湖南省岳阳县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

湖南省岳阳县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019年下学期岳阳县一中高二期中考试 数学试卷 时量：120分钟 总分：150分 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）‎ ‎1.为了了解某地区参加数学竞赛的名学生的成绩，计划采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则每个学生被抽到的概率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.在中，“是直角三角形”是“”的 （ ）‎ A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 加工零件数(个)‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间(分钟)‎ ‎64‎ ‎69‎ ‎75‎ ‎82‎ ‎90‎ ‎3.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花 ‎ 费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经 ‎ 检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于 加工零件的个数与加工时间这两个变量,下列 判断正确的是 ( ) ‎ A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76)‎ C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75)‎ ‎4.采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号 ，抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，落入区间的做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 下列命题错误的是 ( )‎ A．对于命题 ：，使得，则为，均有 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若是假命题，则均为假命题 D．命题“若则”是正确的 ‎ ‎6.已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知平面的一个法向量是，点在内，则到 的距离是 （ ）‎ A、 B、‎8 C、3 D、10‎ ‎8. 如图所示,在平行六面体中, 为 与的交点.若,则下列向量中与 相等的向量是 ( )‎ A. B. C． D. ‎ ‎9. 已知点,抛物线的焦点为,射线与抛物线相交于点,与其准线相交于点,则等于 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知椭圆的右焦点为,过点的直线交于 两点，若的中点坐标为，则的方程为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过次就按对的概率是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于．当与的斜率存在且倾斜角互补时，的值为 （ ） A. B. C. D.无法确定 ‎ 二．填空题( 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填入答卷指定位置.)‎ ‎13. 如图是从参加数学知识竞赛的学生中抽出名，将其 ‎ 成绩整理后画出的频率分布直方图，则这些同学成绩 ‎ 的众数是. ‎ ‎14. 在长为的绳子上剪一刀，两段长度都不小于1 ‎ 的概率为 .‎ ‎15.如图所示,二面角为, 是棱上的点, ‎ 分别在半平面内, ， 且 ‎ 则的长为 .‎ ‎16. 已知线段为双曲线的实轴,点在双曲线上,且,若,则双曲线的离心率是 .‎ 三．解答题（本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17. （本小题满分10分）已知命题使得,命题方程表示双曲线.‎ ‎(Ⅰ)写出命题的否定形式;‎ ‎(Ⅱ)若命题为假,命题为真,求实数的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧 ‎ 棱底面，且各棱长均相等，分别为 ‎ 棱的中点.‎ ‎(1)证明平面；‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值. ‎ ‎19.（本小题满分12分）某产品的三个质量指标分别为，用综合指标 ‎ 评价该产品的等级.若，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取件产品作为样本，其质量指标列表如下：‎ 产品编号 质量指标 产品编号 质量指标 ‎(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；‎ ‎(2)在该样本的一等品中，随机抽取件产品，‎ ①用产品编号列出所有可能的结果；‎ ②设事件为“在取出的件产品中，每件产品的综合指标都等于”，求事件发生的概率.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为，‎ 左、右焦点分别为.‎ ‎ 求椭圆的方程；‎ 若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.‎ ‎21.（本小题满分12分）如图所示,四棱锥的底面为等腰梯形, ‎ ‎,对角线与交于点,‎ 底面.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若四棱锥的体积,‎ 求二面角的平面角的正弦值. ‎ ‎22.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，‎ ‎（i）证明：直线过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（ii）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.‎ ‎2019年下学期岳阳县一中高二期中考试 数学试卷 时量：120分钟 总分：150分 命题人：‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）‎ ‎1. 为了了解某地区参加数学竞赛的名学生的成绩，计划采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则每个学生被抽到的概率为 （ A ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.在中， “是直角三角形”是“”的 （ B ）‎ A．充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 加工零件数 (个)‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间 (分钟)‎ ‎64‎ ‎69‎ ‎75‎ ‎82‎ ‎90‎ ‎3.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量,下列判断正确的是 ( B ) ‎ A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76)‎ C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75)‎ ‎4. 