2020年高中数学第二章参数方程二第二课时双曲线、抛物线的参数方程优化练习新人教A版选修

2020年高中数学第二章参数方程二第二课时双曲线、抛物线的参数方程优化练习新人教A版选修

二 第二课时 双曲线、抛物线的参数方程 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：抛物线方程化为普通方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，‎ 所以|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.故选C.‎ 答案：C ‎2．方程(t为参数)的图形是(　　)‎ A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 解析：∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.且x＝et＋e－t≥2＝2.‎ ‎∴表示双曲线的右支．‎ 答案：B ‎3．点P(1,0)到曲线(其中，参数t∈R)上的点的最短距离是(　　)‎ A．0 B．1‎ C. D．2‎ 解析：方程表示抛物线y2＝4x的参数方程，其中p＝2，设点M(x，y)是抛物线上任意一点，则点M(x，y)到点P (1,0)的距离d＝＝＝|x＋1|≥1，所以最短距离为1，选B.‎ 答案：B ‎4．若曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C上的点的轨迹是(　　)‎ A．直线x＋2y－2＝0‎ B．以(2,0)为端点的射线 C．圆(x－1)2＋y2＝1‎ D．以(2,0)和(0,1)为端点的线段 解析：将曲线的参数方程化为普通方程得x＋2y－2＝0(0≤x≤2,0≤y≤1)．‎ 答案：D ‎5．已知某条曲线的参数方程为(其中a是参数)，则该曲线是(　　)‎ A．线段 B．圆 C．双曲线 D．圆的一部分 解析：将所给参数方程的两式平方后相减，‎ 得x2－y2＝1.‎ 6‎ 并且由|x|＝≥1，得x≥1或x≤－1，‎ 从而易知结果．‎ 答案：C ‎6．已知动圆方程x2＋y2－xsin 2θ＋2·ysin＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是________．‎ 解析：圆心轨迹的参数方程为 即消去参数得：‎ y2＝1＋2x(－≤x≤)．‎ 答案：y2＝1＋2x(－≤x≤)‎ ‎7．已知抛物线C的参数方程为(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.‎ 解析：由得y2＝8x，‎ 抛物线C的焦点坐标为F(2,0)，‎ 直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.‎ 因为直线y＝x－2与圆(x－4)2＋y2＝r2相切，‎ 由题意得r＝＝.‎ 答案： ‎8．曲线(α为参数)与曲线(β为参数)的离心率分别为e1和e2，则e1＋e2的最小值为________．‎ 解析：曲线(α为参数)的离心率 e1＝，‎ 曲线(β为参数)的离心率e2＝，‎ ‎∴e1＋e2＝≥＝2.‎ 当且仅当a＝b时取等号，所以最小值为2.‎ 答案：2 ‎9．已知抛物线(t为参数，p＞0)上的点M，N对应的参数值为t1，t2，且t1＋t2＝0，t1t2＝－p2，求M，N两点间的距离．‎ 解析：由题知M，N两点的坐标分别为(‎2pt，‎2pt1)，(‎2pt，‎2pt2)，‎ 所以|MN|＝ 6‎ ‎＝ ‎＝2p|t1－t2|‎ ‎＝2p ‎＝4p2.‎ 故M，N两点间的距离为4p2.‎ ‎10.如图所示，O是直角坐标系的原点，A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，A，B在什么位置时△AOB的面积最小？最小值是多少？‎ 解析：根据题意，设点A，B的坐标分别为A(‎2pt，‎2pt1)，B(‎2pt，‎2pt2)(t1≠t2，且t1t2≠0)，则 ‎|OA|＝ ＝2p|t1|，‎ ‎|OB|＝ ＝2p|t2|.‎ 因为OA⊥OB，所以·＝0，‎ 即‎2pt·‎2pt＋‎2pt1·‎2pt2＝0，所以t1·t2＝－1.‎ 又因△AOB的面积为：‎ S△AOB＝|OA|·|OB|‎ ‎＝·2p|t1|·2p|t2| ‎＝2p2|t1t2| ‎＝2p2 ‎＝2p2≥2p2＝4p2.