2014福州5月份质检理数试卷

2014福州5月份质检理数试卷

‎2014届福州市高三综合练习 数学(理科)试卷 ‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数(为虚数单位且)在复平面内对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.已知集合,,则“”是“”的( )‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.若,其中,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.函数的部分图象如下,其中正确的是( )‎ ‎ A B C D ‎ ‎5. 已知,n∈N※,如果执行右边的程序框图,那 么输出的等于( ) ‎ ‎ A.18.5‎ B.37‎ ‎ C.185 D.370‎ ‎6.已知函数的值域为,则满足这 样条件的函数的个数有( )个.‎ ‎ A.8 B‎.9 C.26 D.27‎ ‎7.设F1、F2分别为双曲线C:的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F‎1F2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M、N两点,且满足MAN=120o,‎ 则该双曲线的离心率为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设已知均为整数(),若和被除所得的余数相同,则称和对模同余,记为 ,若,且, 则的值可以是( )‎ A.2011 　 B.2012 　　 C.2013 　　D.2014 ‎ ‎9.如图,己知,∠AOB为锐角,OM平分∠AOB,点N为线段AB的中点,,若点P在阴影部分(含边界)内,则在下列给出的关于x、y的式子中,①x≥0,y≥0;②x－y≥0;③x－y≤0;④5x－3y≥0;⑤3x－5y≥0.满足题设条件的为( )‎ A.①②④ 　 B.①③④ 　　 C.①③⑤ 　　D.②⑤‎ ‎10.在密码理论中,“一次一密”的密码体系是理论上安全性最高的.某部队执行特殊任务使用四个不同的口令,每次只能使用其中的一种,且每次都是从上次未使用的三个口令中等可能地随机选用一种.设第１次使用口令,那么第5次也使用口令的概率是( )‎ A. B. 　　 C. 　　D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎11.在集合所表示的平面区域内任取一点M,则点M恰好取自轴上方的概率为___ _____.‎ ‎12.在△ABC中,AB＝2,D为BC的中点,若=,则 AC＝_____ __．‎ ‎13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体内切球的体积为 ‎ .‎ ‎14.若函数不存在零点,则实数的取值范围是 ．‎ ‎15.已知为定义在(0,+∞)上的可导函数,且恒成立,则不等式的解集为______ _____．‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分13分) ‎ 每年的三月十二日,是中国的植树节,林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,规定高于‎128厘米的树苗为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米): ‎ 甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133;‎ 乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.‎ ‎(Ⅰ)根据抽测结果,画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图,并根据 你填写的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出对两种 树苗高度的统计结论;‎ ‎ (Ⅱ)设抽测的10株甲种树苗高度平均值 为x,将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图),‎ 问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义;‎ ‎(Ⅲ)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植,用样本的频 率分布估计总体分布,求小王领取到的“良种树苗”的株数X的分布列.‎ ‎17. (本小题满分13分)‎ 在中,的对边分别是,已知,平面向量,‎ ‎,且.‎ ‎(Ⅰ)求△ABC外接圆的面积;‎ ‎(Ⅱ)已知O为△ABC的外心,由O向边BC、CA、AB引垂线,垂足分别为D、E、F,求 的值.‎ ‎18. (本小题满分13分)‎ 如图长方体中,底面ABCD是边长为1的正方形,‎ E为延长线上的一点且满足. ‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)当为何值时,二面角的大小为.‎ ‎19. (本小题满分13分) ‎ 已知椭圆C:( )的离心率为,点(1,)在椭圆C上.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程; ks5u ‎(Ⅱ) 若椭圆C的两条切线交于点M(4,),其中,切点分别是A、B,试利用结论:在椭圆上的点()处的椭圆切线方程是,证明直线AB恒过椭圆的右焦点;‎ ‎(Ⅲ)试探究的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由.‎ ‎20.(本题满分14分)‎ 已知函数(其中),为f(x)的导函数.