【数学】2019届一轮复习人教B版　两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

【数学】2019届一轮复习人教B版　两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

第21讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.‎ ‎2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.‎ ‎3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.‎ ‎2017·江苏卷，5‎ ‎2016·全国卷Ⅱ，9‎ ‎2016·全国卷Ⅲ，5‎ ‎2016·四川卷，11‎ ‎　　三角恒等变换是三角变换的工具.主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值.可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查.‎ 分值：5～12分 ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝！！！　sin αcos β±cos αsin β　###；‎ cos(α±β)＝！！！　cos αcos β∓sin αsin β　###；‎ tan (α±β)＝！！！　　###.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝！！！　2sin αcos α　###；‎ cos 2α＝！！！　cos2α－sin2α　###＝！！！　2cos2α－1　###＝！！！　1－2sin2α　###；‎ tan 2α＝！！！　　###.‎ ‎3．有关公式的逆用、变形 ‎(1)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)；‎ ‎(2)cos2α＝！！！　　###，sin2α＝！！！　　###；‎ ‎(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝ (sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin；‎ ‎(4)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ) ‎＝cos(α－θ).‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”).‎ ‎(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　√　)‎ ‎(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　√　)‎ ‎(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　×　)‎ ‎(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　√　)‎ 解析　(1)正确.对于任意的实数α，β，两角和与差的正弦、余弦公式都成立.‎ ‎(2)正确.取β＝0，因为sin 0＝0，所以sin (α＋0)＝sin α＝sin α＋sin 0.‎ ‎(3)错误.变形可以，但不是对任意角α，β都成立.α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z.‎ ‎(4)正确.当α＝kπ(k∈Z)时，tan 2α＝2tan α.‎ ‎2．若sin ＝，则cos α＝(　C　)‎ A．－　　　 B．－　　　　‎ C．　　　 D． 解析　因为sin ＝，‎ 所以cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝.‎ ‎3．sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是(　C　)‎ A．　　　 B．　　　　‎ C．－　　　 D．－ 解析　sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°‎ ‎＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°)‎ ‎＝－cos (34°＋26°)＝－cos 60°＝－.‎ ‎4．(2017·江苏卷)若tan＝，则tan α＝！！！　　###.‎ 解析　tan α＝tan＝＝‎ ＝.‎ ‎5．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝！！！　　###.‎ 解析　∵tan (20°＋40°)＝，∴－tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°，即tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.‎ 一　三角函数的化简、求值 三角函数式化简、求值的常用方法 ‎(1)善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分、整合，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数.‎ ‎(2)统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.‎ ‎【例1】 (1)化简：(0<θ<π)；‎ ‎(2)求值：sin 50°(1＋tan 10°).‎ 解析　(1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos >0，‎ ‎∴＝＝2cos .‎ 又(1＋sin θ＋cos θ) ‎＝ ‎＝2cos ＝－2cos cos θ，‎ 故原式＝＝－cos θ.‎ ‎(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°)‎ ‎＝sin 50°· ‎＝sin 50°·＝＝＝＝1．‎ 二　三角函数的条件求值 三角函数求值问题的解答步骤 ‎(1)给值求值问题 ‎①化简条件式子或待求式子；‎ ‎②从函数名称及角入手，观察已知条件与所求式子之间的联系；‎ ‎③将已知条件代入所求式子，化简求值.‎ ‎(2)给值求角问题 ‎①先求角的某一个三角函数值；‎ ‎②确定角的范围；‎ ‎③根据角的范围写出所求的角.‎ ‎【例2】 (1)(2017·安徽合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝！！！　　###.‎ ‎(2)已知tan α＝2，求值：‎ ‎①tan；②.‎ 解析　(1)∵α为锐角，∴sin α＝＝.‎ ‎∵α，β∈，∴0<α＋β<π.‎ 又∵sin(α＋β)，∴cos(α＋β)＝－.‎ cos β＝cos ［(α＋β)－α］＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)·sin α＝－×＋×＝＝.‎ ‎(2)①tan＝＝＝－3.‎ ‎②＝＝‎ ＝＝1．‎ ‎【例3】 (1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　C　)‎ A．　　　 B．　　　　‎ C．　　　 D．或 ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为！！！　－　###.‎ 解析　(1)∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，∴cos α＝，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.‎ 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝.‎ ‎(2)∵tan α＝tan［(α－β)＋β］＝ ‎＝＝>0，∴0<α<.‎ 又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1．‎ ‎∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.‎ 三　三角函数的综合变换 三角函数的综合变换主要是将三角恒等变换与三角函数的性质相结合，通过变换，将复杂的函数式子化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究性质.在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题.‎ ‎【例4】 已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值.‎ 解析　(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin，‎ 由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，所以sin＝±1，因此ω＋＝kπ＋(k∈Z)，‎ 解得ω＝k＋(k∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝，‎ 所以f(x)＝2sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ ‎(2)由题意可得g(x)＝2sin，即g(x)＝2cos ，‎ 由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，‎ 又α∈，故<α＋<，所以sin＝，‎ 所以sin α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.‎ ‎1．(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α＝(　D　)‎ A．　　　 B． C．－　　　 D．－ 解析　sin 2α＝cos＝cos ‎＝2cos2－1＝2×2－1＝－.‎ ‎2．(2016·四川卷)cos2－sin2＝！！！　　###.‎ 解析　cos2－sin2＝cos ＝.‎ ‎3．(2016·浙江卷)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝！！！　　###，b＝‎ ‎！！！　1　###.‎ 解析　2cos 2x＋sin 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，故A＝，b＝1．‎ ‎4．(2016·江苏卷)，在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.‎ ‎(1)求AB的长；‎ ‎(2)求cos的值.‎ 解析　(1)因为cos B＝，00，tan β>0，‎ ‎∴tan α＝tan(α＋β－β)＝＝＝≤＝，‎ 即(tan α)max＝.‎ 三、解答题 ‎10．已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)若sin α＝，且α∈，求f.‎ 解析　(1)f＝cos2＋sin cos ‎＝2＋×＝.‎ ‎(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin，‎ 所以f＝＋sin ‎＝＋sin＝＋.‎ 又因为sin α＝，且α∈，所以cos α＝－，‎ 所以f＝＋ ‎＝.‎ ‎11．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.‎ ‎(1)求sin 2β的值；‎ ‎(2)求cos的值.‎ 解析　(1)sin 2β＝cos＝‎ ‎2cos2－1＝－.‎ ‎(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<π，<α＋β<，‎ ‎∴sin>0，cos(α＋β)<0.‎ ‎∵cos＝，sin(α＋β)＝，‎ ‎∴sin＝，cos(α＋β)＝－.‎ ‎∴cos＝cos ‎＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin ‎＝－×＋×＝.‎ ‎12．(2018·湖南常德模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋mcos ωx(ω>0，m>0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和m的值；‎ ‎(2)若f＝，θ∈，求f的值.‎ 解析　(1)易知f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ为辅助角)，∴f(x)min＝－＝－2，∴m＝.‎ 由题意知函数f(x)的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，‎ ‎∴f＝2sin＝，∴sin＝.‎ ‎∵θ∈，∴θ＋∈，‎ ‎∴cos＝－＝－，‎ ‎∴sin θ＝sin＝sin·cos －cos·sin ＝，‎ ‎∴f＝2sin＝2sin＝‎ ‎2cos 2θ＝2(1－2sin 2θ)＝2＝－.‎