采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，抽到的人中，编号落入区间的 人做问卷，落入区间的做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为 （ C ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 下列命题错误的是 ( D )‎ A．对于命题 ：，使得，则为，均有 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若是假命题，则均为假命题 D．命题“若则”是正确的 ‎ ‎6.已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程（ B ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知平面的一个法向量是，点在内，则到的距离是 （ A ）‎ A、 C、3 B、‎8 A、10‎ ‎8. 如图所示,在平行六面体中, 为 与的交点.若,则下列向 量中与相等的向量是 ( A )‎ A. B. C． D. ‎ ‎9. 已知点,抛物线的焦点为,射线与抛物线相交于点,与其准线相交于点,则等于 ( C )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知椭圆的右焦点为,过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则的方程为 （ D ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过次就按对的概率是 （ C ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物 线于．当与的斜率存在且倾斜角互补时，则的值为 （ B ）‎ A. B. C. D.无法确定 二．填空题( 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填入答卷指定位置.)‎ ‎13. 如图是从参加低碳生活知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图，则这些同学成绩的众数是.‎ ‎14.在长为的绳子上剪一刀，两段长度都不小于1的概率为 0.6 .‎ ‎15.如图所示,二面角为, 是棱上的点, 分别在半平面内, ， 且则的长为 . ‎ ‎16. 已知线段为双曲线的实轴,点在双曲线上,且,若,则双曲线的离心率是 . ‎ 三．解答题（本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17. （本小题满分10分）已知命题使得,命题方程表示双曲线.‎ ‎(Ⅰ)写出命题的否定形式;‎ ‎(Ⅱ)若命题为假,命题为真,求实数的取值范围.‎ ‎【解】(Ⅰ)命题的否定形式:‎ ‎,都有.………………………………………………………5分 ‎(Ⅱ)由为假,即为真,所以,即;‎ ‎ 又命题为真,则有,即或;‎ ‎ 所以假、真时,,即求.………………………………………………………10分 ‎18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，分别为棱的中点.‎ ‎(1)证明平面；‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ 解析：（1）连接,易知且，所以是平行四边形，所以，又在平面外，所以平面； …………………6分 ‎（2） …………………12分 ‎19.（本小题满分12分）某产品的三个质量指标分别为，用综合指标评价该产品的等级.若，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取件产品作为样本，其质量指标列表如下：‎ 产品编号 质量指标 产品编号 质量指标 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；‎ 在该样本的一等品中，随机抽取件产品，‎ ①用产品编号列出所有可能的结果；‎ ②设事件为“在取出的件产品中，每件产品的综合指标都等于”，求事件发生的概率.‎ 解析：（1）‎ ‎ …………………………5分 ‎ ‎（2）①该样本中一等品中，随机抽取件产品的所以可能结果为 ‎ ‎ ‎ ‎ …………………………8分 ②这批样品中综合指标为有，则事件发生的可能结果为共种， ……………12分 ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为.‎ ‎ 求椭圆的方程；‎ 若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.‎ 解答：（1）根据题意，，………………………………… ……………………1分 ‎ 又离心率，所以…………………………………………………3分 所以椭圆的方程为 ……………………………………………………5分 ‎（2）设，联立直线与椭圆的方程可得，‎ ‎ ………………………………………6分 因此， ………………………………7分 根据垂径定理，可得，………………………8分 由已知，可得…………………………………10分 解得，因此直线的方程为………………………………12分 ‎21.（本小题满分12分）如图所示,四棱锥的底面为等腰梯形, ‎ ‎,对角线与交于点,‎ 底面.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若四棱锥的体积,求二面角的平面角的正弦值.‎ ‎【解】(Ⅰ)证明 在等腰梯形中,知,‎ ‎ 又,所以,故,‎ ‎ 即,又底面,得,‎ ‎ 且,所以面,即.………………………………………5分 B C O S A H D x y z ‎(Ⅱ)由,‎ ‎ 于是,得.‎ 法一 由两两垂直,故以为原点,‎ ‎ 分别以为轴建系如图;‎ ‎ 则,‎ ‎ ,‎ ‎ 设平面的法向量为,则由 ‎ 得,令,得,即 ‎ 同理可得平面的一个法向量为,设二面角的平面角为,‎ ‎ 则,‎ 又,故.……………………………………………12分 B C O S A H D x y z 法二 过点作于点,连接,则 ‎ 由知面,‎ ‎ 所以(三垂线定理)‎ ‎ 所以为二面角的平面角.‎ ‎ 由等面积知,‎ 故,,‎ 由余弦定理有,‎ 即,即求.‎ ‎22.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，‎ ‎（i）证明：直线过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（ii）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.‎ 解析：：(1)由题意知当点的横坐标为时，不妨设设，则点的纵坐标为 ……………2分因此， （舍去） 所以抛物线的方程为 …………………4分 ‎(2)①证明：由(1)知．‎ 设 因为，则，‎ 由得，故．‎ 故直线的斜率 …………5分 因为直线和直线平行，‎ 设直线的方程为，‎ 代入抛物线方程得，‎ 由题意，得 ………………6分 设，则，.‎ 当时，，‎ 可得直线的方程为， ………………7分 由，‎ 整理可得，‎ 直线恒过点F(1，0)．‎ 当时，直线的方程为，过点．‎ 所以直线过定点 ………………8分 ‎②由①知，直线过焦点，‎ 所以.‎ 设直线的方程为，‎ 因为点)在直线上，‎ 故. ………………9分 设．‎ 直线的方程为，由，得 代入抛物线方程得，‎ 所以，‎ 可求得，. ………………10分 所以点到直线的距离为 则的面积 当且仅当，即时，等号成立．‎ 所以的面积的最小值为. ……………12分