高中数学 1_5_3 定积分的概念同步练习 新人教A版选修2-2

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高中数学 1_5_3 定积分的概念同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 ‎1.5.3‎ 定积分的概念 一、选择题 ‎1.定积分(-3)dx等于(  )‎ A.-6         B.6‎ C.-3 D.3‎ ‎[答案] A ‎[解析] 由积分的几何意义可知(-3)dx表示由x=1,x=3,y=0及y=-3所围成的矩形面积的相反数,故(-3)dx=-6.‎ ‎2.定积分f(x)dx的大小(  )‎ A.与f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关 B.与f(x)有关,与区间[a,b]以及ξi的取法无关 C.与f(x)以及ξi的取法有关,与区间[a,b]无关 D.与f(x)、区间[a,b]和ξi的取法都有关 ‎[答案] A ‎[解析] 由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知A正确.‎ ‎3.下列说法成立的个数是(  )‎ ‎①f(x)dx=(ξi) ‎②f(x)dx等于当n趋近于+∞时,f(ξi)·无限趋近的值 ‎③f(x)dx等于当n无限趋近于+∞时,(ξi)无限趋近的常数 ‎④f(x)dx可以是一个函数式子 A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ ‎[答案] A ‎[解析] 由f(x)dx的定义及求法知仅③正确,其余不正确.故应选A.‎ ‎4.已知f(x)dx=56,则(  )‎ A.f(x)dx=28 B.f(x)dx=28‎ C.‎2f(x)dx=56 D.f(x)dx+f(x)dx=56‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由y=f(x),x=1,x=3及y=0围成的曲边梯形可分拆成两个:由y=f(x),x=1,x=2及y=0围成的曲边梯形知由y=f(x),x=2,x=3及y=0围成的曲边梯形.‎ ‎∴f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx 即f(x)dx+f(x)dx=56.‎ 故应选D.‎ ‎5.已知f(x)dx=6,则‎6f(x)dx等于(  )‎ A.6 B.6(b-a)‎ C.36 D.不确定 ‎[答案] C ‎[解析] ∵f(x)dx=6,‎ ‎∴在‎6f(x)dx中曲边梯形上、下底长变为原来的6倍,由梯形面积公式,知‎6f(x)dx=‎6‎f(x)dx=36.故应选C.‎ ‎6.设f(x)=则-‎1f(x)dx的值是(  )‎ ‎ [答案] D ‎[解析] 由定积分性质(3)求f(x)在区间[-1,1]上的定积分,可以通过求f(x)在区间[-1,0]与[0,1]上的定积分来实现,显然D正确,故应选D.‎ ‎7.下列命题不正确的是(  )‎ A.若f(x)是连续的奇函数,则 B.若f(x)是连续的偶函数,则 C.若f(x)在[a,b]上连续且恒正,则f(x)dx>0‎ D.若f(x)在[a,b)上连续且f(x)dx>0,则f(x)在[a,b)上恒正 ‎[答案] D ‎[解析] 本题考查定积分的几何意义,对A:因为f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等,故积分是0,所以A正确.对B:因为f(x)是偶函数,所以图象关于y轴对称,故图象都在x轴下方或上方且面积相等,故B正确.C显然正确.D选项中f(x)也可以小于0,但必须有大于0的部分,且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大.‎ ‎ [答案] B ‎9.利用定积分的有关性质和几何意义可以得出定积分-1[(tanx)11+(cosx)21]dx=‎ ‎(  )‎ A.2[(tanx)11+(cosx)21]dx B.0‎ C.2(cosx)21dx D.2‎ ‎[答案] C ‎[解析] ∵y=tanx为[-1,1]上的奇函数,‎ ‎∴y=(tanx)11仍为奇函数,而y=(cosx)21是偶函数,‎ ‎∴原式=-1(cosx)21dx=2(cosx)21dx.故应选C.‎ ‎10.设f(x)是[a,b]上的连续函数,则f(x)dx-f(t)dt的值(  )‎ A.小于零 B.等于零 C.大于零 D.不能确定 ‎[答案] B ‎[解析] f(x)dx和f(t)dt都表示曲线y=f(x)与x=a,x=b及y=0围成的曲边梯形面积,不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置.所以其值为0.‎ 二、填空题 ‎11.由y=sinx,x=0,x=,y=0所围成的图形的面积可以写成________.‎ ‎[答案]  ‎ ‎ [解析] 由定积分的几何意义可得.‎ ‎12.(2x-4)dx=________.‎ ‎[答案] 12‎ ‎[解析] 如图A(0,-4),B(6,8)‎ S△AOM=×2×4=4‎ S△MBC=×4×8=16‎ ‎∴(2x-4)dx=16-4=12.‎ ‎13.(2010·新课标全国理,13)设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N个点(xi,yi)(i=1,2,…,N).再数出其中满足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为________.‎ ‎[答案]  ‎[分析] 本题考查了几何概型、积分的定义等知识,难度不大,但综合性较强,很好的考查了学生对积分等知识的理解和应用,题目比较新颖.‎ ‎[解析] 因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知:f(x)dx是由直线x=0,x=1及曲线y=f(x)与x轴所围成的面积,又产生的随机数对在如图所示的正方形内,正方形面积为1,且满足yi≤f(xi)的有N1个点,即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点,所以用几何概型的概率公式得:f(x)在x=0到x=1上与x轴围成的面积为×1=,即f(x)dx=.‎ 三、解答题 ‎15.利用定积分的几何意义,说明下列等式.‎ ‎ [解析] (1)2xdx表示由直线y=2x,直线x=0,x=1,y=0所围成的图形的面积,如图所示,阴影部分为直角三角形,所以S△=×1×2=1,故2xdx=1.‎ ‎(2)-1dx表示由曲线y=,直线x=-1,x=1,y=0所围成的图形面积(而y=表示圆x2+y2=1在x轴上面的半圆),如图所示阴影部分,所以S半圆=,‎ ‎16.利用定积分的性质求dx.‎ ‎[解析] y=,y=sin3x均为[-1,1]上的奇函数,而对于f(x)=,‎ ‎∵f(-x)===-f(x),‎ 此函数为奇函数.‎ ‎∵S=·2=(i)2‎ ‎=·n(n+1)(2n+1)‎ ‎= ‎∴S=li = 即2x2dx=2×= ‎17.已知函数f(x)=),求f(x)在区间[-2,2π]上的积分.‎ ‎[解析] 由定积分的几何意义知 ‎=π2-4.‎ ‎18.利用定积分的定义计算xdx.‎ ‎[解析] (1)分割:将区间[a,b]n等分,则每一个小区间长为Δxi=(i=1,2,…,n).‎ ‎(2)近似代替:在小区间[xi-1,xi]上取点:ξi=a+(i=1,2,…,n).‎ Ii=f(ξi)·Δxi=·.‎ ‎(3)求和:In=(ξi)·Δxi ‎=· ‎= ‎= ‎= ‎=(b-a) ‎(4)求极限:xdx=liIn ‎=li (b-a) ‎=(b-a)=(b2-a2).‎ ‎ ‎
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