专题15 三角函数求值问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题15 三角函数求值问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大.‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 切割化弦 使用情景：一般三角求值类型 解题模板：第一步 利用同角三角函数的基本关系，将题设中的切化成弦的形式；‎ 第二步 计算出正弦与余弦之间的关系；‎ 第三步 结合三角恒等变换可得所求结果.‎ 例1【广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考数学（文）试题】已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【变式演练1】已知，且，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，选A．‎ 考点：同角间三角函数关系 ‎ ‎【变式演练2】已知，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，将原式上下同时除以，即，故选C.‎ 考点：同角三角函数基本关系 ‎【变式演练3】已知，则的值为 .‎ ‎【答案】‎ 考点：三角函数的变形与求值．‎ ‎【变式演练4】已知，则（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，则，‎ ‎.‎ 考点：诱导公式，同角间的三角函数关系，二倍角公式.‎ ‎【变式演练5】已知，则____________．‎ ‎【答案】‎ 考点：诱导公式及同角三角函数的关系的运用．‎ 方法二 统一配凑 使用情景：一类特殊三角求值类型 解题模板：第一步 观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；‎ 第二步 利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转 化为已知条件中的三角函数值；‎ 第三步 利用三角恒等变换即可得出所求结果.‎ 例2【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考（一）数学文试题】设为锐角，若，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【变式演练6】若，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，且 ‎，‎ 又，且 从而 故选C．‎ 考点：1．同角三角函数的关系；2．两角和与差的三角函数．‎ ‎【变式演练7】设，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：同角间的三角函数关系及两角和差的正弦公式.‎ ‎【变式演练8】若,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，故选A.‎ 考点：两角和与差的正切公式．‎ ‎【变式演练9】已知则 ‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，‎ 考点：两角和的正切公式.‎ 方法三 公式活用 例3 求值：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】‎ 考点：三角函数基本公式及诱导公式.‎ ‎【变式演练10】下列式子结果为的是（ ）‎ ‎①；②；‎ ‎③；④.‎ A. ①② B. ③ C. ①②③ D. ②③④‎ ‎【答案】C ‎【高考再现】‎ ‎1.【2017山东，文4】已知,则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【考点】二倍角公式 ‎【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．‎ ‎2. 【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎3. 【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由，得或，所以，故选A．‎ 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．‎ ‎【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．‎ ‎4.【2015高考新课标1，理2】 =( )‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】原式= ==，故选D.‎ ‎【考点定位】三角函数求值.‎ ‎【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.‎ ‎5.【2015高考重庆，理9】若，则（　　）‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎【答案】C ‎【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.‎ ‎【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．‎ ‎6. 【2015高考福建，文6】若，且为第四象限角，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【考点定位】同角三角函数基本关系式．‎ ‎【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在、、三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．‎ ‎7.【2015高考重庆，文6】若,则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A.‎ ‎【考点定位】正切差角公式及角的变换.‎ ‎【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角用已知角和表示出来，再用正切的差角公式求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.‎ ‎8.【2017北京文，9】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：与关于轴对称，则 ，所以 ‎ ‎【考点】诱导公式 ‎【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，与关于轴对称，则 ，若与关于 轴对称，则 ，若与关于原点对称，则 ，‎ ‎9.【2017北京理，12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎ .‎ ‎10.【2017江苏，5】若 则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎11.【2017全国I卷文，15】已知，tan α=2，则=__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由得 又 所以 因为 所以 因为 所以 ‎【考点】三角函数求值 ‎【名师点睛】三角函数求值的三种类型 ‎ ‎（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．‎ ‎（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．‎ ‎（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎12.【2015高考四川，理12】 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】法一、.‎ 法二、.‎ 法三、.‎ ‎【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.‎ 有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.‎ ‎【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.‎ ‎13.【2015江苏高考，8】已知，，则的值为_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．【广西贺州市桂梧高中2018届高三上学期第四次联考数学（理）试题】若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，∴，∴.选B。‎ ‎2．【安徽省马鞍山2017-2018学年度高三联考 数学（联考）试题】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 3．【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考数学（文）试题】已知且，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或7‎ ‎【答案】C ‎【解析】，由，得， .‎ 由,得或.‎ 故选C.‎ ‎4．【江西省南昌市2018届高三上学期摸底数学理试卷】已知， ，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵， ，∴，则，故选C.‎ ‎5．【江西省2018届高三年级阶段性检测考试（二）文科数学试题】已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三角函数定义得，选A.‎ ‎6．【辽宁省凌源二中2018届高三三校联考理数试卷】已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎ 7．【江西省上饶市2017届高三下学期高考一模数学理】已知，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，故选A.‎ ‎8．【甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三2018级一调理科数学试卷】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 9．【安徽省滁州市2018届高三9月联合质量检测数学（文）试题】设是定义域为，最小正周期为的函数，且在区间上的表达式为，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】.‎ 故选D.‎ ‎10．【河北省衡水中学2018届高三上学期二调考试数学（理）试题】已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴ ‎ ‎，‎ ‎∴。‎ 答案：2‎ ‎11．【河南省许平汝2017-2018学年高二上学期第一次联考数学试题】已知函数.‎ ‎（1）当时，若，求的值；‎ ‎（2）若，求函数在区间上的值域.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ 即，‎ ‎∴ ‎ ‎.‎ ‎（2）当时，可知，‎ 当时， ，‎ 当时， 取最小值；当时， 取最大值，‎ ‎∴函数在区间上的值域为.‎ ‎12．【江西省2018届高三年级阶段性检测考试（二）文科数学试题】已知，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎ ‎ ‎ ‎