2020-2021学年高一数学单元知识梳理：三角函数

2020-2021学年高一数学单元知识梳理：三角函数

2020-2021 学年高一数学单元知识梳理：三角函数 1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角， 而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ ＋30°，k∈Z，这种表示法不正确． 2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sinα ＝ r y ≠sin×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆． 3．同角三角函数的基本关系式 sin2α＋cos2α＝1 及   cos sin ＝tanα，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函 数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平 方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定． 4．三角函数的诱导公式 诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用． (1)－α 角的三角函数是把负角转化为正角； (2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角； (3) 2  ±α，π±α， 2 3 ±α，2π－α 角的三角函数是化非锐角为锐角； (4)化负为正→化大为小→化为锐角； (5)记忆规律：奇变偶同，象限定号． 5．正弦函数、余弦函数的图象与性质 (1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制， 作出的图象要正规． (2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f(x＋T)＝f(x)应强调的是自变 量 x 本身加常数才是周期，如 f(2x＋T)＝f(2x)，T 不是 f(2x)的周期． 解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域． 6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公 式 tan(α±β)＝   tantan1 tantan   ，其变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)应用广泛； 公式 cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 的变形公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－ cos2α＝2sin2α，cos2α＝ 2 2cos1  ，sin2α＝ 2 2cos1  常用来升幂或降幂． 7．函数 y＝Asin(ωx＋φ) 主要掌握由函数 y＝sinx 的图象到函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的平移、伸缩等变换． 注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ 与各种变换的关系． 8．三角函数的应用 (1)根据图象建立解析式； (2)根据解析式作出图象； (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型； (4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟． 在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方 面来考虑． 一、三角函数变形的常见方法 在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统 一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点． 在本章所涉及的变形中，常用的变形方法有切化弦、弦化切和“1”的代换． 1．切化弦 当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形． 【典例 1】求证：sinα（1+tanα）+cosα（1+ 1 푡푎푛훼）= 1 푠푖푛훼 + 1 푐표푠훼． 【解析】证明：右边＝sinα（1+tanα）+cosα（1+ 1 푡푎푛훼） ＝sinα+ 푠푖푛2훼 푐표푠훼 +cosα+ 푐표푠2훼 푠푖푛훼 ＝sinα+ 1−푐표푠2훼 푐표푠훼 +cosα+ 1−푠푖푛2훼 푠푖푛훼 = 1 푠푖푛훼 + 1 푐표푠훼 =左边，得证． 2．弦化切 已知 tanα 的值，求关于 sinα，cosα 的齐次分式(sinα，cosα 的次数相同)的值，可将求值 式变为关于 tanα 的代数式，此方法亦称为“弦化切”． 【典例 2】已知 tan2  ，求下列代数式的值． （1） 4sin 2cos 5cos 3sin     ； （2） 22111sinsincoscos432 ． 【解析】（1） 4sin2cos4tan24226 5cos3sin3tan532511     ． （2） 22 22 111sinsincoscos432 sincos      2 2 111tantan432 tan1      2 22 11122432 1    13 30 【典例 3】已知 2cos2α+3cosαsinα﹣3sin2α＝1，α∈（− 3휋 2 ，﹣π），求： （1）tanα； （2）2푠푖푛훼−3푐표푠훼 4푠푖푛훼−9푐표푠훼． 