2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）

2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）

‎2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1}‎ ‎2．（5分）已知复数z满足（z﹣i）i=2+i，i是虚数单位，则|z|=（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎3．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．12 B．11 C．3 D．﹣1‎ ‎4．（5分）设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（　　）‎ ‎（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%）‎ A．.7539 B．6038 C．7028 D．6587‎ ‎5．（5分）数学文化《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（　　）盏灯．‎ A．24 B．48 C．12 D．60‎ ‎6．（5分）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（　　）‎ A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了 ‎7．（5分）函数的部分图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（　　） ‎ A． B．﹣1 C．2018 D．2‎ ‎9．（5分）设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积是1，且a+b=3，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．.2 B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知△ABC的三个内角A，B、C的对边分别为a、b、c，若2sin（﹣）=1，且a=2，则△ABC的面积的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎11．（5分）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足条件f（1+x）=f（1﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，若函数g（x）=|f（x）|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上有4032个零点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（e，e3） C．（e，e2） D．（1，e3）‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，‎ ‎13．（5分）已知，若，则λ=　 　．‎ ‎14．（5分）在（1﹣x）2（1﹣）4的展开式中，x2的系数是　 　．‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）=4sinωx﹣sin2（+）﹣2sin2ωx（ω＞0）在区间上是增函数，且在区间[0，x]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是　 　_．‎ ‎16．（5分）从抛物线x2=4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（12分）设正项等比数列{an}，a4=81，且a2，a3的等差中项为．‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）若bn=log3a2n﹣1，数列{bn}的前n项和为Sn，数列，Tn为数列{cn}的前n项和，若Tn＜λn恒成立，求λ的取值范围．‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，PC=2，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点．‎ ‎（I）求证：平面EAC⊥平面PCD；‎ ‎（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎19．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 A1‎ 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%‎ A2‎ 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%‎ A3‎ 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%‎ A4‎ 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0%‎ A5‎ 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10%‎ A6‎ 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%‎ 某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：‎ 类型 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ 数量 ‎20‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ 以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：‎ ‎（I）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a=950（元），记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；‎ ‎（II）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：‎ ‎①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C1：（（a＞b＞0））的一个焦点为F1，且经过点P．‎ ‎（I）求椭圆C1的标准方程；‎ ‎（II）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．‎ ‎21．（12分）已知函数（a∈R）．‎ ‎（I）讨论g（x）的单调性；‎ ‎（II）当时，函数在其定义域内有两个不同的极值点，记作x1，x2，且x1＜x2，若m≥1，证明：．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l倾斜角为α，其参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．‎ ‎（I）若直线l与曲线C有公共点，求直线l倾斜角α的取值范围；‎ ‎（II）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．‎ ‎（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1}‎ ‎【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，‎ B={﹣1，0，1，2}，‎ 则A∩B={0，1，2}．