吉林省吉林市普通中学2020届高三调研测试数学(理)试题

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吉林省吉林市普通中学2020届高三调研测试数学(理)试题

吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第二次调研测试 理科数学 一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求.‎ ‎1.集合的子集的个数是( )‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定集合中元素的个数,再得子集个数.‎ ‎【详解】由题意,有三个元素,其子集有8个.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查子集的个数问题,含有个元素的集合其子集有个,其中真子集有个.‎ ‎2.已知为虚数单位,复数满足,则复数在复平面内对应的点在( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出复数,得出其对应点的坐标,确定所在象限.‎ ‎【详解】由题意,对应点坐标 ,在第二象限.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的除法运算,属于基础题.‎ ‎3.如果一组数据的中位数比平均数小很多,则下列叙述一定错误的是( )‎ A. 数据中可能有异常值 B. 这组数据是近似对称的 C. 数据中可能有极端大的值 D. 数据中众数可能和中位数相同 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中位数、平均数、众数的定义说明.‎ ‎【详解】中位数表示一组数据的一般水平,平均数表示一组数据的平均水平,如果这两者差不多,说明数据分布较均匀,也可以看作近似对称,但现在它们相关很大,说明其中有异常数据,有极端大的值,众数是出现次数最多的数,可能不止一个,当然可以和中位数相同,因此只有B错误.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查样本数据特征,掌握它们的概念是解题基础.‎ ‎4.“”是“,”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出满足的值,然后根据充分必要条件的定义判断.‎ ‎【详解】由得,即, ,因此“”是“,”的必要不充分条件.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件,掌握充分必要条件的定义是解题基础.解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断.‎ ‎5.对两个变量进行回归分析,给出如下一组样本数据:,,,,下列函数模型中拟合较好的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出四个函数的图象及给出的四个点,观察这四个点在靠近哪个曲线.‎ ‎【详解】‎ 如图,作出A,B,C,D中四个函数图象,同时描出题中的四个点,它们在曲线的两侧,与其他三个曲线都离得很远,因此D是正确选项,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查回归分析,拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多,说明拟合效果好.‎ ‎6.已知实数,满足线性约束条件,则最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出可行域,然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.‎ ‎【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,‎ 目标函数即:,其中z取得最小值时,其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小,‎ 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值,‎ 联立直线方程:,可得点的坐标为:,‎ 据此可知目标函数的最小值为:.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划的问题,关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义,属于基础题.‎ ‎7.已知圆与抛物线的准线相切,则的值为()‎ A. 1 B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为圆与抛物线的准线相切,则圆心为(3,0),半径为4,根据相切可知,圆心到直线的距离等于 半径,可知的值为2,选B.‎ ‎【详解】‎ 请在此输入详解!‎ ‎8.如图,正方体中,,,,分别为所在棱的中点,则下列各直线中,不与平面平行的是( )‎ A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面平行的判定定理判断.‎ ‎【详解】首先四个选项的直线都不在平面内,由中点及正方体的性质知,‎ ‎,,∴直线,,都与平面平行,剩下的只有不与平面平行.实际上过作 的平行线,这条平行线在平面内且与相交(它们都在平面内).‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定,解题根据是线面平行的判定定理.‎ ‎9.我国宋代数学家秦九韶(1202-1261)在《数书九章》(1247)一书中提出“三斜求积术”,即:以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.其实质是根据三角形的三边长,,求三角形面积,即.若的面积,,,则等于( )‎ A 5 B. 9 C. 或3 D. 5或9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知数据代入面积公式解方程即得.‎ ‎【详解】由题意得,,‎ 整理得,或5,即或3.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题寓数学知识于数学文化之中,解题时只要把已知代入面积公式解方程即可得.‎ ‎10.已知双曲线:(,)的焦距为.