【解析】∵2cos2α+3cosαsinα﹣3sin2α＝1，α∈（− 3휋 2 ，﹣π）， ∴cos2α+3cosαsinα﹣4sin2α＝0，∴1+3tanα﹣4tan2α＝0， 解得 tanα＝1（舍）或 tanα= − 1 4．∴tanα= − 1 4． （2）2푠푖푛훼−3푐표푠훼 4푠푖푛훼−9푐표푠훼 = 2푡푎푛훼−3 4푡푎푛훼−9 = 2×(−1 4)−3 4×(−1 4)−9 = − 7 20 3．“1”的代换 在三角函数中，有时会含有常数 1，常数 1 虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却 需要利用三角函数公式将 1 代换为三角函数式，常见的代换方法：1＝sin2α＋cos2α 等． 【典例 4】已知 tan2α＝2tan2β+1，求证：sin2β＝2sin2α﹣1． 【解答】∴tan2α＝2tan2β+1， tan2α+1＝2（tan2β+1） 即푠푖푛2훼+푐표푠2훼 푐표푠2훼 =2푠푖푛2훽+푐표푠2훽 푐표푠2훽 ， 可得： 1 푐표푠2훼 = 2 푐표푠2훽 可得：cos2β＝2cos2α ∴1﹣sin2β＝2（1﹣sin2α） 即 sin2β＝2sin2α﹣1，得证． 二、求三角函数值域与最值的常见类型 求三角函数的值域或最值主要依据是利用三角函数的图象或三角函数的有界性，这就要 求我们必须掌握好三角函数的图象和性质． 1．形如 y＝asinx＋b(a≠0)型的函数 求解形如 y＝asinx＋b(或 y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数 的有界性(－1≤sinx，cosx≤1)求解，注意对 a 正、负的讨论． 【典例 5】已知 y＝asinx+b 的最大值为 3，最小值为﹣1，求 a，b 的值． 【解答】解：∵y＝αsinx+b 的最大值为 3，最小值为﹣1， ∴当 a＞0 时，{푎 + 푏 = 3 −푎 + 푏 = −1，解得 a＝2，b＝1； 当 a＜0 时，{−푎 + 푏 = 3 푎 + 푏 = −1，解得 a＝﹣2，b＝1． ∴a＝±2，b＝1． 【典例 6】已知函数 y＝3﹣4cos（2x+ 휋 3）， x∈[− 휋 3，휋 6]，求该函数的最大值，最小值及相应的 x 值． 【解析】函数 y＝3﹣4cos（2x+ 휋 3），由于 x∈[− 휋 3，휋 6]， 所以：−휋 ≤ 2푥 + 휋 3 ≤ 2휋 3 当 x＝0 时，函数 ymin＝﹣1 当 x＝﹣π 时，函数 ymax＝7 2．形如 y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型的函数 求解形如 y＝asin2x＋bsinx＋c(或 y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D 的函数的值域或最值时， 通过换元，令 t＝sinx(或 cosx)，将原函数转化为关于 t 的二次函数，利用配方法求值域 或最值即可．求解过程中要注意 t＝sinx(或 cosx)的有界性． 【典例 7】求函数 y＝sin2x+2cosx(휋 3 ≤ 푥 ≤ 2휋 3 )的最大值和最小值． 【解析】函数的解析式：y＝sin2x+2cosx＝﹣cos2x+2cosx+1， ∵휋 3 ≤ 푥 ≤ 2휋 3 ，∴− 1 2 ≤ 푐표푠푥 ≤ 1 2， 结合复合型二次函数的性质可得： 二次函数开口向下，对称轴为 cosx＝1， 则函数的最小值为：−(− 1 2)2 + 2 × (− 1 2) + 1 = − 1 4； 则函数的最大值为：−(1 2)2 + 2 × 1 2 + 1 = 7 4． 三、三角函数的化简 在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找 到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果应为：(1) 能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、 根号下尽量不含三角函数． 【典例 8】（2020·驻马店市基础教学研究室高一期末（理））化简求值： （1） sin 7 sin8 cos15 cos7 sin8 sin15         ； （2） 4cos70 tan 20 . 【解析】（1） sin 7sin8cos15 cos7sin8sin15         sin158sin8cos15 cos158sin8sin15      sin15 cos8 cos15 cos8     ta n 45 30    tan 45 tan30 1 tan 45 tan30       31 3 311 3    23 . （2） 4cos70 tan 20  4cos70cos 20sin 20 cos 20    4sin 20cos 20sin 20 cos 20     2sin40sin20 cos 20    2cos50sin5030 cos 20     33sin50cos5022 cos 20      3sin5060 cos 20    3 . 四、三角函数求值 三角函数求值主要有三种类型，即： (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这 类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱 导公式． (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求 值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的 范围． (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出 角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． 