2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）新目标版

2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）新目标版

‎2019级高一上学期期中教学质量检测 数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数有意义，则：，整理可得：，‎ 则不等式即：，求解不等式可得：，‎ 则函数的定义域为：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎2. 若函数（）的值域为，则集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】求解可得：，‎ 求解可得：，‎ 据此可得：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎3. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得：‎ 集合P表示直线上的点组成的集合，‎ 集合表示直线上的点组成的集合，‎ 求解方程组：可得：，‎ 据此可得： .‎ 本题选择C选项.‎ - 12 -‎ ‎4. 函数的所有零点之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分类讨论：‎ 当时，由可得：，则：；‎ 当时，由可得：，满足题意，‎ 据此可得，所有零点之和为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎5. 如图，设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得：，‎ 结合文氏图可得图中阴影部分表示的集合为：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎6. 下列函数是偶函数且在区间上单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】逐一考查所给函数的性质：‎ A.，函数是偶函数，在区间上单调递增；‎ B.，函数是非奇非偶函数，在区间上单调递增；‎ C.,函数是偶函数，在区间上单调递增；‎ D.，函数是非奇非偶函数，在区间上不具有单调性；‎ 本题选择A选项.‎ ‎7. 已知是奇函数，则的值为（ ）‎ - 12 -‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】法一：由可知，，又因为是奇函数，所以，即.‎ 法二：当时，，，所以，又因为是奇函数，所以，则，所以，，即.选A.‎ ‎8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由指数函数的性质可得：，‎ 即：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．‎ ‎9. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B - 12 -‎ ‎【解析】结合“同族函数”的定义可得：‎ 当函数为“同族函数”时，函数肯定不是单调函数，‎ 选项中所给的函数都是单调函数，不合题意，‎ 本题选择B选项.‎ ‎10. 已知函数满足当时，；当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)‎ 且3＋log23＞4‎ ‎∴＝f(3＋log23)‎ ‎＝‎ ‎11. 如图，为等腰直角三角形，直线与相交且，若直线截这个三角形所得的位于直线右侧的图形面积为，点到直线的距离为，在的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设AB=a，则y=a2−x2=−x2+a2，‎ - 12 -‎ 其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方，‎ 本题选择C选项.‎ ‎12. 要使函数在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，原问题等价于在区间上恒成立，‎ 分离参数有：，则，，‎ 结合二次函数的性质可知当时，，‎ 即实数的取值范围是.‎ 本题选择C选项.‎ ‎.....................‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知幂函数的图像经过点，那么这幂函数的解析式为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设指数函数的解析式为：，据此可得：，‎ 即幂函数的解析式为：.‎ ‎14. 已知函数则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得：.‎ ‎15. 对任意两实数，，定义运算“*”如下：则函数的值域为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得：运算“∗”定义的实质就是取两者之间的最小值，‎ - 12 -‎ 若，解得，‎ 此时f(x)=log2x，可得，‎ 此时函数的值域为，‎ 若，解得x≥1，‎ 此时，且，可得，，‎ 综上可得：f(x)⩽0；即函数的值域为：(−∞,0].‎ 点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；‎ ‎(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．‎ ‎16. 已知定义在上的函数满足，且对于任意，，，均有.若，，则的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】定义在上的函数满足，且对于任意，，，均有， 在 上递减，在 上递增， ，因为 是偶函数，所以或 ，可得或 ，故答案为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 计算下列各式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】(1)1；(2)3.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合分数指数幂的运算法则可得：原式.‎ ‎(2)利用对数的运算法则结合题意可得：原式.‎ - 12 -‎ 试题解析：‎ ‎（1）原式.‎ ‎（2）原式.‎ ‎18. 已知函（）.‎ ‎（1）用分段函数的形式表示该函数；‎ ‎（2）画出该函数的图像；‎ ‎（3）根据函数的图像写出函数的单调区间和函数的值域.‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为；值域.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)分类讨论和两种情况可得函数的解析式为：‎ ‎(2)结合函数的解析式绘制函数的图象即可；‎ ‎(3)结合(2)中函数的图象可得：函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为；值域.‎ 试题解析：‎ ‎（1）分类讨论：当时，则：，‎ 当时，则：，‎ 综上可得，函数的解析式为：‎ - 12 -‎ ‎（2）绘制函数图象如图所示：‎ ‎（3）函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为；‎ 值域.‎ ‎19. 已知全集为，函数的定义域为集合，集合.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得，，则∴.‎ ‎(2)结合(1)的结论可得，分类讨论和两种情况可得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得，函数的定义域，又，得，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎①当时，满足要求，此时，得；‎ ‎②当时，要，则解得，‎ 由①②得，，∴实数的取值范围.‎ ‎20. 某电动小汽车生产企业，年利润（出厂价投入成本）年销售量.已知上年度生产电动小汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万/辆，年销售量为辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应提高的比例为.同时年销售量增加的比例为.‎ ‎（1）写出本年度预计的年利润（万元）与投入成本增加的比例的函数关系式；‎ ‎（2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？‎ - 12 -‎ ‎【答案】(1)（）；(2)每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是（万元）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得函数的解析式为（）.‎ ‎(2)函数的解析式即.结合二次函数的性质可得每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是（万元）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意，得 ‎（）.‎ 即（）.‎ ‎（2）.‎ ‎∴当时，有最大值为（万元），‎ ‎∴每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是（万元）.‎ 点睛：二次函数模型的应用比较广泛，解题时，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．‎ ‎21. 已知函数（）是奇函数，（）是偶函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由于函数为奇函数，故有，由此求得.由于函数为偶函数，利用代入可求得，由此求得；（2）化简，又在区间上是增函数，所以当 - 12 -‎ 时，，由此列不等式组解得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为为奇函数，且定义域为，‎ 所以，即，所以.……………2分 因为，‎ 所以.……………4分 又因为为偶函数，所以恒成立，得到.…………6分 所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.……………8分 又在区间上是增函数，所以当时，.………9分 由题意即.……………11分 所以实数的取值范围是.………………12分 考点：函数的奇偶性与单调性.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性.如果一个函数是奇函数，且在处有定义则有，利用这个知识点，代入可求解的.如果一个函数是偶函数，则需满足，利用这个知识点，可求解得得值.首先利用函数的单调性求出其最小值，右边含有参数的表达式小于这个最小值，由此解得的取值范围.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）若，求的值域；‎ ‎（2）若存在实数，当，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ - 12 -‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)结合二次函数的性质分类讨论可得：‎ 当时，的值域为.‎ 当时，的值域为；‎ 当时，的值域为.‎ ‎(2)原问题即恒成立.构造二次函数，，则，再次构造函数，结合二次函数的性质可得的取值范围为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得，当时，，，‎ ‎∴此时的值域为.‎ 当时，，，‎ ‎∴此时的值域为；‎ 当时，，，‎ ‎∴此时的值域为.‎ ‎（2）由恒成立得恒成立.‎ 令，，因为抛物线的开口向上，‎ 所以 由恒成立知化简得 令，则原题可转化为：存在，使得.‎ 即当时，.‎ ‎∵，∴的对称轴为，‎ 当，即时，，‎ 解得；‎ 当，即时，.‎ ‎∴‎ 解得.‎ 综上，的取值范围为.‎ - 12 -‎ 点睛：“三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值、二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 12 -‎