【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(14)
(七十一)
1．(2019·绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A. B．6
C．8 D．12
答案 B
解析 由题意得F(－1，0)，设P(x，y)，则·＝(x，y)·(x＋1，y)＝x2＋x＋y2，又点P在椭圆上，故＋＝1，所以x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，又－2≤x≤2，所以当x＝2时，(x＋2)2＋2取得最大值6，即·的最大值为6.
2．(2019·四川成都七中模拟)若直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F交抛物线C于A，B两点，则＋的取值范围为( )
A．{1} B．(0，1]
C．[1，＋∞) D．[，1]
答案 A
解析 由题意知抛物线C：y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1.设过点F的直线l的斜率k存在，则直线的方程为y＝k(x－1)．代入抛物线方程，得k2(x－1)2＝4x，化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1.根据抛物线性质可知，|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴＋＝＋＝＝1.当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝1，把x＝1代入y2＝4x得y＝±2，∴＋＝1.故选A.
3．(2019·南昌NCS项目调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围．
答案 (1)＋y2＝1 (2)[0，)
解析 (1)由题知e＝＝，2b＝2，又a2＝b2＋c2，∴b＝1，a＝2，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2<4k2＋1，①
x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2，
∴4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，
∴(4k2－5)·＋4km·(－)＋4m2＝0，
即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，化简得m2＋k2＝，②
由①②得0≤m2<，
0)的左焦点，直线y＝x被椭圆C截得的弦长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)圆P：(x＋)2＋(y－)2＝r2(r>0)与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB上任意一点，直线FM交椭圆C于P，Q两点，AB为圆P的直径，且直线FM的斜率大于1，求|PF|·|QF|的取值范围．
答案 (1)＋＝1 (2)(，]
解析 (1)由得x2＝y2＝，故2＝2＝，解得m＝1，故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又
所以＋＝0，
则(x1－x2)－(y1－y2)＝0，故kAB＝＝1.
所以直线AB的方程为y－＝x＋，即y＝x＋，代入椭圆C的方程并整理得7x2＋8x＝0，则x1＝0，x2＝－.
又F(－1，0)，直线FM的斜率大于1，则直线FM的斜率k∈[，＋∞)．
设FM：y＝k(x＋1)，由得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则有x3＋x4＝，x3x4＝.
又|PF|＝|x3＋1|，|QF|＝|x4＋1|，
所以|PF|·|QF|＝(1＋k2)|x3x4＋(x3＋x4)＋1|＝(1＋k2)|－＋1|
＝(1＋k2)·＝(1＋)．
因为k≥，所以<(1＋)≤.
即|PF|·|QF|的取值范围是(，]．
5．(2019·九江模拟)平面直角坐标系xOy中，长度为3的线段MN的两端点M，N分别在x轴，y轴上移动，动点A满足＝2，点C和点A关于原点O对称，动点A的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程；
(2)若直线MN的斜率存在且不为0，过原点O的直线l和轨迹E的交点为B，D，且＝λ.求四边形ABCD面积的最大值．
答案 (1)＋y2＝1 (2)4
解析 (1)设A(x0，y0)，M(a，0)，N(0，b)．
∵＝2，∴(－x0，b－y0)＝2(x0－a，y0)．
∴∴
∴M(x0，0)，N(0，3y0)．
∵|MN|＝3，∴(x0)2＋(3y0)2＝9，得＋y02＝1.
∴轨迹E的方程为＋y2＝1.
(2)设直线AC的斜率为k(k≠0)，则k＝.
∵＝λ，∴BD∥MN.
∴kBD＝kMN＝－＝－2k，
∴直线l的方程为y＝－2kx.
设B(x1，y1)，由得x2＝.
不妨设x1＝，则y1＝，
即B(，)．
点B(x1，y1)到直线AC的距离d＝＝.
由得x02＝，y02＝.
∴|AC|＝2|OA|＝2＝.
∴四边形ABCD的面积S＝|AC|·d＝
＝24＝
24≤24＝
24＝4，当且仅当64k2＝，即k2＝时取等号．
∴四边形ABCD面积的最大值为4.
6．(2019·河北邯郸一中月考)已知边长为8的正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线C：x2＝2py(p>0)上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆过定点D(0，2)，圆心M在抛物线C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，求＋的最大值．
答案 (1)x2＝4y (2)2
解析 (1)由题意可得此正三角形的另外两个顶点为(±4，12)，代入抛物线方程可得(±4)2＝2p×12，解得p＝2.∴抛物线方程为x2＝4y.
(2)设M(a，b)，则a2＝4b.半径R＝|MD|＝，可得⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2.
令y＝0，可得x2－2ax＋4b－4＝0，∴x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a±2.
不妨设A(a－2，0)，B(a＋2，0)．
∴l1＝，l2＝，
∴＋＝＝＝2＝2，(*)
当a≠0时，由(*)得，＋＝2≤2＝2.
当且仅当a2＝，即a＝±2时取等号．
当a＝0时，＋＝2.
综上可知，＋的最大值为2.
7．(2019·长春质量检测三)在平面直角坐标系中，已知圆C1的方程为(x－1)2＋y2＝9，圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，动圆C与圆C1内切且与圆C2外切．
(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；
(2)已知P(－2，0)与Q(2，0)为平面内的两个定点，过(1，0)点的直线l与轨迹E交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值．
答案 (1)＋＝1(x≠－2) (2)6
解析 (1)设动圆C的半径为r，由题意知|CC1|＝3－r，|CC2|＝1＋r，从而有|CC1|＋|CC2|＝4，故轨迹E是以C1，C2为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(－2，0)，
从而轨迹E的方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)设l的方程为x＝my＋1，联立
消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
有y1＋y2＝，y1y2＝，则|AB|＝＝，
点P(－2，0)到直线l的距离为，点Q(2，0)到直线l的距离为，
从而四边形APBQ的面积S＝××＝，
令t＝，t≥1，有S＝＝，函数y＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，∴3t＋≥4.
故S＝＝≤6，即四边形APBQ面积的最大值为6.
