高中数学（人教版必修5）配套练习：2-2等差数列第2课时

高中数学（人教版必修5）配套练习：2-2等差数列第2课时

第二章 2.2 第 2 课时 一、选择题 1．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则 a11＝( ) A．64 B．30 C．31 D．15 [答案] D [解析] 解法一：∵ a6＋a9＝16 a4＝1 ，∴ 2a1＋13d＝16 a1＋3d＝1 ， ∴ a1＝－5 d＝2 ，∴a11＝a1＋10d＝15. 解法二：∵6＋9＝4＋11， ∴a4＋a11＝a6＋a9＝16，∴a11＝15. 2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么 a1＋a2＋…＋a7＝( ) A．14 B．21 C．28 D．35 [答案] C [解析] ∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4. 又 a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28. 3．已知等差数列{an}满足 a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( ) A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a100≤0 D．a51＝0 [答案] D [解析] 由题设 a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0， ∴a51＝0. 4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则 a20 等于( ) A．－1 B．1 C．3 D．7 [答案] B [解析] ∵{an}是等差数列， ∴a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35， a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33， ∴d＝a4－a3＝－2， a20＝a4＋16d＝33－32＝1. 5．在 a 和 b 之间插入 n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A．b－a n B．a－b n＋1 C．b－a n＋1 D．b－a n－1 [答案] C [解析] ∵a1＝a，an＋2＝b， ∴公差 d＝ an＋2－a1 n＋2－1 ＝b－a n＋1 . 6．设{an}是公差为正数的等差数列，若 a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则 a11＋a12＋a13 等 于( ) A．120 B．105 C．90 D．75 [答案] B [解析] ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5， 又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16， ∵d>0，∴d＝3. 则 a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105. 二、填空题 7．等差数列{an}中，已知 a2＋a3＋a10＋a11＝36，则 a5＋a8＝__________. [答案] 18 [分析] 利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出 2a1＋11d 的值． [解析] 解法 1：根据题意，有 (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36， ∴4a1＋22d＝36，则 2a1＋11d＝18. ∴a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d＝18. 解法 2：根据等差数列性质，可得 a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18. 8．已知等差数列{an}中，a3、a15 是方程 x2－6x－1＝0 的两根，则 a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝ __________. [答案] 15 [解析] ∵a3＋a15＝6，又 a7＋a11＝a8＋a10＝2a9＝a3＋a15，∴a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(2＋ 1 2)(a3＋a15)＝5 2 ×6＝15. 三、解答题 9．已知等差数列{an}的公差 d>0，且 a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求{an}的通项公式． [解析] 由等差数列的性质，得 a3＋a7＝a4＋a6＝－4， 又∵a3a7＝－12， ∴a3、a7 是方程 x2＋4x－12＝0 的两根． 又∵d>0，∴a3＝－6，a7＝2. ∴a7－a3＝4d＝8，∴d＝2. ∴an＝a3＋(n－3)d＝－6＋2(n－3)＝2n－12. 10．四个数成等差数列，其平方和为 94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个 数的积少 18，求此四个数． [解析] 设四个数为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意得， (a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94 ⇒2a2＋10d2＝47.① 又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18⇒8d2＝18⇒d＝±3 2 代入①得 a＝±7 2 ，故所求四数为 8,5,2，－1 或 1，－2，－5，－8 或－1,2,5,8 或－8，－5，－2，1. 一、选择题 1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且 a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn} 的第 37 项为( ) A．0 B．37 C．100 D．－37 [答案] C [解析] ∵数列{an}，{bn}都是等差数列， ∴{an＋bn}也是等差数列． 又∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100， ∴{an＋bn}的公差为 0， ∴数列{an＋bn}的第 37 项为 100. 2．数列{an}中，a2＝2，a6＝0 且数列{ 1 an＋1}是等差数列，则 a4 等于( ) A．1 2 B．1 3 C．1 4 D．1 6 [答案] A [解析] 令 bn＝ 1 an＋1 ，则 b2＝ 1 a2＋1 ＝1 3 ，b6＝ 1 a6＋1 ＝1， 由条件知{bn}是等差数列， ∴b6－b2＝(6－2)d＝4d＝2 3 ， ∴d＝1 6 ，∴b4＝b2＋2d＝1 3 ＋2×1 6 ＝2 3 ， ∵b4＝ 1 a4＋1 ，∴a4＝1 2. 3．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于 x 的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( ) A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根 [答案] A [解析] ∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5， 即 3a5＝9，∴a5＝3， 方程为 x2＋6x＋10＝0，无实数解． 4．下列命题中正确的个数是( ) (1)若 a，b，c 成等差数列，则 a2，b2，c2 一定成等差数列； (2)若 a，b，c 成等差数列，则 2a,2b,2c 可能成等差数列； (3)若 a，b，c 成等差数列，则 ka＋2，kb＋2，kc＋2 一定成等差数列； (4)若 a，b，c 成等差数列，则1 a ，1 b ，1 c 可能成等差数列． A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 [答案] B [解析] 对于(1)取 a＝1，b＝2，c＝3⇒a2＝1，b2＝4，c2＝9，(1)错． 对于(2)，a＝b＝c⇒2a＝2b＝2c，(2)正确； 对于(3)，∵a，b，c 成等差数列， ∴a＋c＝2B． ∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4 ＝2(kb＋2)，(3)正确； 对于(4)，a＝b＝c≠0⇒1 a ＝1 b ＝1 c ，(4)正确，综上选 B． 二、填空题 5．若 x≠y，两个数列 x，a1，a2，a3，y 和 x，b1，b2，b3，b4，y 都是等差数列，则a2－a1 b3－b2 ＝________. [答案] 5 4 [解析] 设两个等差数列的公差分别为 d1，d2， 由已知，得 y＝x＋4d1， y＝x＋5d2， 即 4d1＝y－x， 5d2＝y－x， 解得d1 d2 ＝5 4 ，即a2－a1 b3－b2 ＝d1 d2 ＝5 4. 6．已知△ABC 的一个内角为 120°，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则△ABC 的面 积为________． [答案] 15 3 [解析] 设△ABC 的三边长为 a－4，a，a＋4(a>4)， 则a2＋a－42－a＋42 2aa－4 ＝－1 2 ， 解得 a＝10，三边长分别为 6,10,14. 所以 S△ABC＝1 2 ×6×10× 3 2 ＝15 3. 三、解答题 7．在△ABC 中，三边 a、b、c 成等差数列， a、 b、 c也成等差数列，求证△ABC 为正 三角形． [证明] ∵ a＋ c＝2 b，平方得 a＋c＋2 ac＝4b，又∵a＋c＝2b，∴ ac＝b，故( a－ c)2 ＝0， ∴a＝b＝C．故△ABC 为正三角形． 8．设数列{an}是等差数列，bn＝(1 2)an 又 b1＋b2＋b3＝21 8 ，b1b2b3＝1 8 ，求通项 an. [解析] ∵b1b2b3＝1 8 ，又 bn＝(1 2)an，∴(1 2)a1·(1 2)a2·(1 2)a3＝1 8. ∴(1 2)a1＋a2＋a3＝1 8 ，∴a1＋a2＋a3＝3， 又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2， ∴b1b3＝1 4 ，b1＋b3＝17 8 ， ∴ b1＝2 b3＝1 8 或 b1＝1 8 b3＝2 ，即 a1＝－1 a3＝3 或 a1＝3 a3＝－1 ， ∴an＝2n－3 或 an＝－2n＋5.