江苏省灌云高级中学2013届高三第二次质量调研数学试题

江苏省灌云高级中学2013届高三第二次质量调研数学试题

‎ 江苏省灌云高级中学2013届高三第二次质量调研试题 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡上．‎ ‎1．已知集合，，则_ ▲ ．‎ ‎2．设复数满足（i是虚数单位），则= ▲ ．‎ ‎3．函数的定义域是 ▲ _．‎ ‎4．在△ABC中，，则= ▲ ． ‎ ‎5．若实数满足约束条件，则的最大值为 ▲ ．‎ ‎6．已知 则的值为 ▲ ．‎ ‎7．已知曲线上点，则在点的切线方程为 ▲ ． ‎ ‎8．在等差数列中，， ，则= ▲ _．‎ ‎9．在平面直角坐标系中，若焦点在轴的椭圆的离心率为，则的值为 ▲ ． ‎ ‎10．已知函数，则满足的的取值范围为 ▲ ．‎ ‎11．已知圆的方程为，在圆上经过点的切线方程为．类比上述性质，则椭圆上经过点的切线方程为▲ _．‎ ‎12．在边长为6的等边△ABC中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．‎ ‎13．设实数满足，则的最大值是 ▲ ．‎ ‎14．已知函数满足，，方程在区间 上有两个实数根，则实数的取值范围为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）对于任意实数，恒有成立，求实数的取值范围．‎ ‎16．（本小题满分14分） ‎ 已知，．‎ 设命题分别为：函数的图象与轴有两个不同的交点；‎ ‎：函数在内单调递减．‎ 如果命题或为真命题，命题且为假命题，求实数的取值范围． ‎ ‎17. （本小题满分14分）‎ 某花店老板经调查发现成本为50元的花篮每天卖出的数量（个）与销售价格存在下列关系：当时，每个花篮的平均价格为元；当时，每个花篮的平均价格为元．请你为花店老板规划一下，每天进多少个花篮时，以什么样的价格卖出利润最大？‎ ‎18. （本小题满分16分）‎ 设数列满足， . ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）去掉数列中的第3项，第6项，第9项，……, 第项……,余下的项按顺序不变，重新组成一个新数列，求的前项和. ‎ ‎19. （本小题满分16分）‎ 已知椭圆的离心率为，一条准线方程为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 已知函数，.‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）设函数，求函数的单调区间；‎ ‎(3)若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 数学II（附加题）‎ ‎21.【选做题】解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）‎ 已知矩阵，求直线在对应变换作用下得到的曲线方程．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，求过抛物线（为参数）的焦点且与直线（为参数）垂直的直线的普通方程．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ A B C D E 在棱长为2的正方体中， 为的中点，在上．‎ ‎（1）若，求的长；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 若数列的通项，实数满足且，为数列的前项和．‎ ‎（1）求证：当时，；‎ ‎（2）求证；‎ ‎（3）若，求证．‎ 灌云高级中学2013届高三第二次质量调研数学科试题 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡上。‎ ‎1．已知集合，，则_ ▲ ．‎ 答案：‎ ‎2．设复数满足（i是虚数单位），则= ▲ ．‎ 答案：‎ ‎3．函数的定义域是 ▲ _．‎ 答案：‎ ‎4．在△ABC中，，则= ▲ ． ‎ 答案： ‎ ‎5．若实数满足约束条件，则的最大值为 ▲ ．‎ 答案： ‎ ‎6．已知 则的值为 ▲ ．‎ 答案： ‎ ‎7．已知曲线上点，则在点的切线方程为 ▲ ． ‎ 答案：‎ ‎8．在等差数列中，， ，则= ▲ _．‎ 答案：25‎ ‎9．在平面直角坐标系中，若焦点在轴的椭圆的离心率为，则= ▲ ．‎ 答案：4‎ ‎10．已知函数，则满足时的取值范围为 ▲ ．‎ 答案：‎ ‎11．已知圆的方程为，在圆上经过点的切线方程为．类比上述性质，则椭圆上经过点的切线方程为▲ _．‎ 答案：‎ ‎12．在边长为6的等边△ABC中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．‎ 答案：‎ ‎12．已知数列中，，，，，依次下去，则= ▲ _．‎ 答案：‎ ‎13．设实数满足，则的最大值是 ▲ ．‎ 答案：‎ ‎14．已知函数满足，，方程在区间上有两个实数根，则实数的取值范围为 ▲ ．‎ 答案：‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎15．（本小题满分14分）已知函数．‎ ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）对于任意实数，恒有成立，求实数的取值范围．‎ 解 （1） …….4分 的单调递减区间为 ……7分 ‎（2）因为，所以，所以 …….11分 要使恒成立，所以． …………………………………….14分 ‎16．（本小题满分14分）‎ 已知，．‎ 命题：函数的图象与轴有两个不同的交点；‎ 命题：函数在内单调递减．‎ 如果命题或为真命题，命题且为假命题，求实数的取值范围． ‎ 解 因为，，‎ 命题为真命题，则 ，解得 或 …….2分 命题为真命题可得 ……4分 由命题或为真命题，命题且为假命题，可知命题、为真命题恰好一真一假 ‎….6分 ‎（1）当命题真假时，，即 ……9分 ‎（2）当命题假真时，，即 ……12分 综上，实数的取值范围为或．…………………………………….14分 ‎17. 某花店老板经调查发现成本为50元的花篮每天卖出的数量（个）与销售价格存在下列关系：当时，每个花篮的平均价格为元；当时，每个花篮的平均价格为元．请你为花店老板规划一下，每天进多少个花篮时，以什么样的价格卖出利润最大？‎ 解 当时， ……….4分 ‎（元），等号成立，此时每个花篮的平均价格为90元； ………8分 当时，，所以当时，每天的利润为900（元），此时每个花篮的平均价格为． ………12分 综上可得花店老板每天进30个花篮时，以80元的价格卖出利润最大．