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知复数z满足（z﹣i）i=2+i，i是虚数单位，则|z|=（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【解答】解：由（z﹣i）i=2+i，得z﹣i=，‎ ‎∴z=1﹣i，‎ 则|z|=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．12 B．11 C．3 D．﹣1‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=3x+y得y=﹣3x+z，‎ 平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，‎ 直线的截距最大，此时z最大．‎ 由，解得，‎ 即A（1，2），此时zmax=3×3+2=11，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（　　）‎ ‎（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=95.44%）‎ A．.7539 B．6038 C．7028 D．6587‎ ‎【解答】解：∵X～N（1，1），∴μ=1，σ=1．μ+σ=2‎ ‎∵P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=68.26%，∴则P（0＜X＜2）=68.26%，‎ 则P（1＜X＜2）=34.13%，‎ ‎∴阴影部分的面积为：0.6587．‎ ‎∴正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587．‎ 故选：D ‎　‎ ‎5．（5分）数学文化《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（　　）盏灯．‎ A．24 B．48 C．12 D．60‎ ‎【解答】解：根据题意，设最底一层有a盏灯，‎ 则由题意知从下而上，第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a为首项，以为公比的等比数列，‎ 又由S7==381，‎ 解可得a=192，‎ 则a4=a×（）3=24，‎ 即该塔中间一层有24盏灯；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（　　）‎ A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了 ‎【解答】解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；‎ 假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，‎ 若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；‎ 若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）函数的部分图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，‎ ‎∵＜1，排除A．‎ 当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f（x）单调递增，排除D，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（　　） ‎ A． B．﹣1 C．2018 D．2‎ ‎【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：‎ 初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，‎ 同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，‎ 可见Sn的值周期为3．‎ ‎∴当k=2017时，S2017=S1=，‎ k=2018，退出循环．输出S=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）设P是双曲线上的点，F1，F2是其焦点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积是1，且a+b=3，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．.2 B． C． D．‎ ‎【解答】解：方法一：设|PF1|=m，|PF2|=n，由题意得 由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积是1，则mn=1，得mn=2，‎ ‎∵Rt△PF1F2中，根据勾股定理得m2+n2=4c2‎ ‎∴（m﹣n）2=m2+n2﹣2mn=4c2﹣4，‎ 结合双曲线定义，得（m﹣n）2=4a2，‎ ‎∴4c2﹣4=4a2，化简整理得c2﹣a2=1，即b2=1，‎ 则b=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，‎ ‎∴该双曲线的离心率为e==，‎ 故选C．‎ 方法二：由双曲线的焦点三角形的面积公式S=，∠F1PF2=θ，‎ 由PF1⊥PF2，则∠F1PF2=90°，‎ 则△PF1F2的面积S==b2=1，由a+b=3，得a=2，所以c==，‎ ‎∴该双曲线的离心率为e==，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知△ABC的三个内角A，B、C的对边分别为a、b、c，若2sin（﹣）=1，且a=2，则△ABC的面积的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【解答】解：∵2sin（﹣）=1，A∈（0，π），‎ ‎∴∈，‎ ‎∴=，‎ ‎∴．‎ 又a=2，由余弦定理得：4=b2+c2﹣2bc，即4=b2+c2+bc．‎ 根据基本不等式得：4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc．即bc≤．‎ 当且仅当b=c时，等号成立．‎ ‎△ABC面积S=bcsinA≤=（当且仅当b=c时，等号成立）‎ ‎∴△ABC的面积的最大值．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解析：三棱锥的直观图如图，以△PBC所在平面为球的截面，‎ 则截面圆O1的半径为，以△ABC所在平面为球的截面，‎ 则截面圆O2的半径为球心H到△ABC所在平面的距离为，‎ 则球的半径R为，‎ 所以球的体积为=4．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足条件f（1+x）=f（1﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，若函数g（x）=|f（x）|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2018，2018]‎ 上有4032个零点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（e，e3） C．（e，e2） D．