东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、 辽宁省实验中学）2019届高三第一次模拟 数学（理）

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东北三省三校 2019 届高三第一次模拟 （哈尔滨师大附中、东北师大附中、 辽宁省实验中学） 数学（理）试题 一、单选题 1．复数 的虚部是（ ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 【答案】D 【解析】先将复数进行化简得 ，得出答案. 【详解】 复数 = 所以虚部为-2 故选 D 【点睛】 本题主要考查了复数的化简，属于基础题. 2．集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先求出集合 ，再利用交集的定义得出答案. 【详解】 因为 可得 ，集合 ， 所以 故选 B 【点睛】 本题主要考查了交集的定义，属于基础题. 3．已知向量 的夹角为 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题，先求出 ，可得结果. 【详解】 所以 故选 C 【点睛】 本题主要考查了数列的运算，属于基础题. 4．设 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先利用 是单调递减的，得出 ；再利用 在 是单调递增的，得出 求得答案. 【详解】 因为 是单调递减的，且 ， 所以 ； 又因为 在 是单调递增的， ， 所以 综上， 故选 A 【点睛】 本题主要考查了指数函数和幂函数的性质，来比较大小，掌握函数的性质是解题的关键. 5．等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ） A．30 B．35 C．42 D．56 【答案】B 【解析】先根据题目已知利用公式求出公差 ， ，再利用求和公式得出结果. 【详解】 因为 是等差数列，所以 ， 所以公差 ， 根据求和公式 故选 B 【点睛】 本题主要考查了数列的求和以及性质，对于等差数列的公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题. 6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、 蛇、马、羊、猴、鸡、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼 物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取 礼物都满意，则选法有（ ） A．30 种 B．50 种 C．60 种 D．90 种 【答案】B 【解析】先分情况甲选牛共有 ，甲选马有 ，得出结果. 【详解】 若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10 中任意选，所以共有 若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10 中任意选，所以共有 所以共有 种 故选 B 【点睛】 本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题. 7．执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的 的值为 4，第二次输入的 的值为 5，记第一次 输出的 的值为 ，第二次输出的 的值为 ，则 （ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】D 【解析】根据已知的程序框图，模拟程序的执行过程，可的结果. 【详解】 当输入 x 的值为 4 时， 第一次不满足 ，但是满足 x 能被 b 整除，输出 ； 当输入 x 的值为 5 时， 第一次不满足 ，也不满足 x 能被 b 整除，故 b=3 第二次满足 ，故输出 则 -1 故选 D 【点睛】 本题主要考查了程序框图，属于较为基础题. 8．如图，在直角坐标系 中，过坐标原点 作曲线 的切线，切点为 分别作 轴的垂线，垂 足分别为 ，向矩形 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先设出切点 ，利用切线过原点求出切点 P 的坐标，再用积分求出阴影部分的面积， 最后用几何概型求得结果. 【详解】 设切点 ， 所以切线方程 ，又因为过原点 所以 解得 所以点 P 因为 与 轴在 围成的面积是 则阴影部分的面积为 而矩形 的面积为 故向矩形 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 故选 A 【点睛】 本题主要考查了几何概型，但是解题的关键是在于对于切点和积分的运用是否熟练，属于中档题. 9．