河北省保定市唐县第一中学2020届高三1月寒假调研考试数学（理）答案

河北省保定市唐县第一中学2020届高三1月寒假调研考试数学（理）答案

数学试题答案（理科）‎ 一.选择题： DA CDA BDA CC BA 二.填空题：13. -6. 14. ‎ ‎ 15. 16. ‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（10分）‎ 解：（1） 所以，‎ 因为 …………………………2分 又，…………………3分 ‎ ……………………4分 ‎ ……………………5分 ‎（2）因为，即 所以B=…………………………………………6分 法1. 由余弦定理，得 ‎,……………………8分 即,即，（当且仅当a=c时取等号）‎ 所以周长的最大值为…………………………………………10分 法2. 由正弦定理可知，‎ ‎,,……………………7分 所以,‎ 又,………9分 所以当时，‎ 所以周长的最大值为………………………………………10分 ‎18． 解：(1) 数列不是等比数列. ……………………1分 理由如下：‎ 由且得：‎ 所以 又因为数列为等比数列，‎ 所以可知其首项为4,公比为2. ……………………3分 所以 显然 故数列不是等比数列……………………5分 ‎（2）结合（1）知，等比数列的首项为4,公比为2. ‎ 故 ‎ 所以……………………7分 因为 ‎ ‎ ‎ 令 累加得, ‎ ‎ ……………………11分 又满足上式 ‎……………………12分 ‎19．（ 12分）‎ ‎（1）证明：取的中点，的中点，连接.‎ 因为，且平面平面，‎ 所以平面，同理平面，……………………2分 所以AO∥FG， 又因为，‎ 所以四边形为平行四边形，所以AG∥OF，AG∥平面BCF，……………3分 又DE∥BC，DE∥平面BCF ，‎ B C D F E O G x y z A M 又因为AG和 DE交于点G 所以平面ADE∥平面BCF. ………………5分 ‎（2）法1：连结GO，则GO⊥BC, 又 所以∠GOA为二面角D-BC-A的平面角，‎ 所以∠GOA=150°……………………6分 建立如图所示的空间直角坐标系，则, , ， ‎ 所以……………………8分 设平面的一个法向量是，则，即 令，即……………………10分 又因为 所以 即所求的角的正弦值为………………………………………12分 法2：连结GO，则GO⊥BC, 又 所以∠GOA为二面角D-BC-A的平面角，‎ 所以∠GOA=150°……………………6分 因为BC⊥GO，BC⊥AO 所以BC⊥平面AOG 所以平面ADE⊥平面AOG,，且交线为AG 又因为OG∥BD，所以OG与平面ADE所成的角即为所求 过O在平面AOG中做OM⊥AG于M，则OM⊥平面ADE 所以∠OGM即为所求的角……………………9分 因为，即 所以，所以 所以sin∠OGM=……………………12分 ‎20.（12分） ‎ 解（1）依题意得，解得…………3分 椭圆的方程为．………………4分 ‎（2）易知直线的斜率存在，并设直线方程为，将其代入，‎ 化简得，……………………6分 设、‎ ‎，‎ 且……………………8分 依题意可知， ‎ 即，‎ ‎　．……………………10分 将代入上式得 化简得，所以 故所求的直线方程为……………………………………12分 ‎21．（12分）‎ 解： (1) ,…………①‎ 所以即…… ②‎ 由①②联立解得: . ……………………………………………3分 ‎(2)设,‎ ‎,‎ 依题意知:当时, ……………………4分 又在（-1,1）上恒成立 所以在[-1,1]上单调递减 ‎ ……………………………………6分 在上单调递增, ‎ 解得:‎ 实数的取值范围为.…………………8分 ‎(3) 的图象如图所示:‎ 令,则 ‎ ……………………9分 当时有1个解-3, ……………………10分 当时有2个解：、ln3, ……………………11分 当时有个解: ln(3+ln4)、.‎ 故方程的解分别为：‎ ‎-3, 、ln3, ln(3+ln4)、…………………………12分 ‎22.（12分）‎ 解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则q=1p.‎ 所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为1.……………………2分 X P ‎ 1- ‎ ‎ 1+ ‎ 依题意可知X=所以X的分布列为： ‎ ‎ ………………………………………………………………5分 ‎（2）方案②中.‎ 结合（1）知每个人的平均化验次数为：‎ E(X)= ……………………7分 所以当k=2时，E(X)=，此时960人需要化验的总次数为662次，‎ k=3时，E(X)= ，此时960人需要化验的总次数为580次，‎ k=4时，E(X)= ，此时960人需要化验的次数总为570次，‎ 即k=2时化验次数最多，k=3时次数居中，k=4时化验次数最少…………10分 而采用方案①则需化验960次，‎ 故在这三种分组情况下，相比方案①，当k=4时化验次数最多可以平均减少 ‎960-570=390次…………………………………………12分