【典例 9】已知 cosα  3 12 5 13cos，    ，且 0＜β＜α 2 ＜ ， （1）求 tan2α 的值； （2）求 cosβ． 【解析】（1）∵cosα  312 513cos，  ，且 0＜β＜α 2 ＜ ， ∴sinα 2 41 5c o s    ，tanα 4 3 sin c os  ，∴tan2α 2 2 2 4 17 ta n ta n   ． （2）∵cos （α﹣β） 12 13 ，0＜β＜α ，∴sin（α﹣β）  2 51 13cos     ， cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β） 3124556 51351365 ． 五、三角恒等证明 三角恒等式的证明，就是应用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三角恒等式两端结 构上的差异，这些差异有以下几方面：①角的差异；②三角函数名称的差异；③三角函 数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化． 【典例 10】求证： tansintansin tansintansin    . 【解析】 ∵右边＝     22222tansintantancos tansintansintansintansin        22tan1cos tansintansin        22tan sin tan sin tan sin       tansin tansin    ＝左边， ∴原等式成立. 六、三角函数的图象 三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的 考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观 察来讨论函数的有关性质． 【典例 11】如图，是函数 y＝Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0）的一段图象． （1）求此函数解析式； （2）分析一下该函数是如何通过 y＝sinx 变换得来的？ 【解答】解：（1）由图象知 A= − 1 2 −（﹣1）= 1 2，k= −1 2+(−3 2) 2 = −1， T＝2×（2휋 3 − 휋 6）＝π，∴ω= 2휋 푇 =2，∴y= 1 2sin（2x+φ）﹣1． 再由五点法作图可得 当 x= 휋 6时，2× 휋 6 +φ= 휋 2， ∴φ= 휋 6，∴所求函数解析式为 y= 1 2sin（2x+ 휋 6）﹣1． （2）把 y＝sinx 向左平移휋 6个单位，得到 y＝sin（x+ 휋 6）； 然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的1 2，得到 y＝sin（2x+ 휋 6）； 再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 1 2得到 y= 1 2sin（2x+ 휋 6）； 最后把函数 y= 1 2sin（2x+ 휋 6）的图象向下平移 1 个单位，得到 y= 1 2sin（2x+ 휋 6）﹣1 的图象． 七、三角函数的性质 1．三角函数的性质，重点应掌握函数 y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx 的定义域、值域、单 调性、奇偶性、周期性，在此基础上，掌握函数 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及 y ＝Atan(ωx＋φ)的相关性质． 2．该热点是三角函数的重中之重，考查的形式也不唯一，主、客观题均有体现，在难 度上较前两热点有所增加，主观题以中档题为主，知识间的联系相对加大． 【典例 12】已知函数 f（x）＝logacos（2x− 휋 3）（其中 a＞0，且 a≠1）． （1）求它的定义域； （2）求它的单调区间； （3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期． 【解答】（1）解푐표푠(2푥 − 휋 3)＞0得，− 휋 2 + 2푘휋＜2푥 − 휋 3 ＜ 휋 2 + 2푘휋，푘 ∈ 푍； ∴− 휋 12 + 푘휋＜푥＜ 5휋 12 + 푘휋，푘 ∈ 푍； ∴f（x）的定义域为(− 휋 12 + 푘휋， 5휋 12 + 푘휋)，푘 ∈ 푍； （2）设푡 = 푐표푠(2푥 − 휋 3)，g（t）＝logat； 解− 휋 2 + 2푘휋＜2푥 − 휋 3 ≤ 0 + 2푘휋得，− 휋 12 + 푘휋＜푥 ≤ 휋 6 + 푘휋，k∈Z； 解0 + 2푘휋＜2푥 − 휋 3 ＜ 휋 2 + 2푘휋得，휋 6 + 푘휋＜푥＜ 5휋 12 + 푘휋，푘 ∈ 푍； ∴t= 푐표푠(2푥 − 휋 3)在(− 휋 12 + 푘휋， 휋 6 + 푘휋]上单调递增，在(휋 6 + 푘휋， 5휋 12 + 푘휋)上单调递减； ①若 a＞1，则 g（t）为增函数； ∴f（x）的单调增区间为(− 휋 12 + 푘휋， 휋 6 + 푘휋]，k∈Z，单调减区间为(휋 6 + 푘휋， 5휋 12 + 푘휋)，k∈Z； ②若 0＜a＜1，则 g（t）为减函数； ∴f（x）的单调递增区间为(휋 6 + 푘휋， 5휋 12 + 푘휋)，푘 ∈ 푍，单调减区间为(− 휋 12 + 푘휋， 휋 6 + 푘휋]，푘 ∈ 푍； （3）f（x）的定义域不关于原点对称，∴为非奇非偶函数； （4）푦 = 푐표푠(2푥 − 휋 3)为周期函数，周期为 π； ∴f（x）为周期函数，周期为 π．