广东省广州市荔湾区2020届高三调研测试（二）文科数学 Word版含解析

广东省广州市荔湾区2020届高三调研测试（二）文科数学 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2019学年高三调研测试(二)文科数学 一､选择题 ‎1.已知复数z(其中i为虚数单位)，若z为纯虚数，则实数a等于（ ）‎ A. ﹣1 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法，求出的实部和虚部，由纯虚数的定义，得出关于的方程，即可求解.‎ 详解】，‎ z为纯虚数，，解得.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，考查纯虚数的定义，属于基础题.‎ ‎2.设集合A={x|x2﹣4x+3≤0}，B={x|x2﹣9<0}，则A∪(∁RB)=（ ）‎ A. (﹣∞，﹣3]∪[3，+∞) B. (﹣3，3)‎ C. (1，3] D. (﹣∞，﹣3]∪[1，+∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，求出，再由并集的定义，即可求出结论.‎ ‎【详解】，‎ ‎ ‎ 或，‎ 或.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.‎ ‎3.已知命题p:若a>|b|，则a2>b2；命题q:∀x∈R，都有x2+x+1>0.下列命题为真命题的是（ ）‎ - 22 -‎ A. p∧q B. p∧￢q C. ￢p∧q D. ￢p∧￢q ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式的性质可判断命题为真，配方求出最小值，可判断命题为真，根据复合命题的真假关系，可得出结论.‎ ‎【详解】命题：，平方可得，故为真命题；‎ 命题：，‎ 恒成立，故为真命题.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题的真假，关键要判断简单命题的真假，属于基础题.‎ ‎4.已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列{an}的公差为成等比数列，列出方程求出a1＝﹣1，由此能求出{an}的前n项和Sn．‎ ‎【详解】∵等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，‎ ‎∴（a1+4）2＝（a1+2）（a1+10），‎ 解得a1＝﹣1，‎ ‎∴{an}的前n项和Snn+n2﹣n＝n2﹣2n＝n（n﹣2）．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等比数列、等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎5.已知△ABC为直角三角形，点D为斜边BC的中点，||，||=1，‎ - 22 -‎ ‎，则•等于（ ）‎ A. B. ﹣1 C. D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎||，||=1，,以为基底，将用表示，，D为斜边BC的中点，，，按照向量的数量积运算，即可求解.‎ ‎【详解】，D为斜边BC的中点，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查向量基本定理，将所求的向量转为基底表示是解题的关键，考查向量的数量积运算，属于基础题.‎ ‎6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x﹣3x.则f(﹣4)=（ ）‎ A. 10 B. ﹣10 C. ﹣14 D. 14‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求出，根据奇函数的对称性，即可求出.‎ ‎【详解】x>0时，，‎ f(x)是定义在R上的奇函数，.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的对称性，属于基础题.‎ - 22 -‎ ‎7.某人第一年月资为7000元，各种用途占比统计如图的条形图，第二年，他加强了体育锻炼，月工资的各种用途占比统计如图的折线图，已知第二年的月就医费比第一年月就医费少100元，则他第二年的月工资为（ ）‎ A. 7000元 B. 8500元 C. 9500元 D. 10500元 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条形图求出第一年月就医费用，由已知求出第二年的月就医费用，进而求出第二年的月工资.‎ ‎【详解】由条形图求出第一年月就医费用，‎ 依题意第二年月就医费用为，‎ 占月工资的，月工资为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查条形图和折线图的识别，属于基础题.‎ ‎8.函数（）的图像不可能是（ ）‎ A. B. ‎ - 22 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于函数的解析式中含有参数，因此可考虑对直接进行取值，然后再判断的大致图象即可.‎ ‎【详解】直接利用排除法： ①当时，选项B成立；‎ ‎②当时，函数的图象类似D；‎ ‎③当时，，函数图象类似C；故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的辨析，难度较易.‎ ‎9.函数f(x)=2x+cosx在点(，f())处的切线方程为（ ）‎ A. 3x﹣y0 B. x﹣y0 C. 3x﹣y0 D. x﹣y0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求，求出切线的斜率，由直线的点斜式方程，求出切线方程.‎ ‎【详解】，，‎ 在点(，f())处的切线方程为，‎ 即为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.‎ - 22 -‎ ‎10.