……….14分 ‎18.（本小题满分16分）‎ 设数列满足， . ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）去掉数列中的第3项，第6项，第9项，……, 第项……,余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前项和为,求的取值范围.‎ 解：（1），因为 所以 ‎………………‎ 将上述等式两边分别相加得，‎ 所以. ………6分 ‎（2） 当时， ………10分 ‎；‎ 当时，.………14分 综上可得. ………16分 ‎18.（本小题满分16分）‎ 已知圆的离心率为，一条准线方程为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解（1）易得椭圆的标准方程为； …………………….4分 ‎（2）设，，则由得 ……6分 因为点M，N在椭圆上，即，所以， ……8分 故 ‎ …10分 ‎ 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知，因此 ……12分 所以，即 …….14分 所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为，则由椭圆的定义为定值，又因，因此两焦点的坐标为． …………………………16分 ‎20.（本小题满分16分）已知函数，.‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）设函数，求函数的单调区间；‎ ‎(3)若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 解：（1）‎ ‎∴在上递减，在上递增 ∴的极小值为 …………2分 ‎（2） ∴‎ ‎ ①当时，，∴在上递增 …………………4分 ‎②当时，，∴在上递减，在上递增 ‎………………6分 ‎（3）先解区间上存在一点，使得成立 在上有解当时，‎ ‎ 由（2）知 ‎①当时，在上递增，∴ ∴‎ ‎…………………8分 ‎②当时，在上递减，在上递增 ‎ （ⅰ）当时， 在上递增 ∴‎ ‎ ∴无解 ……………10分 ‎（ⅱ）当时， 在上递减 ‎ ‎∴‎ ‎ ∴ ……………12分 ‎（ⅲ）当时， 在上递减，在上递增 ‎∴‎ 令，则 ‎∴在递减 ∴ ∴无解 即无解 ………………14分 综上可得：存在一点满足，使得成立，实数的取值范围为或.‎ ‎ 所以不存在一点满足，使得成立，实数的取值范围为.… ………………16分 数学II（附加题）‎ ‎21.【选做题】解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）‎ 已知矩阵，求直线在对应变换作用下得到的曲线方程．‎ 解：设在对应变换作用下得，‎ ‎ ……………………….4分 ‎， ……7分 ‎ ‎ 即． ……………10分 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，求过抛物线（为参数）的焦点且与直线（为参数）垂直的直线的普通方程．‎ 解：抛物线的普通方程为，焦点为， …… 4分 直线（为参数）的普通方程为，……8分 斜率为，所求直线方程为，即．……10分 ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ A B C D E 在棱长为2的正方体中， 为的中点，在上．‎ ‎（1）若，求的长；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ A B C D E x z y 解 （1）以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，‎ 设,,当时，，即，解得，的长为1． ……………… 5分 ‎（2）平面的一个法向量为，由得，由得，令得，，所以平面的一个法向量为． ……………… 7分 易得平面的一个法向量为，…… 8分 设二面角的平面角为，则． …… 10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ 若数列的通项，实数满足且，为数列的前项和．‎ ‎（1）求证：当时，；‎ ‎（2）求证；‎ ‎（3）若，求证．‎ 证明（1）当时， ………………2分 ‎（2）由（1）得 ………………4分 所以 ‎ ‎ ……………6分 ‎（3）‎ 由（1）得 所以 ………8分 所以 ………10分 灌云高级中学2013届高三第二次质量调研数学科试题 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡上．‎ ‎1.______________ 2.______________ 3.______________ 4.______________‎ ‎5.______________ 6.______________ 7.______________ 8.______________ ‎ ‎9.______________ 10.______________ 11.______________ 12.______________ ‎ ‎13.______________ 14.______________ ‎ 二．解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ ‎18.（本小题满分16分）‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 数学II（附加题）‎ ‎21.【选做题】解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）‎ 已知矩阵，求直线在对应变换作用下得到的曲线方程．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，求过抛物线（为参数）的焦点且与直线（为参数）垂直的直线的普通方程．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ A B C D E 在棱长为2的正方体中， 为的中点，在上．‎ ‎（1）若，求的长；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 若数列的通项，实数满足且，为数列的前项和．‎ ‎（1）求证：当时，；‎ ‎（2）求证；‎ ‎（3）若，求证．‎