已知 是不重合的平面， 是不重合的直线，则 的一个充分条件是（ ） A． ， B． ， C． ， ， D． ， ， 【答案】C 【解析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当 ， ，得出 ，再 得出 ，得 出答案. 【详解】 对于答案 A： ， ，得出 与 是相交的或是垂直的，故 A 错； 答案 B： ， ，得出 与 是相交的、平行的都可以，故 B 错； 答案 C： ， ，得出 ，再 得出 ，故 C 正确； 答案 D: ， ， ，得出 与 是相交的或是垂直的，故 D 错 故选 C 【点睛】 本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关 键所在，属于较为基础题. 10．双曲线 的左焦点为 ，点 的坐标为 ，点 为双曲线右支上 的动点，且 周长的最小值为 8，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】先根据双曲线的定义求出 ，然后据题意 周长的最小值是当 三点共 线，求出 a 的值，再求出离心率即可. 【详解】 由题易知双曲线的右焦点 ，即 ， 点 P 为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知 所以 周长为： 当点 共线是，周长最小 即 解得 故离心率 故选 D 【点睛】 本题主要考查了双曲线的定义和性质，熟悉性质和图像是解题的关键，属于基础题. 11．各项均为正数的等比数列 的前 项和 ，若 ， ，则 的最小值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【解析】由题意，根据等比中项得出 ，然后求得公比 首项 ，再利用公式求 得 ，通项 带入用基本不等式求最值. 【详解】 因为 ，且等比数列 各项均为正数，所以 公比 首项 所以 ，通项 所以 当且紧当 所以当 时， 的最小值为 8 故选 C 【点睛】 本题考查了等比数列的通项、求和以及性质，最后还用到基本不等式，属于小综合题型，属于中档 题，需要注意的是利用基本不等式要有三要素“一正、二定、三相等”. 12． 中， ， ， ， 中， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，建立直角坐标系，设点 D 的坐标 ，然后分析点 D 的位置，利用直线的夹 角公式，求得点 D 的轨迹方程为圆的一部分，然后利用圆的相关知识求出最大最小值即可. 【详解】 由题，以点 B 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴建立直角坐标系； 设点 ，因为 ，所以由题易知点 D 可能在直线 AB 的上方，也可能在 AB 的下方； 当点 D 可能在直线 AB 的上方； 直线 BD 的斜率 ；直线 AD 的斜率 由两直线的夹角公式可得： 化简整理的 可得点 D 的轨迹是以点 为圆心，半径 的圆，且点 D 在 AB 的上方，所以是圆在 AB 上 方的劣弧部分； 此时 CD 的最短距离为： 当当点 D 可能在直线 AB 的下方； 同理可得点 D 的轨迹方程： 此时点 D 的轨迹是以点 为圆心，半径 的圆，且点 D 在 AB 的下方，所以是圆在 AB 下方 的劣弧部分； 此时 CD 的最大距离为： 所以 CD 的取值范围为 【点睛】 本题主要考察了直线与圆的综合知识，建系与直线的夹角公式是解题的关键，属于难题. 二、填空题 13．已知 满足约束条件： ，则 的最大值是______． 【答案】3 【解析】根据约束条件，画出可行域，再求出 与 的交点，带入求出答案. 【详解】 满足约束条件： ，可行域如图： 解得 由题，当目标函数 过点 A 时取最大值， 即 故答案为 3 【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划，画出可行域是解题的关键，属于基础题. 14．甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”， 如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_____． 【答案】乙 【解析】根据题意，假设结论，根据他们所说的话推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出答案. 【详解】 假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会； 假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意， 假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾； 故答案是乙 【点睛】 本题主要考查了推理证明，属于基础题. 15．已知函数 是定义域为 的偶函数，且 为奇函数，当 时， ， 则 __． 【答案】 【解析】先由题意， 是定义域为 的偶函数，且 为奇函数，利用函数的奇偶性 推出 的周期 ，可得 ，然后带入求得结果. 