若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值是（ ）‎ A. 6 B. 4 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 做出可行域，根据图像即可求出结论.‎ ‎【详解】做出可行域，如下图所示：‎ 联立，解得，，‎ 由图像可得，当目标函数过点时，‎ 取得最小值为1.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题.‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于，，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线的斜率为，计算，，利用余弦定理得到，化简知，得到答案 ‎【详解】由题意知直线的斜率为，，又，‎ 由双曲线定义知，，.‎ 由余弦定理：，，‎ 即，‎ 即，解得.‎ 故双曲线渐近线的方程为.‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，与圆的关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力 .‎ ‎12.三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若球O与三棱柱ABC﹣A1B1C1各侧面､底面均相切，则侧棱AA1的长为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ 球与上下底面相切，侧棱长为球的直径，球O与三棱柱ABC﹣A1B1C1各侧面，球的半径为底面三角形内切圆的半径，即可求解。‎ ‎【详解】三棱柱ABC﹣A1B1C1底面是边长为2的正三角形，‎ 侧棱AA1⊥底面ABC，球O与三棱柱ABC﹣A1B1C1各侧面，‎ 所以球半径为正内切圆的半径为，‎ 球与上下底面相切，侧棱长为球的直径为2.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查多面体与球的接、切问题，要注意数形结合借助棱柱和球的几何特征求解，属于基础题.‎ 二､填空題 ‎13.数列{an}中，满足2an+1﹣an=0，且a2；则a4=_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得为公比为的等比数列，再由，即可求解.‎ ‎【详解】，且a2，，‎ ‎，为公比为的等比数列，‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的判断，以及等比数列基本量的运算，属于基础题.‎ ‎14.执行如图的程序框图，若输出的y值等于输入的x值，则这样的x的值是_____.‎ ‎【答案】‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件结构语句可得出，关于的函数为，分类讨论求出的解，即可求出结论.‎ ‎【详解】当时，由，解得，‎ 当时，由，‎ ‎，方程无实根， ‎ 故满足条件的.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查程序框图输入值和输出值，读懂程序功能是解题的关键，属于基础题.‎ ‎15.已知点A(5，0)，过抛物线y2=8x上一点P作直线x=﹣2的垂线，垂足为B.若|PB|=|PA|，则P的横坐标为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线x=﹣2抛物线的准线，抛物线的焦点，由条件和抛物线的定义可得 ‎，可得出的横坐标为线段中点的横坐标，即可求出结论.‎ ‎【详解】直线x=﹣2是抛物线的准线，抛物线的焦点，‎ 依题意可得，过作轴的垂线，‎ 垂足为的中点，所以P的横坐标为.‎ 故答案为;.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义，解题的关键点判断出已知的直线为抛物线的准线，属于基础题.‎ ‎16.已知四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，M为AB的中点，将△ADM沿DM折起，得到四棱锥 - 22 -‎ A1﹣DMBC，设A1C的中点为N，在翻折过程中，得到如下有三个命题:①BN∥平面A1DM；②三棱锥N﹣DMC的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得DM⊥A1C.其中正确命题的序号为_____.‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别延长DM，CB交于H，连接A1H，可证B为CH的中点，因此有BN∥A1H，可得①为正确；要使三棱锥N﹣DMC的体积最大，只需N到平面DMBC的距离最大，当平面A1DM⊥平面DMBC时满足，可求得此时体积为，②正确；DM=CM=2，CD=4，‎ 可得DM⊥MC，若DM⊥A1C，可证DM⊥A1M，与已知DM为斜边矛盾，③错误.‎ ‎【详解】对于①，分别延长DM，CB交于H，连接A1H，如图所示;‎ 由已知得，可得B为CH的中点，‎ 可得BN为△A1CH的中位线，可得BN∥A1H， ‎ BN⊄平面A1DM，A1H⊂平面A1DM，‎ 可得BN∥平面A1DM∴①正确；‎ 对于②，当平面A1DM⊥平面DMBC时，‎ A1到平面DMBC的距离最大，且为，‎ 此时N到平面DMBC的距离最大，且为，‎ ‎△DMC的面积为2×4=4，‎ 可得三棱锥N﹣DMC的最大体积为4，‎ ‎∴②正确；‎ 对于③，若DM⊥A1C，又DM=CM=2，CD=4，‎ 可得DM⊥MC，则DM⊥平面A1CM，即有DM⊥A1M，‎ 这与DM为斜边矛盾，∴③错误；‎ 综上，以上正确命题的序号为①②.‎ - 22 -‎ 故答案为:①②.‎ ‎【点睛】本题以图形翻折为背景，考查空间平行、垂直的判定和体积的最值，要注意翻折前后不变量合理地运用，考查空间想象能力，属于中档题.‎ 三､解答题 ‎17.