2013湖北卷（文）数学试题

2013湖北卷（文）数学试题

‎2013·湖北卷(文科数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则B∩(∁UA)＝(　　)‎ A．{2} B．{3，4} ‎ C．{1，4，5} D．{2，3，4，5}‎ ‎1．B　[解析] ∁UA＝{3，4，5}，B∩(∁UA)＝{3，4}．‎ ‎2． 已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的(　　)‎ A．实轴长相等 B．虚轴长相等 ‎ C．离心率相等 D．焦距相等 ‎2．D　[解析] c1＝c2＝＝1，故焦距相等．‎ ‎3． 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳 一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)‎ A．(p)∨(q) B．p∨(q)‎ C．(p)∧(q) D．p∨q ‎3．A　[解析] “至少一位学员没降落在指定区域”即为“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.‎ ‎4． 四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：‎ ‎①y与x负相关且＝2.347x－6.423；②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.‎ 其中一定不正确的结论的序号是(　　)‎ A．①② B．②③ ‎ C．③④ D．①④‎ ‎4．D　[解析] r为正时正相关，r为负时负相关，r与k符号相同，故k>0时正相关，k<0时负相关．‎ ‎5． 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是(　　)‎ 图1－1‎ ‎5．C　[解析] 由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图像可知，C项符合，故选C.‎ ‎6． 将函数y＝cos x＋sin x(x∈)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎6．B　[解析] 结合选项，将函数y＝cos x＋sin x＝2sin的图像向左平移个单位得到y＝2sin＝2cos x，它的图像关于y轴对称，选B.‎ ‎7． 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为(　　)‎ A. B. ‎ C．－ D．－ ‎7．A　[解析] ＝(2，1)，＝(5，5)，||·cos 〈，〉＝＝.‎ ‎8． x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在上为(　　)‎ A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 ‎8．D　[解析] 作出函数f(x)＝x－[x]的大致图像如下：‎ 观察图像，易知函数f(x)＝x－[x]是周期函数．‎ ‎9． 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为(　　)‎ A．31 200元 B．36 000元 ‎ C．36 800元 D．38 400元 ‎9．C　[解析] 由题意知其可行域如图中阴影部分，令z＝1 600A＋2 400BB＝－A＋，过点M(5，12)时，zmin＝1 600×5＋2 400×12＝36 800.‎ ‎10． 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0) B. ‎ C．(0，1) D．(0，＋∞)‎ ‎10．B　[解析] f′(x)＝ln x－ax＋x(－a)＝ln x－2ax＋1，函数f(x)有两个极值点等价于方程ln x－2ax＋1＝0有两个大于零的不相等的实数根．令y1＝ln x，y2＝2ax－1，在同一坐标系中作出这两个函数的图像，显然a≤0时，两个函数图像只有一个公共点，故a>0，‎ 此时当直线的斜率逐渐变大直到直线y＝2ax－1与曲线y＝ln x相切时，两函数图像均有两个不同的公共点，y′1＝，故曲线y＝ln x上的点(x0，ln x0)处的切线方程是y－ln x0＝(x－x0)，该直线过点(0，－1)，则－1－ln x0＝－1，解得x0＝1，故过点(0，－1)的曲线y＝ln x的切线斜率是1，故2a＝1，即a＝，所以a的取值范围是(0，)．‎ ‎11． i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________．‎ ‎11．－2＋3i　[解析] 由z2与z1对应的点关于原点对称知：z2＝－2＋3i.‎ ‎12． 某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：‎ ‎7，8，7，9，5，4，9，10，7，4‎ 则(1)平均命中环数为________；‎ ‎(2)命中环数的标准差为________．‎ ‎12．(1)7　(2)2　[解析] ＝＝7，标准差σ＝＝2.‎ ‎13． 阅读如图1－2所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i＝________．‎ 图1－2‎ ‎13．4　[解析] 逐次运行结果是i＝1，A＝2，B＝1；i＝2，A＝4，B＝2；i＝3，A＝8，B＝6；i＝4，A＝16，B＝24，此时Ad，所以圆O上共有4个点到直线的距离为1，k＝4.‎ ‎15． 在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________．‎ ‎15．3　[解析] 由题意知m>0，当00，d3－d1>0，故V－V估>0，即V估0，b>0，已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)当a≠b时，讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎(2)当x>0时，称f(x)为a，b关于x的加权平均数．