广西桂林市第十八中学2021届高三数学（理）上学期第二次月考试题（Word版带答案）

广西桂林市第十八中学2021届高三数学（理）上学期第二次月考试题（Word版带答案）

桂林十八中18级高三第二次月考试卷 数 学（理科）‎ 注意事项：‎ ① 试卷共4页，答题卡2页。考试时间120分钟，满分150分；‎ ‎ ②正式开考前，请务必将自己的姓名、学号用黑色水性笔填写清楚填涂学号；‎ ‎ ③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分。‎ 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选作题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，，，，是线段上的点，且，平面平面．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 张先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线 上有三个路口，各路口遇到红灯的概率依次为.‎ ‎(1)若L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；‎ ‎(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的分布列和数学期望．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左焦点F在直线上，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆交于A、C两点，线段的中点为M，射线与椭圆交于点P，点O为的重心，探求面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数，的图像在点处的切线为．（）.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若，且对任意恒成立，求的最大值. ‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分 ‎22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，又在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）。‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）已知点在曲线上，到的最短距离为，求此时点的直角坐标．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）不等式的解集，求．‎ ‎（2）‎ 桂林十八中18级高三第二次月考数学理科答案 一、选择题：ABCAD ACDDB BC 三、解答题答案 ‎ ………………………1分 ‎ ………………………2分 ‎ ………………………5分 ‎ ……………………6分 ‎ ………………………7分 ‎ ………………8分 ‎ ………………10分 ‎ ………………12分 ‎18．证明：（1）已知可得在直角梯形 中，，，‎ 所以，所以 又因为平面平面，平面平面 所以平面，所以 ……………………2分 又，，所以，所以 ……………………4分 故平面，又平面，所以 ……………………6分 ‎（2）如图所示建立空间直角坐标系， ……………………7分 则，，，， ‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ 由，‎ 故取 ……………………9分 又 ……………………10分 所以 即直线与平面所成的角的正弦值为 ……………………12分 ‎19．解　(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件， ……………………1分 则P(A)＝C×3＋C××2＝. ……………………3分 所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为. ……………………4分 ‎(2)依题意，X的可能取值为0,1,2，3. …………………5分 ‎， (每对一个1分)‎ ‎ …………………9分 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎……………11分 ‎ ………………12分 ‎20．.解析：（1）∵直线与x轴的交点为，∴，………………1分 ‎∴， ………………3分 ‎∴解得，，∴椭圆的方程为 .……………………………………4分 ‎（2）若直线的斜率不存在，则 ..……………………………………5分 若直线的斜率存在，设直线的方程为， ‎ 代入椭圆方程可得 ..……………………………………6分 设，，‎ 则，，‎ ‎.…………………7分 由题意点O为的重心，设，则，，……………8分 所以，，‎ 代入椭圆，得，.…………………9分 设坐标原点O到直线的距离为d，则的面积 ‎ ..…………………11分 综上可得，面积S为定值.………………………………………………12分 ‎21．解：（1），. ………………………1分 由已知， (a,b每个得1分)………………………3分 ‎. ………………………4分 ‎（2）对任意恒成立，‎ ‎ 对任意恒成立，‎ 对任意恒成立. ………………………………………6分 令，，易知在上单调递增，‎ 又，，，‎ ‎，‎ ‎∴ 存在唯一的，使得，………………………………………8分 且当时，，时，.‎ 即在单调递减，在上单调递增，‎ ‎，又，即，.‎ ‎∴ ， ………………………10分 ‎∵ ，∴ .对任意恒成立，‎ ‎，又，∴ . ………………………………………12分 ‎22． 解：（1），， ……………2分 把，，， ……………3分 得，故曲线的直角坐标方程为； ……………4分 因为曲线的参数方程为（为参数）。‎ 消去参数得曲线的普通方程为。 ……………………5分 ‎（2）由题意，曲线的参数方程为(为参数)，可设点的直角坐标为，因为曲线是直线， ‎ ‎∴即为点到直线的距离 ……………………6分 易得点到直线的距离为 ‎， ……………………8分 所以． ……………………10分 ‎23．（1），^^^^^^^^^^^^^^①……………………1分 当时，； ……………………2分 当时， ……………………3分 当时，， ……………………4分 所以不等式的解集. ……………………5分 ‎（2）由①易知，当， .……………………7分 由 ……………………8分 ‎ ……………………10分