某高中三年级有A､B两个班，各有50名同学，这两个班参加能力测试，成绩统计结果如表：‎ A､B班成绩的频数分布表 分组 ‎[50，60)‎ ‎[60，70)‎ ‎[70，80)‎ ‎[80，90)‎ ‎[90，100]‎ A班频数 ‎4‎ ‎8‎ ‎23‎ ‎9‎ ‎6‎ B班频数 ‎7‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎（1）试估计A､B两个班的平均分；‎ ‎（2）统计学中常用M值作为衡量总体水平的一种指标，已知M与分数t的关系式为：M.‎ 分别求这两个班学生成绩的M总值，并据此对这两个班的总体水平作简单评价.‎ ‎【答案】(1)A=76，B=75 (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取每组区间的中值作为该组的成绩，求出成绩总和，即可得出结论；‎ ‎（2）分别统计出两个班在[50，60)，[60，80) ，[80，100]的人数，结合 - 22 -‎ 与分数的关系，即可求解.‎ ‎【详解】(1)估计A班平均分为：‎ ‎(4×55+8×65+23×75+9×85+6×95)=76， ‎ B班平均分为：(7×55+12×65+13×75+10×85+8×95)=75.‎ ‎(2)A班学生成绩的M总值为： MA=﹣2×4+2×(8+23)+4×(9+6)=114，‎ ‎ B班学生成绩的M总值为： MB=﹣2×7+2×(12+13)+4×(10+8)=108，‎ ‎∵MA>MB，∴A班总体水平好于B班.‎ ‎【点睛】本题考查由频率分布表求平均数，理解分段函数的意义，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos•6.‎ ‎（1）求△ABC的面积；‎ ‎（2）若c=2，求sinB的值.‎ ‎【答案】(1) 4 (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，利用二倍角公式求出，进而求出，，求出，由三角形的面积公式，即可求解；‎ ‎（2）由（1）得bc=10，已知c=2，得到b=5，根据余弦定理可求出，再由正弦定理，即可求出.‎ 详解】(1)∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎(2)由(1)知，bc=10，且c=2，∴b=5，‎ - 22 -‎ ‎∴由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=25+4﹣12=17，‎ ‎∴，∴在△ABC中，由正弦定理得：‎ ‎，解得.‎ ‎【点睛】本题考查利用二倍角公式、向量的数量积求三角形面积，考查正弦定理、余项定理解三角形，属于基础题.‎ ‎19.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B是菱形，侧面AA1C1C是矩形，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∠BAA1，AA1=2AC=2，O为AA1的中点.‎ ‎（1）求证:OC⊥BC1；‎ ‎（2）求点C1到平面ABC的距离.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，AA1=2AC=2，O为AA1的中点，可得 ，可证 ，侧面AA1B1B是菱形，，有，结合平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，可证 平面AA1C1C，可得，进而有平面，即可证明结论；‎ ‎（2），可证平面，点C1到平面ABC的距离与点A1到平面ABC的距离相等，由（1）平面AA1C1C，求出的面积，用等体积法 ‎，即可求解.‎ ‎【详解】(1)证明：连接，AA1=2AC=2，O为AA1的中点，‎ - 22 -‎ ‎，，‎ 因为侧面AA1B1B是菱形，，‎ 所以为等边三角形，O为AA1的中点，‎ 所以，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，‎ 平面AA1C1C平面AA1B1B平面AA1B1B，‎ 所以平面AA1C1C，同理可证平面AA1B1B，‎ 平面AA1C1C，所以，‎ ‎ 平面，所以平面，‎ 因为平面，所以；‎ ‎（2）因为侧面AA1C1C是矩形，所以，‎ 平面，平面，‎ 所以平面，‎ 点C1到平面ABC的距离与点A1到平面ABC的距离相等，‎ 设C1到平面ABC的距离为，‎ 由（1）得平面AA1C1C，平面AA1B1B，‎ 所以， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以点C1到平面ABC的距离为.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明，空间垂直之间的转换是解题的关键，考查等体积法求点到面的距离，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆C:1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1，F2，离心率为，A为椭圆C上一点，且AF2⊥F1F2，且|AF2|.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设椭圆C的左､右顶点为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线 l1，l2，椭圆C的一条切线l:y=kx+m(k≠0)与l1，l2交于M，N两点，试探究•是否为定值，并说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)是，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆的焦距为，由已知可得点的横坐标为，将代入椭圆可得，可得，再由离心率，结合，求出，即可求解；‎ ‎（2）由（1）得l1:x=﹣2，l2:x=2，直线l方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，，求出关系，求出直线l1，l2与直线l的交点坐标，求出，即可求出结论.