江苏省东海高级中学2013届高三第一学期期中考试数学文试题

江苏省东海高级中学2013届高三第一学期期中考试数学文试题

东海高级中学2013届高三文科数学期中试题 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1.对于命题使得则为____________‎ ‎2.若函数在上是减函数，则的取值范围是 ‎ ‎3．若函数在R上有两个零点，则实数的取值范围是_______ ‎ ‎4.函数的最大值与最小值之和为 ‎ ‎5.定义在R上的函数满足且为奇函数．给出下列命题：‎ ‎⑴函数的最小正周期为； ⑵函数的图象关于点对称；‎ ‎⑶函数的图象关于轴对称．其中真命题有 ．（填序号）‎ ‎6. 已知函数，给定条件：，条件：，‎ 若是的充分条件，则实数的取值范围为 ．‎ ‎7．已知函数 A B C D ‎（第8题图）‎ 的解集为________. ‎ ‎8．如图，平面四边形ABCD中，若AC＝，BD＝2，‎ 则(＋)·(＋)＝ ．‎ ‎9．若正六棱锥的底面边长为，侧面积是底面积的倍，则这个 棱锥的高是 ． ‎ ‎10. 设，若，则的值为 ‎ ‎11、设关于的不等式组解集为A，Z为整数集，且共有两个元素，‎ 则实数的取值范围为 . ‎ ‎12．如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于时，的坐标为___________.‎ A C D B E 第13题图 ‎13．已知，C是线段AB上异于A，B的一点，均为等边三角形，则的外接圆的半径的最小值是 ．‎ ‎14．若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 _______．‎ 二、解答题：（本大题6小题，共90分）‎ ‎15．（本题满分14分）已知集合函数的定义域为集合B。（1）若，求集合；‎ ‎（2）已知是“”的必要条件，求实数a的取值范围。‎ ‎16．（本题满分14分）　如图的几何体中，平面，平面，△为等边三角形， ，为的中点．‎ B A E D C F ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎17．（本题满分15分）已知中，，记．‎ ‎（1）求解析式及定义域；‎ ‎（2）设 ，是否存在实数，使函数的值域为？若存在，‎ 请求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎18．（本大题满分15分）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻（时）的关系为，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数，记作．‎ ‎（Ⅰ）令，，求t的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）省规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？‎ ‎19．（本题满分16分）已知定义域为[0，1]的函数满足以下三个条件：①对任意，总有；②；③若，则有成立. ‎ ‎ (1) 求的值；‎ ‎(2) 函数在区间[0,1]上是否同时适合①②③?并予以证明；‎ ‎ (3) 假定存在,使得,且,求证:‎ ‎20．（本题满分16分）已知函数，．‎ ‎（1）若函数依次在处取到极值．‎ ‎①求的取值范围； ②若，求的值．‎ ‎（2）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立．求正整数 的最大值．‎ 答案 ‎1．，均有≥0；2. 3. （2-2ln2，） 4．2； 5．(2)(3)； ‎ ‎6． 7．（0,2）； 8． 9． 10． 11． ‎ ‎12．13. 14．或． ‎ ‎15、‎ ‎16.解：‎ ‎17．。解：（1）由正弦定理有：；…………………………2分 ‎∴，…………………………………………4分 ‎∴‎ ‎ ……………………………………… 6分 ‎ ‎（2）‎ 假设存在实数m符合题意， ∴ ……………………9分 当时， 的值域为 ‎ 又的值域为，解得 ………………11分 ‎ 当时， 的值域为 又∵的值域为 解得无解………………………13分 ‎∴存在实数，使函数的值域恰为……………14分 ‎18.解：（Ⅰ）当x=0时，t=0‎ ‎ 当0< x≤24时，‎ ‎ ‎ 故t的取值范围是 ……………………4分 ‎（Ⅱ）当时，记 则　　　　　　　　　　……………………8分 ‎∵在上单调递减，在上单调递增，‎ 且．‎ 故. ……………………10分 ‎∴当且仅当时，. ‎ 故当时不超标，‎ 当时超标． ……………………15分 ‎19.（1）解：由①知：；由③知：，即；‎ ‎ ∴ ‎ ‎ (2 ) 证明：由题设知：；‎ ‎ 由知，得，有；‎ 设，则，；‎ ‎∴‎ 即 ‎ ‎ ∴函数在区间[0,1]上同时适合①②③. ‎ ‎ (3) 证明：若,则由题设知:,且由①知,‎ ‎ ∴由题设及③知：‎ 矛盾;‎ 若,则则由题设知：,且由①知,‎ ‎ ∴同理得：,矛盾;‎ 故由上述知: ‎ ‎20.解：（1）①‎ ‎②‎ ‎（2）不等式 ，即，即．‎ 转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立．‎ 即不等式在上恒成立．‎ 即不等式在上恒成立．‎ 设，则．‎ 设，则，因为，有．‎ 故在区间上是减函数．‎ 又 故存在，使得．‎ 当时，有，当时，有．‎ 从而在区间上递增，在区间上递减．‎ 又 所以当时，恒有；当时，恒有；‎ 故使命题成立的正整数的最大值为5．‎