【详解】 因为 为奇函数，所以 又因为 是定义域为 的偶函数，所以 即 所以 的周期 因为 所以 故答案为 【点睛】 本题主要考查了函数的性质，函数性质的变形以及公式的熟记是解题的关键，属于中档题. 16．四面体 中， 底面 ， ， ，则四面体 的外接球的 表面积为____． 【答案】 【解析】根据题意，证明出 CD 平面 ABC，从而证明出 CD AC，然后取 AD 的中点 O，可得 OC=OA=OB=OD，求出 O 为外接球的球心，然后求得表面积即可. 【详解】 由题意 ， 可得 BC CD， 又因为 底面 ，所以 AB CD，即 CD 平面 ABC，所以 CD AC 取 AD 的中点 O，则 OC=OA=OB=OD 故点 O 为四面体 外接球的球心，因为 所以球半径 故外接球的表面积 故答案为 【点睛】 本题主要考查了三棱锥的外接球知识，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题. 三、解答题 17．设函数 . （1）当 时，求函数 的值域； （2） 中，角 的对边分别为 ，且 ， ， ，求 的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）先将函数 利用和差角、降幂公式、辅助角公式进行化简得 ，再根据 x 的取值，求得值域； （2）根据第一问求得角 A ，再根据正弦定理求得角 B，然后再求得角 C 的正弦值和边 b，利用 面积公式求得面积. 【详解】 （Ⅰ） ∵ ，∴ ∴ ∴函数 的值域为 ． （Ⅱ）∵ ∴ ∵ ，∴ ，∴ ，即 由正弦定理， ，∴ ∴ ， ，∴ ∴ 【点睛】 本题主要考查了三角函数综合和解三角形，解题的关键是在于三角恒等变化公式的利用（和差角、 降幂、辅助角公式的合理利用）以及正弦定理的变化应用，属于较为基础题. 18．世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达 6 亿，高中生和大学生的近视 率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学 一年级 200 名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据： 每周累积户外 暴露时间（单 位：小时） 不少于 28 小 时 近视人数 21 39 37 2 1 不近视人数 3 37 52 5 3 （1）在每周累计户外暴露时间不少于 28 小时的 4 名学生中，随机抽取 2 名，求其中恰有一名学生 不近视的概率； （2）若每周累计户外暴露时间少于 14 个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完 成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为不足够的 户外暴露时间与近视有关系？ 近视 不近视 足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间 附: P 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)见解析 【解析】(1)根据题意，时间不少于 28 小时的 4 名学生中，近视 1 名，不近视 3 名，所以恰好一名 近视： ，4 名学生抽 2 名共有： ，然后求得其概率. (2)先根据表格得出在户外的时间与近视的人数分别是多少，完成联表，然后根据公式求得 的观测值 ，得出结果. 【详解】 （Ⅰ）设“随机抽取 2 名，其中恰有一名学生不近视”为事件 ，则 故随机抽取 2 名，中恰有一名学生不近视的概率为 . （Ⅱ）根据以上数据得到列联表： 近视 不近视 足够的户外暴露时间 40 60 不足够的户外暴露时间 60 40 所以 的观测值 ， 故能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系. 【点睛】 本题主要考查了概率和统计案例综合，属于基础题. 19．如图，在三棱锥 中， 与 都为等边三角形，且侧面 与底面 互相垂直， 为 的中点，点 在线段 上，且 ， 为棱 上一点. （1）试确定点 的位置，使得 平面 ； （2）在（1）的条件下，求二面角 的余弦值. 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】(1)根据题意，延长 交 于点 ，要使得 平面 ；即 ，然后确定出点 E 的 位置即可； (2)建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，然后根据二面角的夹角公式求得余弦值即可. 【详解】 （Ⅰ）在 中，延长 交 于点 ， , 是等边三角形 为 的重心 平面 , 平面 ， ,即点 为线段 上靠近点 的三等分点 （Ⅱ）等边 中， ， ， ，交线为 ， 如图以 为原点建立空间直角坐标系 点 在平面 上，所以二面角 与二面角 为相同二面角. 