实数m，n的值.‎ ‎【答案】(1) 或. ‎ ‎(2) ，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件，设出复数z，通过及所对点所在位置求出即可复数z；‎ ‎（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m，n的值 ‎【详解】（1）设，则，‎ 因为z在复平面内对应的点位于第四象限，所以，，‎ 所以或，‎ 所以或.‎ ‎（2）由（1）知或，‎ 当时，；当时.‎ 因为，所以，解得，.‎ ‎【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题 ‎20.设函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别在和两种情况下，根据的正负可确定的单调性；‎ ‎（2）根据（1）的结论可确定不合题意；当时，根据指数函数值域可知满足题意；当时，令，由此构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意得：，‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，令得：.‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增.‎ 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）可知：当时，在上单调递增，‎ 当时，，，此时，不合题意；‎ 当时，恒成立，满足题意.‎ 当时，在处取最小值，且，‎ 令，解得：，此时恒成立.‎ 综上所述：的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果.‎ ‎21.某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值万元与投入万元之间满足：，为常数.当万元时，万元；当万元时，万元.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求该景点改造升级后旅游利润的最大值.‎ ‎（参考数据：，，）‎ ‎【答案】（1）；（2）24.4万元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由万元时，万元；当万元时，万元.代入可求得参数，得解析式；‎ ‎（2）求导数，由导数确定单调性后可得最大值．‎ ‎【详解】（1）由题意，解得，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由（1），‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴时，，递增，时，，递减，‎ ‎∴时，取得极大值也是最大值，‎ ‎∴该景点改造升级后旅游利润的最大值为24.4万元．‎ ‎【点睛】本题考查函数模型的应用，考查用导数的实际应用．考查学生的运算求解能力，数学应用意识．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）当时，求的最值；‎ ‎（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）最小值是，无最大值；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，由导函数确定函数的单调性得最值；‎ ‎（2）求出，有函数有两个极值点，即方程有两个不等正根，得的范围，同时求出，可得，由单调性可得所求取值范围．‎ ‎【详解】（1）由题意，，易知时，，‎ 递减，时，，递增．‎ ‎∴有极小值，也是最小值，无最大值．‎ ‎（2）由题意，，‎ 在两个极值点，则是方程的两个不等正根，‎ ‎∴，∴，，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 显然是关于的减函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查导数与函数最值，考查与函数极值点有关的范围问题，解题时可根据极值点的定义找到极值点与参数的关系，把待极值点的问题化为的函数，然后利用的范围求出结论．‎