（1，e3）‎ ‎【解答】解：∵f（x）满足条件f（1+x）=f（1﹣x）且为奇函数，函数f（x）=f（2﹣x）=﹣f（﹣x）‎ ‎∵f（﹣x）=f（2+x）⇒f（x+4）=f（x）‎ ‎∴f（x）周期为4，‎ ‎∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，根据m（x）=|f（x）|与n（x）=ae﹣|x|图象，‎ 函数g（x）=|f（x）|﹣ae﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上有4032个零点，‎ 即m（x）=|f（x）|与n（x）=ae﹣|x|在[0，4]有且仅有两个交点，‎ ‎∴‎ 即e＜a＜e3．‎ 故选：B ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，‎ ‎13．（5分）已知，若，则λ=　　．‎ ‎【解答】解：∵，，‎ ‎∴=﹣1+2λ=0，‎ 解得λ=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在（1﹣x）2（1﹣）4的展开式中，x2的系数是　﹣10　．‎ ‎【解答】解：（1﹣x）2（1﹣）4=（1﹣2x+x2）（1﹣4+﹣+x2）‎ ‎∴x2的系数=1﹣2+1=﹣10．‎ 故答案为：﹣10．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）=4sinωx﹣sin2（+）﹣2sin2ωx（ω＞0）在区间上是增函数，且在区间[0，x]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是　　_．‎ ‎【解答】解：f（x）=4sinωx﹣sin2（+）﹣2sin2ωx ‎=4sinωx﹣﹣2sin2ωx ‎=2sinωx（1+sinωx）﹣2sin2ωx ‎=2sinωx，‎ 即：f（x）=2sinωx，‎ ‎∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．‎ 又∵函数在上递增，∴，‎ ‎∴得不等式组，得，‎ 又∵ω＞0，‎ ‎∴，‎ 又函数在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，‎ 根据正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，‎ 即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，‎ ‎∴ω≥，‎ 综上，可得．‎ 故答案是：．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）从抛物线x2‎ ‎=4y的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为　　．‎ ‎【解答】解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，﹣1），‎ 则，‎ 又∵，，∴，则．‎ 由x2=4y，得，∴，‎ ‎∴切线PA的方程为y﹣y1=（x﹣x1），‎ 切线PB的方程为y﹣y2=（x﹣x2），‎ 即切线PA的方程为y﹣=（x﹣x1），即；‎ 切线PB的方程为y﹣=（x﹣x2），即．‎ ‎∵点P（x0，﹣1）在切线PA、PB上，‎ ‎∴，，‎ 可知x1，x2是方程x2﹣2x0x﹣4=0的两个根，‎ ‎∴x1+x2=2x0，得．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（12分）设正项等比数列{an}，a4=81，且a2，a3的等差中项为．‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）若bn=log3a2n﹣1，数列{bn}的前n项和为Sn，数列，Tn为数列{cn}的前n项和，若Tn＜λn恒成立，求λ的取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q（q＞0），‎ 由题意，得…（2分）‎ 解得…（3分）‎ 所以 …（4分）‎ ‎（II） 由（I）得，…（5分）． …（6分）‎ ‎∴，…（8分）‎ ‎∴，…（10分）‎ 若恒成立，则 恒成立，‎ 则，所以…（12分）‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，PC=2，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD的中点．‎ ‎（I）求证：平面EAC⊥平面PCD；‎ ‎（II）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（I）∵PC⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴PC⊥AC，‎ 由题意可知，AD∥BC，且AD=2BC=2‎ ‎△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴AC=，CD=，…（2分）‎ ‎∴CD2+AC2=AD2，即AC⊥CD，…（3分）‎ 又∵PC∩CD=C，…（4分）‎ ‎∴AC⊥平面PCD，…（5分）‎ ‎∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PCD． …（6分）‎ 解：（II）解法1：由（1）得平面EAC⊥平面PCD，平面EAC∩平面PCD=EC，‎ 作PH⊥EC，则PH⊥平面EAC，…（8分）‎ ‎∴PA与平面EAC所成角为∠PAH，…（9分）‎ 在Rt△PAC中，PA=，‎ 在Rt△PHC中，sin∠PCE=，PH=PCsin，…（10分）‎ sin=，‎ ‎∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）‎ 解法2：∵PC⊥底面ABCD，则建立如图所示的直角坐标系，…（7分）‎ 则P（0，0，2），，‎ ‎，，．…（8分）‎ 设平面EAC的法向量为=（x，y，z），‎ 则，即，…（9分）‎ 令z=1，解得…（10分）‎ 记直线PA与平面EAC所成角为θ，‎ 则sinθ==，‎ 所以直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）‎ ‎　‎ ‎19．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 A1‎ 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%‎ A2‎ 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%‎ A3‎ 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%‎ A4‎ 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0%‎ A5‎ 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10%‎ A6‎ 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%‎ 某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：‎ 类型 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ 数量 ‎20‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ 以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：‎ ‎（I）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a=950（元），记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；‎ ‎（II）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：‎ ‎①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该销售商获得利润的期望值．