‎ ‎(i)判断f(1)，f()，f()是否成等比数列，并证明f()≤f()；‎ ‎(ii)a，b的几何平均数记为G，称为a，b的调和平均数，记为H.若H≤f(x)≤G，求x的取值范围．‎ ‎21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，‎ f′(x)＝＝.‎ 当a＞b时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增；‎ 当a＜b时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减．‎ ‎(2)(i)计算得f(1)＝＞0，f＝＞0，‎ f＝＞0.‎ 故f(1)f＝·＝ab＝，即 f(1)f＝.①‎ 所以f(1)，f，f成等比数列．‎ 因≥，即f(1)≥f，结合①得f≤f.‎ ‎(ii)由(i)知f()＝H，f()＝G，故由H≤f(x)≤G，‎ 得f≤f(x)≤f.②‎ 当a＝b时，f＝f(x)＝f＝a.‎ 这时，x的取值范围为(0，＋∞)；‎ 当a＞b时，0＜＜1，从而＜，由f(x)在(0，＋∞)上单调递增与②式，得≤x≤，即x的取值范围为；‎ 当a＜b时，＞1，从而＞，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减与②式，‎ 得≤x≤，即x的取值范围为.‎ ‎22．， 如图1－5所示，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n(m>n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2‎ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.记λ＝，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.‎ ‎(1)当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，求λ的值；‎ ‎(2)当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2？并说明理由．‎ 图1－5‎ ‎22．解：依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为 C1：＋＝1，C2：＋＝1，其中a>m>n>0，λ＝>1.‎ ‎(1)方法一：如图①，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x＝0.则S1＝|BD|·|OM|＝a|BD|，S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|，所以＝.‎ 在C1和C2的方程中分别令x＝0，可得yA＝m，yB＝n，yD＝－m，‎ 于是＝＝＝.‎ 若＝λ，则＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0.‎ 由λ＞1，可解得λ＝＋1.‎ 故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝＋1.‎ 方法二：如图①，若直线l与y轴重合，则 ‎|BD|＝|OB|＋|OD|＝m＋n，|AB|＝|OA|－|OB|＝m－n.‎ S1＝|BD|·|OM|＝a|BD|，S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|.‎ 所以＝＝＝.‎ 若＝λ，则＝λ，化简得λ2－2λ－1＝0，由λ>1，可解得λ＝＋1.‎ 故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝＋1.‎ ‎(2)方法一：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2，根据对称性，不妨设直线l：y＝kx(k>0)，‎ 点M(－a，0)，N(a，0)到直线l的距离分别为d1，d2，则因为d1＝＝，d2＝＝，‎ 所以d1＝d2.‎ 又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，所以＝＝λ，即|BD|＝λ|AB|.‎ 由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝(λ－1)|AB|，‎ ‎|AD|＝|BD|＋|AB|＝(λ＋1)|AB|，于是＝，①‎ 将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得 xA＝，xB＝.‎ 根据对称性可知xC＝－xB，xD＝－xA，于是 ＝＝＝.②‎ 从而由①和②式可得＝.③‎ 令t＝，则由m>n，可得t≠1，于是由③可解得k2＝.‎ 因为k≠0，所以k2>0，于是③式关于k有解，当且仅当>0，‎ 等价于(t2－1)(t2－)<0.由λ>1，可解得1，解得λ>1＋，所以当1<λ≤1＋时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；‎ 当λ>1＋时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.‎ 方法二：如图②，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.根据对称性，不妨设直线l：y＝kx(k>0)，‎ 点M(－a，0)，N(a，0)到直线l的距离分别为d1，d2，则 因为d1＝＝，d2＝＝，所以d1＝d2.‎ 又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，‎ 所以＝＝λ.‎ 因为＝＝＝λ，‎ 所以＝.‎ 由点A(xA，kxA)，B(xB，kxB)分别在C1，C2上，‎ 可得＋＝1，＋＝1，‎ 两式相减可得＋＝0，‎ 依题意xA>xB>0，所以x>x，所以由上式解得k2＝.‎ 因为k2>0，所以由>0，可解得1<<λ.‎ 从而1<<λ，解得λ>1＋，所以当1<λ≤1＋时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；‎ 当λ>1＋时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.‎