点为双曲线的右顶点,若点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的离心率是( )‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点到直线距离公式建立的等式,变形后可求得离心率.‎ ‎【详解】由题意,一条渐近线方程为,即,∴,‎ ‎,即,,.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查求双曲线的离心率,掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础.‎ ‎11.已知,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先与1比较,得一最大的,剩下的两个与比较.‎ ‎【详解】首先,最大,‎ 其次,,∴,∴.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查比较幂和对数的大小,对不同底的对数或幂一般借助于中间值比较,如0,1,2等等.本题中是与比较的.‎ ‎12.如图,在中,点,分别为,的中点,若,,且满足,则等于( )‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选取为基底,其他向量都用基底表示后进行运算.‎ ‎【详解】由题意是的重心,‎ ‎ ,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积,解题关键是选取两个不共线向量作为基底,其他向量都用基底表示参与运算,这样做目标明确,易于操作.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡中相应位置.‎ ‎13.在空间直角坐标系中,,,,,则四面体的外接球的体积为______.‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点,则长方体的对角线就是四面体外接球的直径.‎ ‎【详解】取,则是长方体,其对角线长为,∴四面体外接球半径为.‎ ‎,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查四面体外接球体积,关键是在三个坐标平面上找三个点结合坐标原点,共八点是一个长方体的八个顶点,这样外接球直径易知.‎ ‎14.直线(,)过圆:的圆心,则的最小值是______.‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心坐标,代入直线方程得的关系,再由基本不等式求得题中最小值.‎ ‎【详解】圆:的标准方程为,圆心为,‎ 由题意,即,‎ ‎∴,当且仅当 ,即时等号成立,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查用基本不等式求最值,考查圆的标准方程,解题方法是配方法求圆心坐标,“1”的代换法求最小值,目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”.‎ ‎15.若函数在区间上恰有4个不同的零点,则正数的取值范围是______.‎ ‎【答案】;‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的零点,让正数零点从小到大排列,第三个正数零点落在区间上,第四个零点在区间外即可.‎ ‎【详解】由,得,,‎ ‎,,‎ ‎∵,‎ ‎∴ ,解得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点,根据正弦函数性质求出函数零点,然后题意,把正数零点从小到大排列,由于0已经是一个零点,因此只有前3个零点在区间上.由此可得的不等关系,从而得出结论,本题解法属于中档题.‎ ‎16.关于函数有下列四个命题:‎ ‎①函数在上是增函数;‎ ‎②函数的图象关于中心对称;‎ ‎③不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线;‎ ‎④函数的导函数不存在极小值.‎ 其中正确的命题有______.(写出所有正确命题的序号)‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由单调性、对称性概念、导数几何意义、导数与极值的关系进行判断.‎ ‎【详解】函数的定义域是,‎ 由于,‎ 在上递增,∴函数在上是递增,①正确;‎ ‎,∴函数的图象关于中心对称,②正确;‎ ‎,时取等号,∴③正确;‎ ‎,设,则,显然是即的极小值点,④错误.‎ 故答案为:①②③.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性、对称性,考查导数的几何意义、导数与极值,解题时按照相关概念判断即可,属于中档题.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知数列是公比为正数的等比数列,其前项和为,满足,且成等差数列.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足,求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由公比表示出,由成等差数列可求得,从而数列的通项公式;‎ ‎(2)求(1)得,然后对和式两两并项后利用等差数列的前项和公式可求解.‎ ‎【详解】(1)∵是等比数列,且成等差数列 ‎∴,即 ‎∴,解得:或 ‎∵,∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎(2)∵‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查并项求和法及等差数列的项和公式.本题求数列通项公式所用方法为基本量法,求和是用并项求和法.数列的求和除公式法外,还有错位相关法、裂项相消法、分组(并项)求和法等等.‎ ‎18.如图,三棱柱的侧棱垂直于底面,且,,,,是棱的中点.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由侧棱垂直于底面,且,得可侧面与底面垂直,从而与侧面垂直,因此有,即有,于是只要证即可有线面垂直,从而证,这个在矩形由相似三角形可得证;‎ ‎(2)以分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,求出平面和平面法向量,有平面法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值(注意确定二面角是锐角还是钝角).