2020届高三数学上学期第二次月考（12月）试题 理

2020届高三数学上学期第二次月考（12月）试题 理

‎2019学年第一学期第二次月考高三数学（理科）试卷 ‎（120分钟）‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A. 是“函数是奇函数”的充要条件 ‎ B. 若，则 ‎ C. 若是假命题，则均为假命题 ‎ D.“若，则”的否命题是“若，则”‎ ‎3．函数的周期为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 5． 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰 直角三角形组成，正方形的边长为，俯视图为等腰直角三角形、该多面体 的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A． B． C． D．‎ ‎6．已知，，，则、、的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．在等比数列中，，且前n项和，则此数列的项数n等于( )‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎8．在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边，平面，且，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ - 10 -‎ ‎9．函数的图象大致为( )‎ ‎10. 定义在上的函数满足，，则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11已知在等边三角形ABC中，，则（ ）‎ ‎ A. 4 B. C. 5 D. ‎ ‎12．已知函数，当时，不等式 恒成立，则( )‎ A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．有最大值，无最小值 D．有最小值，最大值 二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.‎ ‎13．设变量、满足约束条件：则的最大值是 ．‎ ‎14.已知向量__________‎ ‎15.已知函数，若，且，则的最小值为 . ‎ ‎16．已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“完美对点集”．给出下列四个集合：‎ ‎① ②；‎ ‎③； ④．‎ 其中是“完美对点集”的是 （请写出全部正确命题的序号）‎ - 10 -‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，的面积为，求．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的前项和为，公差为，且，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设（），求数列的前项和．‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在中，，，，是内的一点．‎ ‎（Ⅰ）若是等腰直角三角形的直角顶点，求的长；‎ ‎（Ⅱ）若，设，求的面积的解析式，并求的最大值．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，在多面体中，平面，‎ ‎， ‎ ‎（Ⅰ）求证：//平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ - 10 -‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知曲线在点处的切线与曲线也相切 ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若，且，证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为:为参数), 曲线的极坐标方程为:.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点, 求的值.‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知；‎ ‎（Ⅰ）若的解集为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若,若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ - 10 -‎ ‎2019学年第一学期第二次月考 理科数学答案 一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）‎ CDBABD BACCDA 二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 8 14. 3 15. 9 16. ② ④‎ 三，解答题（共70分）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）因为，‎ 所以.‎ 又因为，所以，‎ 展开，得，‎ 解得（舍去）或.……………（6分）‎ ‎（Ⅱ）由，得，故.‎ 又，则.由余弦定理及，‎ 得，‎ 所以.……………（12分）‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由，，成等比数列得．‎ 化简得， ‎ 又，解得，‎ 故数列的通项公式（）……………（6分）‎ ‎（Ⅱ）由可知， ‎ 所以 - 10 -‎ ‎，‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）解法一：因为是等腰直角三角形的直角顶点，且，所以，．又，‎ 则．‎ 在中，由余弦定理得 ‎，‎ 故．‎ 解法二：依题意建立如图直角坐标系，则有，，．‎ 因为是等腰直角三角形，，所以，，所以直线的方程为，直线的方程为．‎ 联立可得，故．‎ ‎（Ⅱ）在中，，，所以．‎ 由正弦定理可得：，‎ 故，．‎ 所以的面积为：‎ - 10 -‎ 又，故，‎ 从而当时，取到最大值，且最大值为．……………（12分）‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）取的中点，连结 由条件知，，‎ ‎∴四边形和为平行四边形，‎ ‎∴，，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴‎ ‎∴平面平面，则平面.……………（6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知两两垂直，如图建系，‎ 设，则，，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，则由，得，取 - 10 -‎ ‎，则故 而平面的法向量为，则 所以二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为……………（12分）‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ），当时，，故在处的切线方程是.…………………（2分）‎ 联立消去得，.或1.故.……………（4分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由，则.‎ 又.‎ 当时，是减函数；当时，是增函数.‎ 令，.…（8分）‎ 再令，则.‎ 又，‎ 当时，恒成立.‎ 即恒成立.……………（10分）‎ 令，即，有.‎ 即.‎ ‎.又，必有.‎ - 10 -‎ 又当时，是减函数，，即.…………………（12分）‎ ‎22（本小题满分10分）‎ ‎（Ⅰ） , 由，得，所以曲线的直角坐标方程为. ‎ 由，消去得：.所以直线l的普通方程为.……………（5分）‎ ‎（Ⅱ）把 代入，整理得， ‎ 因为，设其两根分别为 ，则 ‎ 所以.……………（10分）‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎（Ⅰ）即，平方整理得：，‎ 所以-3，-1是方程 的两根， ‎ ‎ 解得. ……………（5分）‎ ‎（Ⅱ）因为　‎ 所以要不等式恒成立只需 当时，解得 - 10 -‎ 当时，此时满足条件的不存在 综上可得实数的范围是.……………（10分）‎ - 10 -‎