数学文卷·2017届广东省揭阳市第一中学高三下学期开学考试（正月联考）（2017

数学文卷·2017届广东省揭阳市第一中学高三下学期开学考试（正月联考）（2017

‎ 2016—2017学年度高三正月联考 文科数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设i为虚数单位，则复数的虚部是（ ）‎ A．i B．i C．3 D．3‎ ‎2.已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（　　）‎ A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 ‎3．设R，则“”是“直线与直线平行”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，则△的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．已知向量，满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知等比数列{an}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（　　）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎7．按如右图所示的程序框图运算，若输入，则输出k的值是（ ） ‎ A．7 B．9 C．15 D．31‎ ‎8．若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在区间上任意取两个实数a,b，则函数在区间（-1，1）上有且仅有一个零点的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．函数在的图像大致为（ ）.‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎（第11题图）‎ ‎11．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是（ ）‎ A． ‎ ‎ B．平面平面 ‎ C．的最大值为 ‎ D．的最小值为 ‎12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，若椭圆上存在点使得，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）‎ ‎（第15题图）‎ ‎13.在中，已知,，的面积为。则 . ‎ ‎14．已知为偶函数，当x≤0时，，则曲线在点（1，2）处的切线方程是　　．‎ ‎15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . ‎ ‎16.已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 . ‎ 三、 解答题（本大题共6小题，第17至21题每题12分，在第22、23题中任选一题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知是递增的等差数列，，是函数的两个零点.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎18. （12分）某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按 1：20进行分层抽样，随机抽取了 20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表： ‎ 分数段（分）‎ ‎[50，70）‎ ‎[70，90）‎ ‎[90，110）‎ ‎[110，130）‎ 总计 频数 b 频率 a ‎0.25‎ ‎（Ⅰ）求表中a，b 的值及成绩在内为及格）； ‎ ‎（Ⅱ）若从茎叶图中成绩在[100，130）范围内的样品中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于等于10的概率．‎ ‎ 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8. ‎ (1) 求动圆圆心的轨迹C的方程； ‎ ‎(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．‎ ‎21. （12分） 函数 （）.‎ ‎（Ⅰ）若，求的单调区间； ‎ ‎（Ⅱ）若时，对任意的，总存在某个，使得成立，求实数b的取值范围.‎ 选做题（在第22，23两题中任选一题；若两题都做，按第22题计分.）‎ ‎22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系内，点 在曲线C：为参数，）上运动．以为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎ （Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）若直线与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求面积的最大值．‎ ‎ ‎ ‎23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 关于的不等式 ‎ （Ⅰ） 当时，解不等式；‎ ‎ （Ⅱ）设函数，当为何值时，恒成立 ‎2016—2017学年度高三两校正月联考（文科数学）‎ 参考答案及评分标准 一、选择题 C A D A B C D B A D B D 二、填空题 ‎13. 14. y=2x 15. 16. m 三、解答题 ‎17.解：（1）函数的两个零点为3，7，………（1分）‎ 由题意得，.…………………（2分）‎ 设数列的公差为d，则故…………（4分）‎ 所以的通项公式为…………（6分）‎ ‎（2）由（1）知则 …………（7分）‎ ‎，‎ ‎，…………（8分）‎ 两式相减得，………（11分）‎ 所以.…………（12分）‎ ‎18.解：（Ⅰ）由茎叶图知成绩在[50，70）范围内的有2人，在[110，130）范围内的有3人， ∴a=，b=3， ……………………………………………（2分）‎ 成绩在[90，110）范围内的频率为1-0.1-0.25-0.25=0.4， ‎ ‎∴成绩在[90，110）范围内的样本数为20×0.4=8， ‎ 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为： ‎ p=1-0.1-0.25=0.65． ……………………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）一切可能的结果组成的基本事件空间为 Ω={（100，102），（100，106），（100，106），（100，116），（100，118），（100，128），‎ ‎（102，106），（102，106），（102，116），（102，118），（102，128），‎ ‎（106，106），（106，116），（106，118），（106，128），‎ ‎（106，116），（106，118），（106，128），‎ ‎（116，118），（116，128），‎ ‎（118，128）}共21个基本事件组成，……………………………………………（9分）‎ 设事件A=“取出的两个样本中数字之差小于等于10”，‎ 则A={（100，102），（100，106），（100，106），（102，106），（102，106），（106，106），（106，116），（106，116），（116，118），（118，128）}， 共由个10基本事件组成， ‎ ‎∴P（A）=． ……………………………………………（12分）‎ ‎19. 【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，‎ ‎∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线，∴NE∥PB，∴NE∥平面PAB…………（2分）‎ 又∵AD∥BC，∴BE∥AD，‎ ‎∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，‎ ‎∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，‎ ‎∴EM∥AB，∴EM∥平面PAB…………（4分）‎ ‎∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．…………（6分）‎ 解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，‎ ‎∵NF是△PAC的中位线，‎ ‎∴NF∥PA，NF==2，‎ 又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，…………（8分）‎ 如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，‎ ‎∵AMCG，∴四边形AGCM是平行四边形，‎ ‎∴AC=MG=3，‎ 又∵ME=3，EC=CG=2，‎ ‎∴△MEG的高h=，…………（10分）‎ ‎∴S△BCM===2，‎ ‎∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM===．…………（12分）‎ ‎20.解：(1)解：如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，‎ 当O1不在y轴上时，‎ 过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，‎ 化简得y2＝8x(x≠0)．…………（4分）‎ 又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，…………（5分）‎ ‎∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 将y＝kx＋b代入y2＝8x中，‎ 得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，‎ 其中Δ＝－32kb＋64＞0.‎ 由求根公式得，x1＋x2＝，①‎ x1x2＝，②…………（8分）‎ 因为x轴是∠PBQ的角平分线，‎ 所以，‎ 即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，‎ ‎(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，‎ ‎2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③‎ 将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，‎ ‎∴k＝－b，此时Δ＞0，…………（11分）‎ ‎∴直线l的方程为y＝k(x－1)，‎ 即直线l过定点(1,0)．…………（12分）‎ ‎21. 解：（Ⅰ）， ‎ ‎ ……………………………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）首先，对于任意，都存在某个，使得成立，‎ 则 , ……………………………………………（5分）‎ 因为函数在上是减函数，‎ 所以.. ……………（8分）‎ 其次，存在，使得不等式成立，‎ 于是 ，‎ 令，则，所以函数在上是增函数，于是，故，即b的取值范围是 . …………………………（12分）‎ ‎22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（1）消去参数，得曲线C的标准方程：‎ ‎ 由得：，‎ ‎ 即直线的直角坐标方程为：…………（5分）‎ ‎ （2）圆心到直线的距离为，‎ ‎ 则圆上的点M到直线的最大距离 ‎ 为（其中为曲线C的半径），‎ ‎ ．设M点的坐标为，‎ ‎ 则过M且与直线垂直的直线方程为：，‎ ‎ 则联立方程，‎ ‎ 解得，或，‎ ‎ 经检验舍去．…………（10分）‎ ‎ 故当点M为时，面积的最大值为 ‎ ‎ ‎23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（1）当时，原不等式可变为，‎ ‎ 可得其解集为…………（5分）‎ ‎ （2）设，‎ ‎ 则由对数定义及绝对值的几何意义知，‎ ‎ 因在上为增函数， ‎ ‎ 则，当时，，‎ ‎ 故只需即可，‎ ‎ 即时，恒成立．…………（10分）‎