‎ ‎【详解】(1)证明:∵平面 ‎∴四边形是矩形 ‎∵中点,且 ‎∴‎ ‎∵,,‎ ‎∴,∴‎ 连接 ,‎ ‎∵,∴与相似 ‎∴,∴‎ ‎∴‎ ‎∵,∴平面 ‎∴平面 ‎∵平面,∴‎ ‎∴平面,∴.‎ ‎(2)解∶如图,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,则 ‎,,,,‎ ‎∴,,,‎ 设平面的法向量为,则,‎ 解得:‎ 同理,平面的法向量 设二面角的大小为,则 即二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角.证明线面垂直,就要证线线垂直,而证明线线垂直又可通过线面垂直得出,因此我们要注意空间线线与线面垂直的相互转化,用好用活判定定理和性质定理.立体几何中求空间角可用空间向量法求解,即建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量和平面的法向量,利用向量的夹角与空间角的关系求解.‎ ‎19.已知中,角,,所对的边分别为,,,,且满足.‎ ‎(1)求的面积;‎ ‎(2)若,求的最大值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由诱导公式和二倍角公式可得,从而得三角形面积;‎ ‎(2)由余弦定理得,从而可把用角表示出来,由三角函数性质求得最大值.‎ ‎【详解】解:‎ ‎(1)在中,,∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∴‎ ‎(2)∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴当时,取最大值.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式,诱导公式,两角和与差的正弦公式,余弦定理.本题关键是,这样可把表示为角的函数,从而求得最值.‎ ‎20.为满足人们的阅读需求,图书馆设立了无人值守的自助阅读区,提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况,数据统计如下(单位:本).‎ 文学类专栏 科普类专栏 其他类专栏 文学类图书 ‎100‎ ‎40‎ ‎10‎ 科普类图书 ‎30‎ ‎200‎ ‎30‎ 其他图书 ‎20‎ ‎10‎ ‎60‎ ‎(1)根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率;‎ ‎(2)根据统计数据估计图书分类错误的概率;‎ ‎(3)假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为,,,其中,,,当,,的方差最大时,求,的值,并求出此时方差的值.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)当,时,取最大值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)文学类图书共有150本,其中正确分类的有100本,由此可计算概率;‎ ‎(2)图书分类错误的共有140本,图书总共有500本,易得概率;‎ ‎(3)计算平均值,再计算方差,转化为的函数后可得最大值.‎ ‎【详解】解:‎ ‎(1)由题意可知,文学类图书共有本,其中正确分类的有100本 所以文学类图书分类正确的概率 ‎(2)图书分类错误的共有本,因为图书共有500本,‎ 所以图书分类错误的概率 ‎(3),,的平均数 所以方差 ‎∵,,∴当,时,取最大值.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型,考查方差的计算.考查了学生的数据处理能力.属于中档题.‎ ‎21.设函数.‎ ‎(1)若函数在是单调递减的函数,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若,证明:.‎ ‎【答案】(1)(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出导函数,由在上恒成立,采用分离参数法求解;‎ ‎(2)观察函数,不等式凑配后知,利用时可证结论.‎ ‎【详解】(1)因为在上单调递减,‎ 所以,即在上恒成立 因为在上是单调递减的,所以,所以 ‎(2)因为,所以 由(1)知,当时,在上单调递减 所以 即 所以.‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,考查用导数证明不等式.解题关键是把不等式与函数的结论联系起来,利用函数的特例得出不等式的证明.‎ ‎22.已知,,动点满足直线与直线的斜率之积为,设点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)若过点的直线与曲线交于,两点,过点且与直线垂直的直线与 相交于点,求的最小值及此时直线的方程.‎ ‎【答案】(1)(2)的最小值为1,此时直线:‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)用直接法求轨迹方程,即设动点为,把已知用坐标表示并整理即得.注意取值范围;‎ ‎(2)设:,将其与曲线的方程联立,消元并整理得,‎ 设,,则可得,,由求出,‎ 将直线方程与联立,得,求得,计算,设.显然,构造,由导数的知识求得其最小值,同时可得直线的方程.‎ ‎【详解】(1)设,则,即 整理得 ‎(2)设:,将其与曲线的方程联立,得 即 设,,则,‎ 将直线:与联立,得 ‎∴‎ ‎∴‎ 设.显然 构造 在上恒成立 所以在上单调递增 所以,当且仅当,即时取“=”‎ 即的最小值为1,此时直线:.‎ ‎(注:1.如果按函数的性质求最值可以不扣分;2.若直线方程按斜率是否存在讨论,则可以根据步骤相应给分.)‎ ‎【点睛】本题考查求轨迹方程,考查直线与椭圆相交中的最值.直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法,即设交点坐标为,设直线方程,直线方程与椭圆方程联立并消元,然后用韦达定理得(或),把这个代入其他条件变形计算化简得出结论,本题属于难题,对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求.‎ ‎ ‎
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