‎ ‎【解答】解：（I）由题意可知：X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，…（1分）‎ 由统计数据可知：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．…（4分）‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0.9a ‎0.8a ‎0.7a a ‎1.1a ‎1.3a P ‎…（5分）‎ ‎∴…（6分）‎ ‎（II）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，…（7分）‎ 三辆车中至多有一辆事故车的概率为…（9分）‎ ‎②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000，‎ P（Y=﹣500）=，P（Y=10000）=，‎ ‎∴Y的分布列为：‎ Y ‎﹣5000‎ ‎10000‎ P ‎…（10分）…（11分）‎ 所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY=550000元=55万元．…（12分）‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知椭圆C1：（（a＞b＞0））的一个焦点为F1，且经过点P．‎ ‎（I）求椭圆C1的标准方程；‎ ‎（II）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB 面积取得最大值时直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆C1的另一个焦点为F2，由题意可得，△PF1F2‎ 为直角三角形，‎ 则，∴，‎ 由椭圆的定义得，即a=3，‎ 又由b2+c2=a2，得b=2，‎ ‎∴椭圆C1的标准方程；‎ ‎（2）设椭圆C2的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎∵λ＞1，∴点C（﹣1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点．‎ 当直线l垂直于x轴时，（不是零向量），不合条件；‎ 故设直线 l方程为y=k（x+1）（A，B，O三点不共线，故k≠0），‎ 由，得．‎ ‎∴，‎ ‎∵，而点C（﹣1，0），‎ ‎∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），即y1=﹣2y2，则y1+y2=﹣y2，‎ ‎∴．‎ ‎∴△OAB的面积为S△OAB=S△AOC+S△BOC=‎ ‎==═×==．‎ 上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB的面积取得最大值．‎ ‎∴直线l的方程为或．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数（a∈R）．‎ ‎（I）讨论g（x）的单调性；‎ ‎（II）当时，函数在其定义域内有两个不同的极值点，记作x1，x2，且x1＜x2，若m≥1，证明：．‎ ‎【解答】解：（I）（a∈R），‎ 方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a，‎ ‎①当时，△≤0，g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）为增函数，‎ ‎②当时，△＞0，方程2x2+x﹣a=0的两根为，‎ 当时，x1＜x2≤0，g（x）在（0，+∞）为增函数，‎ 当a＞0时，x1＜0＜x2，g（x）在（x2，+∞）为增函数，在（0，x2]为减函数，‎ 综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间，‎ 当a＞0时，g（x）的增区间为（x2，+∞），减区间（0，x2]，‎ ‎（II）证明：f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a，‎ 所以 f'（x）=lnx﹣ax 因为f（x）有两极值点x1，x2，‎ 所以lnx1=ax1，lnx2=ax2，‎ 欲证等价于要证：，‎ 即 1+m＜lnx1+mlnx2，‎ 所以1+m＜lnx1+mlnx2=ax1+max2=a（x1+mx2），‎ 因为m≥1，0＜x1＜x2，‎ 所以原式等价于要证明：．‎ 又lnx1=ax1，lnx2=ax2，‎ 作差得ln=a（x1﹣x2），‎ 所以a=‎ 所以原式等价于要证明：，‎ 令t=，t∈（0，1），上式等价于要证：，t∈（0，1），‎ 令，‎ 所以，‎ 当m≥1时，h′（t）＞0，‎ 所以h（t）在（0，1）上单调递增，‎ 因此h（t）＜h（1）=0，‎ 所以在t∈（0，1）上恒成立，所以原不等式成立．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l倾斜角为α，其参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．‎ ‎（I）若直线l与曲线C有公共点，求直线l倾斜角α的取值范围；‎ ‎（II）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．转化为：x2+y2﹣4x=0，‎ 整理得：（x﹣2）2+y2=4‎ ‎∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆．‎ ‎∵直线l过点P（﹣2，0），当l斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点；‎ ‎∴当直线l斜率存在时，‎ 设直线l的方程为：y=k（x+2），‎ 即kx﹣y+2k=0‎ 直线l与圆有公共点，则 ，‎ 解得：‎ ‎∵α∈[0，π]，‎ ‎∴α的取值范围是：[0，]．‎ ‎（II）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0，‎ 可化为：（x﹣2）2+y2=4．‎ 其参数方程为：（θ为参数） ‎ ‎∵M（x，y）为曲线C上任意一点，‎ ‎∴=2+，‎ 由于：‎ 则：‎ 所以：‎ ‎∴x+y的取值范围是[﹣2.6]．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．‎ ‎（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；‎ ‎（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≥2无解； …（1分）‎ 当﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…（3分）‎ 当x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≥2恒成立．…（4分）‎ 综上，不等式f（x）≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…（5分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知…（6分）‎ 易知函数f（x）的最大值M=8，…（7分）‎ 若x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…（8分）‎ 即m≤[﹣（x+1）2+9]max=9．…（9分）‎ 因此，m的取值范围是m≤9．…（10分）‎ ‎　‎