‎ ‎(Ⅰ)求证:曲线y=在点(1,)处的切线不过点(2,0);‎ ‎(Ⅱ)若在区间中存在,使得,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)若,试证明:对任意,恒成立.‎ ‎21.(本题满分14分)‎ ‎(1)二阶矩阵A,B对应的变换对圆的区域作用结果如图所示.‎ ‎(Ⅰ)请写出一个满足条件的矩阵A,B;‎ ‎(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果,计算C=BA,并求出曲线在矩阵C对应的变换作用下的曲线方程.‎ ‎(2)已知曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴正方向建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(为参数). ks5u ‎(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;ks5u ‎(Ⅱ)设直线l与曲线交于、两点,点的直角坐标为(2,1),若,求直线l的普通方程.‎ ‎(3)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)解不等式:；‎ ‎(Ⅱ)当时, 不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎2014届福州市高三综合练习 数学(理)‎ 参考答案 ‎1-5 DABCA 6-10 BCABA ‎11. 12.1 13. 14. 15.{x|x>1}.‎ ‎16. 解:(1)茎叶图如图所示:(2分)‎ 甲 乙 ‎9‎ ‎0　1　3　5　9‎ ‎1　2　3　7‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎0　0　4‎ ‎6　7‎ ‎0‎ ‎4　6　6　7‎ 统计结论:①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;‎ ‎②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;‎ ‎③甲种树苗高度的中位数为127,乙种树苗高度的中位数为128.5;‎ ‎④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,乙种树苗的高度分布较为分散.………………………………………………4分(每写出一个统计结论得1分)‎ ‎(2)依题意,x＝127,S＝35. (6分)‎ S表示10株甲种树苗高度的方差,是描述树苗高度的离散程度的量.‎ S值越小,表示树苗长得越整齐,S值越大,表示树苗长得越参差不齐.‎ ‎(3)由题意可知,领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为,则X～B, (10分)‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎ 13分 ‎17. (1)由题意， ‎ 得 ………………………………………………2分 由于中,,………………………………3分 ‎∴ ………………………………………………………4分 ‎2R=-----------------------------------------6分 ‎(2)因为O为△ABC的外心,由O向边BC、CA、AB引垂线,垂足分别为D、E、F,‎ 所以,故=-----13分 解:(Ⅰ)如图所示建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),设,‎ 由于,所以,并且,E(1,1,),‎ ‎ ……………… 2分 ‎,,,‎ ‎,‎ 又,‎ ‎,平面 ……………… 6分 ‎(Ⅱ)，‎ 设平面的法向量为,则, 即,令,‎ 则,. ……………… 9分 平面,平面的法向量 ‎,即,解得…………… 12分 当时,二面角的大小为. ……………… 13分 ‎19.解:(Ⅰ)设椭圆C的方程为()‎ ‎①‎ 点(1,)在椭圆C上,②,‎ 由①②得:‎ 椭圆C的方程为， ……………… 4分 ‎(Ⅱ)设切点坐标,,则切线方程分别为,.‎ 又两条切线交于点M(4,),即,‎ 即点A、B的坐标都适合方程,显然对任意实数,点(1,0)都适合这个方程，‎ 故直线AB恒过椭圆的右焦点. ……………… 7分 ‎(Ⅲ)将直线的方程，代入椭圆方程,得 ‎,即 所以,……………… 10分 不妨设,,‎ 同理 所以==‎ 所以的值恒为常数.……………… 13分 ‎20.解:(Ⅰ)由得,,‎ 所以曲线y=在点(1,)处的切线斜率为,‎ ‎,曲线y=切线方程为,‎ 假设切线过点(2,0),代入上式得:,得到0=1产生矛盾,所以假设错误,‎ 故曲线y=在点(1,)处的切线不过点(2,0)…………4分 ‎(Ⅱ)由得 ‎,,所以在(0,1]上单调递减,故…………7分 ‎(Ⅲ)令,当=1时,,所以..‎ 因此,对任意,等价于.…………9分 由,.所以.‎ 因此,当时,,单调递增;时,,单调递减.‎ 所以的最大值为,故. …………12分 设,,所以时,单调递增,,‎ 故时,,即.‎ 所以.‎ 因此,对任意,恒成立 …………14分 ‎21.(1)解:(Ⅰ)由题意,二阶矩阵A对应的变换是横坐标不变,纵坐标变为原来一半的变换,故 二阶矩阵B对应的变换是逆时针旋转的旋转变换,故 …………4分 ‎(Ⅱ) C=BA=,‎ 设曲线上任意一点为,变换后的点坐标为 ‎,，故所求的曲线方程为 …………7分 ‎21.(2)解:(Ⅰ)由,得,,‎ 曲线的直角坐标方程是,即. …………3分 ‎(Ⅱ)设,,‎ 由已知,得 ① …………4分 联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程得:,‎ 整理得:,,与①联立得:‎ ‎,‎ 直线的参数方程为(为参数)或(为参数)‎ 消去参数的普通方程为或…………7分 ‎21.(3)解:(Ⅰ)原不等式等价于:‎ 当时,,即.‎ 当时,,即 当时,,即.‎ 综上所述,原不等式的解集为. …………4分 ‎(Ⅱ)当时,‎ ‎=‎ 所以 ……………7分