2019-2020学年山西大学附中高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年山西大学附中高一上学期12月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山西大学附中高一上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集，，，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出，再求即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由已知，，‎ 所以，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的并集，补集的运算，是基础题．‎ ‎2．函数的定义域为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可得,需满足,解出不等式即可 ‎【详解】‎ 要使有意义,则,解得,‎ ‎∴的定义域为 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查函数定义域的定义及求法,对数函数的定义域,考查了计算能力,属于基础题 ‎3．与函数y=x-1表示同一个函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别判断函数的定义域是否是R，以及对应法则是否和y=x-1相同即可．‎ ‎【详解】‎ 解：A函数的定义域为（1，+∞），与y=x-1的定义域不相同，不是同一函数．‎ B.=x-1，函数的定义域为{x|x≠-1}，与y=x-1的定义域不相同，不是同一函数．‎ C.=x-1，两个函数的定义域相同，表达式相同是同一函数．‎ D.=x-1，函数的定义域为[1，+∞），两个函数的定义域不相同，不是同一函数．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同一函数的判断，结合函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键．‎ ‎4．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，‎ 得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），‎ ‎∴b=0，∴a+b=．故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．‎ ‎5．已知x0是函数f（x）=lnx-（x＞0）的一个零点，若x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞）则（　　）‎ A．, B．,‎ C．, D．,‎ ‎【答案】A ‎【解析】先确定f（x）的单调性，从而求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）＝lnx（x＞0），y= lnx与y=在x＞0上都是增函数，‎ ‎∴f（x）单调递增．‎ ‎∵已知x0是函数f（x）＝lnx（x＞0）的一个零点，若x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），‎ ‎∴f（x1）＜0，f（x2）＞0．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了单调性的应用，属于基础题．‎ ‎6．设为定义的实数集上的偶函数，且在上是增函数，，则的解集为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的奇偶性和在上的单调性，求得以及在的单调性，由此列不等式，解不等式求得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 因为为偶函数，所以，又在上是增函数，故在上是减函数.所以，所以 ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.‎ ‎7．某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在之间，他用二分法操作了7次得到了方程 的近似解，那么该近似解的精确度应该为（ ）‎ A．0.1 B．0.01 C．0.001 D．0.0001‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，则用计算器作出的对应值表：‎ 由表格数据知，用二分法操作次可将作为得到方程的近似解，，，近似解的精确度应该为0.01，故选B.‎ ‎8．已知函数，则方程实根的个数为（ ）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【答案】C ‎【解析】对分类讨论：当时，显然可知有一实根；当时，方程可化为或，构造函数，画出函数图象，把方程问题转换为函数交点问题即可．‎ ‎【详解】‎ 当时，，，‎ ‎∴有一实根；‎ 当时，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴或|，‎ 分别画出函数以及，的图象如图，‎ 由图可知共有3个交点，故实根的个数为4个，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数零点的个数即等价于函数和图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．‎ ‎9．已知函数 , 若有四个互不相等的实数根,且. 则的取值范围是(  ).‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出函数f（x）的图象，根据方程有四个互不相等的实数根，得到与、与的关系，代入所求，将所求用a表示，然后计算即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 作出的图像如图：‎ 若有四个互不相等的实数根,且，则0＜a＜1，‎ 且是的两个根，=4，=4-a，‎ 且=，即-)=)，‎ ‎∴))=1，∴=0，‎ ‎∴所求==4-a，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数交点个数的应用，考查了二次方程韦达定理的应用及对数运算，利用数形结合确定四个根之间的关系是解决本题的关键，属于难题.‎ ‎10．如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据条件将问题转化为方程在上有解的问题即可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 函数为“可拆分函数”，‎ 存在实数，使成立，‎ 方程在上有解，‎ 即在上有解，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 的取值范围为：．‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．‎ 二、填空题 ‎11．设，若，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎．‎ ‎【考点】指数式与对数式的综合运算．‎ ‎12．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，对分成两种情况，结合二次函数的性质、对数函数的定义域、单调性进行分类讨论，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 令，‎ 当时，在上为减函数，则解得；‎ ‎②当时，在上为减函数，此时不成立.