‎ ‎【详解】(1) 设椭圆的焦距为，根据题意， ‎ A为椭圆C上一点，且AF2⊥F1F2，‎ - 22 -‎ 点的横坐标为，将代入椭圆可得，‎ 且|AF2|，所以 解得a=2，b，椭圆的方程为：；‎ ‎(2)由题设知l1:x=﹣2，l2:x=2，直线l:y=kx+m，‎ 联立，消去y，‎ 得，‎ 故，‎ ‎ l与11，l2联立得M(﹣2，﹣2k+m)，N(2，2k+m)，又F2(1，0)，‎ 所以(3，2k﹣m)•(﹣1，﹣2k﹣m)‎ ‎=﹣3﹣(2k﹣m)(2k+m)=﹣3﹣4k2+m2=0，‎ 故•为定值.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，以及定值问题，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎21.设函数f(x)(m∈R).‎ ‎（1）当m=1时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数F(x)=f(x)+xm+2有两个零点，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 递增区间为(0，e)，递减区间为(e，+∞) (2) (﹣∞，﹣2e).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）时，求出，求出的解，即可得出结论；‎ - 22 -‎ ‎（2）求出整理，有两个零点，转化为函数 有两个零点，求，求出极值点，分析函数值的变化趋势，只需g(x)的极小值g()<0方程有两个零点，解不等式g()<0，即可求出结论.‎ ‎【详解】(1)当m=1时，f(x)，x>0，∴f'(x)，‎ 令f'(x)=0，得1﹣lnx=0，x=e，‎ 随的变化变化如下表：‎ x ‎(0，e)‎ e ‎(e，+∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f(x)‎ 递增 极大值 递减 ‎∴函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，+∞)；‎ ‎(2)F(x)xm+2，定义域为(0，+∞)，‎ ‎∴F(x)xm+2，‎ 设g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x，‎ ‎∵函数F(x)=f(x)+xm+2有两个零点，‎ ‎∴函数g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x有两个零点，‎ ‎∵g'(x)，‎ 令g'(x)=0得，x，‎ ‎∵函数g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x有两个零点，‎ ‎∴函数g(x)在(0，+∞)上不单调，∴0，∴m<0，‎ 随的变化变化如下表：‎ - 22 -‎ x ‎(0，)‎ ‎(，+∞)‎ g'(x)‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ g(x)‎ 递减 极小值 递增 ‎∴函数g(x)的极小值为g()，‎ ‎∵当x→0时，g(x)→+∞；当x→+∞时，g(x)→+∞，‎ ‎∴若函数g(x)=4mlnx+4x2+m2+4mx+8x有两个零点，‎ 则函数g(x)的极小值g()<0，‎ 即4mln()+4m2﹣4m4m<0，‎ ‎∴mln()﹣m<0，又∵m<0，∴ln()>1，‎ ‎∴e，∴m<﹣2e，‎ ‎∴实数m的取值范围为：(﹣∞，﹣2e).‎ ‎【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调区间、极值点、零点，解题的关键要合理构造函数，考查等价转化思想，属于中档题.‎ ‎(二)选考题 ‎22.已知曲线C的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两直线l1，l2相互垂直，与曲线C分别相交于A，B两点(不同于点O)，且l1的倾斜角为.‎ ‎（1）求曲线C极坐标方程和直线l2的直角坐标方程；‎ ‎（2）求△OAB的面积.‎ ‎【答案】(1) C的极坐标方程ρcos2θ=2sinθ，l2的直角坐标方程； (2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）将曲线C的参数方程消去参数化普通方程，得，再用，代入直角坐标方程，求出曲线C极坐标方程；由已知l1的倾斜角为，直线l1，l2相互垂直，即可求出l2的直角坐标方程； ‎ ‎（2）曲线C的极坐标方程分别与直线l1，l2极坐标方程联立，求出两交点的极坐标，再由两直线l1，l2相互垂直，即可求出结论.‎ ‎【详解】(1)曲线C的参数方程为(t为参数)，‎ 消去参数得普通方程为，‎ 将，代入得，‎ 化简为.即为所求的极坐标方程 l1的倾斜角为，直线l1，l2相互垂直，所以直线的斜率为，‎ 所以l2的直角坐标方程为.‎ ‎(2)过极点的两直线l1，l2相互垂直，‎ 与曲线C分别相交于A，B两点(不同于点O)，‎ 所以，解得，‎ 同理，解得.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化，考查极坐标方程求交点坐标，并利用极坐标的几何性质求三角形面积，属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ - 22 -‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，利用零点分段法去绝对值，解一元一次不等式求得不等式的解集.（2）当时，对函数去绝对值后，构造一次函数，一次函数恒大于或等于零，则需区间端点的函数值为非负数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）①当时，，‎ 解得，‎ ‎②当时，，‎ 解得，‎ ‎③当时，‎ 解得，‎ 综上知，不等式的解集为.‎ ‎（2）当时，，‎ 设，则，恒成立，‎ 只需， ‎ 即，解得 ‎【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎ ‎ - 22 -‎ - 22 -‎ ‎ ‎ - 22 -‎