设 ,则 ， 设平面 的法向量 ，则 即 ，取 ，则 又 平面 ， , 则 , 又二面角 为钝二面角，所以余弦值为 . 【点睛】 本题主要考查了立体几何，熟练线面之间的平行、垂直的判定定理和性质定理是证明的关键，以及 求出平面的法向量是解决第二问的关键，属于中档题. 20．已知椭圆 ： 的左、右两个顶点分别为 ，点 为椭圆 上异于 的一个动点，设 直线 的斜率分别为 ，若动点 与 的连线斜率分别为 ，且 ，记动 点 的轨迹为曲线 . （1）当 时，求曲线 的方程； （2）已知点 ，直线 与 分别与曲线 交于 两点，设 的面积为 ， 的面积 为 ，若 ，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)由题意设 ， ，再表示出 得出 .然后求得结果. (2) 由题求出直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，然后分别与曲线 联 立，求得点 E、F 的纵坐标，然后再带入面积公式表示出 再利用函数的单调性求得范围. 【详解】 （Ⅰ）设 ，则 ， 因为 ，则 所以 ， 整理得 . 所以，当 时，曲线 的方程为 . （Ⅱ）设 . 由题意知， 直线 的方程为： ，直线 的方程为： . 由（Ⅰ）知，曲线 的方程为 ， 联立 ，消去 ，得 ，得 联立 ，消去 ，得 ，得 设 则 在 上递增 又 ， 的取值范围为 【点睛】 本题主要考查了圆锥曲线的综合，审题仔细以及计算细心是解题的关键，属于较难题. 21．已知 （ 为自然对数的底数）， . （1）当 时，求函数 的极小值； （2）当 时，关于 的方程 有且只有一个实数解，求实数 的取值范 围. 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】(1)由题意，当 时 ，然后求导函数，分析单调性求得极值； (2)先将原方程化简，然后换元转化成 只有一个零点，再对函数进行 求导，讨论单调性，利用零点存在性定理求得 a 的取值. 【详解】 （Ⅰ）当 时 ， 令 解得 递减 极小值 递增 （Ⅱ）设 ， 令 ， ， ，设 ， ， 由 得， ， 在 单调递增， 即 在 单调递增， ， ①当 ，即 时， 时， ， 在 单调递增, 又 ，故当 时，关于 的方程 有且只有一个实数解. ②当 ，即 时， ，又 故 ，当 时， ， 单调递减，又 ， 故当 时， ， 在 内，关于 的方程 有一个实数解 . 又 时， ， 单调递增， 且 ，令 ， , ,故 在 单调递增，又 故 在 单调递增，故 ，故 ，又 ，由零点存在定理可知， . 【点睛】 本题主要考查了导函数的应用，讨论单调性和零点的存在性定理是解题的关键点，属于难题. 如果函数 y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a).f(b)<0,那么，函数 y= f(x) 在区间(a,b)内有零点，即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)= 0 的根. 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的方程为 ， 以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 的极坐标方程； （2）曲线 与直线 交于 两点，若 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）先将曲线 的参数方程化为普通方程 ，然后再化为极坐标方程 ； （2）由题意，写出直线的参数方程，然后带入曲线的普通方程，利用韦达定理表示出 求得结果即可. 【详解】 （1）由题，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 化为普通方程为： 所以曲线 C 的极坐标方程： （2）直线 的方程为 ，的参数方程为 为参数)， 然后将直线 得参数方程带入曲线 C 的普通方程，化简可得： ， 所以 故 解得 【点睛】 本题主要考查了极坐标和参数方程的综合，极坐标方程，普通方程，参数方程的互化为解题的关键， 属于基础题. 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围； （2）设实数 为（1）中 的最大值，若实数 满足 ，求 的最小 值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由不等式性质 ，解出 a 的值即可； （2）先求得 m 的值，然后对原式配形，可得 再利用柯西不等式，得出结果. 【详解】 （1）因为函数 恒成立， 解得 ； （2）由第一问可知 ，即 由柯西不等式可得： 化简： 即 当且紧当： 时取等号， 故最小值为 【点睛】 本题主要考查了不等式选讲，不等式的性质以及柯西不等式，熟悉柯西不等式是解题的关键，属于 中档题. 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org