‎ 综上，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎13．已知，则的取值范围__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】考查幂函数为偶函数，且在上是减函数，在上是增函数，即可求得的范围.‎ ‎【详解】‎ 幂函数当时为偶函数，‎ 在上是减函数，在上是增函数，‎ 所以有，‎ 两边平方整理得，‎ 解得，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的性质，以及解不等式，属于基础题.‎ ‎14．已知函数，若关于的方程恰有三个实根，则实数的取值范围为__________.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】对三个零点的分布情况，结合绝对值函数以及一元二次函数的图象和性质，对分类讨论，并利用数形结合进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 当时，最多有两个零点，‎ 当时，最多有两个零点，‎ 则要使恰有三个实根，‎ 则当时，有两个零点，时有一个零点，‎ 或当时，有一个零点，时有两个零点，‎ ‎①若当时，有两个零点，则，‎ 得，即，‎ 此时当时只能有一个零点，‎ 需，‎ 即，得，‎ 此时；‎ ‎②若当时，有一个零点，此时，‎ 即时，‎ 此时当时，函数的对称轴，‎ 要使时有两个零点，则 即，得舍或，此时，‎ 综上实数的取值范围是或.，‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点求参数，正确做出函数的图像是解题的关键，考查数形结合思想，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎15．某商品在最近100天内的单价与时间t的函数关系是，日销售量与时间t的函数关系是求该商品的日销售额的最大值日销售额日销售量单价 ‎【答案】这种商品日销售额的最大值为，此时．‎ ‎【解析】由已知中销售单价与时间的函数，及销售量与时间的函数，结合销售额为，我们可以求出销售额为的函数解析式，再利用“分段函数分段处理”的原则，分别求出每一段上函数的最大值，即可得到商品日销售额的最大值．‎ ‎【详解】‎ 由已知销售价，‎ 销售量，‎ 日销售额为，‎ 即当时，，‎ 此函数的对称轴为，又，‎ 最大值为；‎ 当时，，‎ 此时函数的对称轴为，最大值为．‎ 由，可得这种商品日销售额的最大值为，此时．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是分段函数的解析式求法，函数的值域，二次函数的性质，其中根据日销售额为，得到销售额为的函数解析式，是解答本题的关键．‎ ‎16．（1）求值：；‎ ‎（2）已知，，试用表示.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据有理指数幂的运算性质可得；‎ ‎（2）利用对数的换底公式变形，含有，的代数式得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式 ‎；‎ ‎（2）.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分式指数幂的运算，以及对数运算，要熟练掌握计算公式，属于基础题.‎ ‎17．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明证明其在该区间上的单调性；‎ ‎（3）解关于的不等式.‎ ‎【答案】(1)；(2) ；详见解析（3）‎ ‎【解析】（1）根据是定义在上的奇函数及时的解析式即可得出，并可求出，从而可得出，求出；（2）根据上面知，时，，从而可设，从而得出，从而得出时，，再根据函数单调性的定义即可判断在上的单调性.（3）不等式等价于，即，解不等式组即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数是定义在上的奇函数，‎ ‎，即，，‎ 又因为（2），所以（2），‎ 即，所以，‎ 综上可知，.经检验满足题意.‎ ‎（2）由（1）可知当时，，‎ 当时，，且函数是奇函数，‎ ‎，‎ 当时，函数的解析式为，‎ 任取，，且，则，‎ ‎，，且，‎ ‎，，，‎ 于是，即，‎ 故在区间上是单调增函数；‎ ‎（3）是定义在上的奇函数，且，‎ ‎，且在上是增函数，‎ ‎，解得，‎ 原不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数的定义及应用，求奇函数在对称区间上的解析式的方法，以及函数的单调性的判定和应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．‎ ‎18．已知函数（且）.‎ ‎（1）判断的奇偶性并证明；‎ ‎（2）若，是否存在，使在的值域为？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）奇函数；证明见解析；（2）存在，.‎ ‎【解析】（1）求出函数的定义域，然后利用奇偶性的定义验证函数的奇偶性；‎ ‎（2）由，可得出，利用复合函数可分析出函数在区间上为减函数，由题意得，于是得出关于的方程 在区间上有两解，即关于的方程在上有两个不等的实根，然后结合二次函数的图象列出关于的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数是奇函数；证明如下：‎ 由解得或，所以，函数的定义域为，关于原点对称．‎ ‎，‎ 因此，函数为奇函数；‎ ‎（2）由题意知，，且，.‎ 令在上为增函数，‎ 而函数为减函数，所以，函数在上为减函数，‎ 假设存在，使得题意成立，则函数在上为减函数，‎ 则有，即，．‎ 所以、是方程的两正根，‎ 整理得在有个不等根和，由韦达定理得，则.‎ 令，则函数在有个零点，‎ 则，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数型函数的奇偶性，同时也考查了利用函数的值域求参数，解题的关键就是利用函数的单调性将问题转化为二次函数的零点个数问题，一般求解时分析二次函数的图象的开口方向、对称轴、判别式以及端点（与零点比较大小的数）的函数值符号，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎19．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．‎ ‎（1）若函数为奇函数，求实数的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；‎ ‎（3）若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求解实数的值．（2）求出函数在区间上的值域为，结合新定义，即可求得结论；（3）由题意得函数在上是以为上界的有界函数，即在区间上恒成立，可得上恒成立，求出左边的最大值右边的最小值，即可求实数的范围．‎ 试题解析：（1）因为函数为奇函数，‎ 所以，即，‎ 即，得，而当时不合题意，故．‎ ‎（2）由（1）得：，‎ 而，易知在区间上单调递增，‎ 所以函数在区间上单调递增，‎ 所以函数在区间上的值域为，所以，‎ 故函数在区间上的所有上界构成集合为．‎ ‎（3）由题意知，在上恒成立，‎ ‎，．‎ ‎∴在上恒成立．‎ ‎∴‎ 设，，，由，得．‎ 易知在上递增，‎ 设，，‎ 所以在上递减，‎ 在上的最大值为，在上的最小值为，‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义；函数的奇偶性的性质；函数的恒成立问题的求解．‎ ‎【方法点晴】‎ 本题主要考查了与函数的性质相关的新定义问题，同时考查了函数的奇偶性及其应用、函数的最值及意义、函数的恒成立问题的的求解的综合应用，着重考查了换元法和转化的思想方法，涉及知识面广，难度较大．‎