‎ 当且仅当t＝，即t1＝1，t2＝－1或t1＝－1，t2＝1时，等号成立．‎ 所以A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，－2p)或(2p，－2p)，(2p,2p)时，△AOB的面积最小，最小值为4p2.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是(　　)‎ A．9x2－16y2＝16(y≠0)‎ B．9x2＋16y2＝16(y≠0)‎ C．9x2－16y2＝1(y≠0)‎ D．9x2＋16y2＝1(y≠0)‎ 解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，‎ 故F1(－5,0)，F2(5,0)，‎ 6‎ 设P(4sec θ，3tan θ)，重心M(x，y)，则 x＝＝sec θ，y＝＝tan θ.‎ 从而有9x2－16y2＝16 (y≠0)．‎ 答案：A ‎2．参数方程(0＜θ＜2π)表示(　　)‎ A．双曲线的一支，这支过点 B．抛物线的一部分，这部分过点 C．双曲线的一支，这支过点 D．抛物线的一部分，这部分过点 解析：∵x2＝(cos ＋sin )2＝1＋sin θ＝2y，‎ ‎∴方程x2＝2y表示抛物线．‎ 又∵x＝＝，‎ 且0＜θ＜2π，‎ ‎∴0≤x≤ ，故选B.‎ 答案：B ‎3．抛物线，关于直线x＋y－2＝0对称的曲线的焦点坐标是________．‎ 解析：抛物线的普通方程为y2＝x，是以x轴为对称轴，顶点在原点，开口向右的抛物线，当关于直线x＋y－2＝0对称时，其顶点变为(2,2)，对称轴相应变为x＝2，且开口方向向下，所以焦点变为，即.‎ 答案： ‎4．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a＞b＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C 6‎ 的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．‎ 解析：先将参数方程与极坐标方程化为普通方程，再根据直线过焦点、直线与圆相切建立关于椭圆方程中a，b，c的等式，再结合a2＝b2＋c2求得离心率．‎ 由已知可得椭圆标准方程为 ＋＝1(a＞b＞0)．‎ 由ρsin＝m可得ρsin θ＋ρcos θ＝m，即直线的普通方程为x＋y＝m，又圆的普通方程为x2＋y2＝b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0)，可得c＝m.又因为直线l与圆O相切，所以＝b，因此c＝b，即c2＝2(a2－c2)，整理，得＝，故椭圆C的离心率为e＝.‎ 答案： ‎5.如图，自双曲线x2－y2＝1上一动点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN中点P的轨迹方程．‎ 解析：设点Q的坐标为(sec φ，tan φ)，(φ为参数)．‎ ‎∵QN⊥l，‎ ‎∴可设直线QN的方程为x－y＝λ.①‎ 将点Q的坐标代入①得：λ＝sec φ－tan φ.‎ 所以线段QN的方程为x－y＝sec φ－tan φ.②‎ 又直线l的方程为x＋y＝2.③‎ 由②③解得点N的横坐标xN＝.‎ 设线段QN中点P的坐标为(x，y)，‎ 则x＝＝，④‎ ‎4×④－②得 ‎3x＋y－2＝2sec φ.⑤‎ ‎4×④－3×②得 x＋3y－2＝2tan φ.⑥‎ ‎⑤2－⑥2化简即得所求的轨迹方程为 ‎2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.‎ ‎6．已知曲线C的方程为 ‎(1)当t是非零常数，θ为参数时，C是什么曲线？‎ 6‎ ‎(2)当θ为不等于(k∈Z)的常数，t为参数时，C是什么曲线？‎ ‎(3)两曲线有何共同特征？‎ 解析：(1)将原参数方程记为①，将参数方程①化为 平方相加消去θ，得＋＝1.②‎ 因为(et＋e－t)2＞(et－e－t)2＞0，故方程②的曲线为椭圆，即C为椭圆．‎ ‎(2)将方程①化为 平方相减消去t，得－＝1.③‎ 所以方程③的曲线为双曲线，即C为双曲线．‎ ‎(3)在方程②中2－2＝1，则c＝1，‎ 椭圆②的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，因此椭圆和双曲线有共同的焦点．‎ 6‎