湖北省宜昌市长阳县第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

湖北省宜昌市长阳县第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

高二年级数学试卷 考试时间120分钟 试卷总分150分 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1．若,则 （ ）‎ A. 1‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎2. 是“直线与直线垂直”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3. 方程的根所在的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎4.如图,在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在 这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎5.空间中点关于平面的对称点与的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为,则该三棱锥的外接球的表面积（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎7.以下茎叶图记录了甲、乙两组各名学生在一次英语听力测试中的成绩 ‎（单位：分）.已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，‎ 则、的值分别为（ ）‎ A.、‎ B. 、‎ C. 、‎ D. 、‎ ‎8. 函数的图象大致为(    ) ‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9. 数列中，，以后各项由公式给出，则等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知圆O的方程为,向量，,点P是圆O上任意一点,那么的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎11．椭圆 的左、右焦点分别为 ，弦过点，若的内切圆周长为 ，两点的坐标分别为 和 ，则 的值是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心和垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线。已知△ABC的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 或 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.若关于的不等式的解集为，则 .‎ ‎14.已知是正实数，且，则的最小值为________．‎ ‎15.从长度为的四条线段中随机地选取三条线段,则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是_____．‎ ‎16.已知双曲线： （， ）的一条渐近线为，圆： 与交于两点，若是等腰直角三角形，且（其中 为坐标原点），则双曲线的离心率为________．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本题10分）已知函数 (1)求的单调递增区间和对称中心； (2)若不等式在上恒成立,求实数m的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎18.（本题12分）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点.‎ ‎(1)求圆的标准方程；‎ ‎(2)直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程.‎ ‎19.（本题12分）设数列是等差数列，数列是各项都为正数的等比数列，且满足 ‎，，，.‎ ‎(1)求数列，的通项公式；‎ ‎(2)设，，，求.‎ ‎20.（本题12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎(1)求直方图中的a值；‎ ‎(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；‎ ‎(3)估计居民月均用水量的中位数．‎ ‎21.（本题12分）如图1， 在直角梯形中，，，，为线段的中点. 将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示.‎ ‎(1)求证:平面； ‎ ‎(2)求二面角的余弦值. ‎ ‎ ‎ ‎22.（本题12分）设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，，线段中点的横坐标为，且.‎ ‎(1)求抛物线的标准方程；‎ ‎(2)过点，且斜率为的直线被抛物线截得的弦为，若点在以为直径的圆内，求的取值范围．‎ ‎ ‎ 数学试题答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D A B C D D D A C D D A ‎13.‎ ‎1‎ ‎14．‎ ‎9‎ ‎15．‎ ‎16．‎ ‎10. 解：因为点P是圆上任意一点,所以设点P的坐标为，‎ ‎，所以的取值范围是 ．‎ ‎12. ‎ ‎17.解：（1）…………2分 的单调递增区间为…………4分 对称中心为,…………6分 ‎（2）由恒成立,可得恒成立,‎ 又，， …………8分 的取值范围是…………10分 ‎18.解：(1)；(2)或.‎ ‎（1）设圆心为，则应在的中垂线上，其方程为，‎ 由，即圆心坐标为 又半径，故圆的方程为.………………6分 ‎（2）点在圆上，且弦长为，故应有两条直线.‎ 圆心到直线距离.‎ ‎①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，‎ 此时圆心到直线距离为1，符合题意.………………8分 ‎②当直线的斜率存在时，设为，直线方程为 整理为，则圆心到直线距离为，‎ 解得，直线方程为，‎ 综上①②，所求直线方程为或.………………12分 ‎19.（1）设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}公比为q．‎ ‎∵a1＝1，b1＝3，a2+b3＝30，a3+b2＝14，‎ ‎∴，化为2q2﹣q﹣15＝0，‎ 解得：q＝3，d＝2．‎ ‎∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，bn＝3n．................6分 ‎（2） cn＝（an+1）•bn＝2n•3n，‎ ‎∴Tn＝2（3+2×32+…+n•3n），‎ ‎3Tn＝2[32+2×33+…+（n﹣1）×3n+n•3n+1]，‎ ‎∴﹣2Tn＝2（3+32+…+3n﹣n×3n+1）＝2（1﹣2n）×3n+1﹣3，‎ ‎∴Tn．‎ ‎......................12分 ‎20.解：(1)由题意，根据频率分布直方图的性质，可得 ‎ (0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5=1，‎ 整理得2＝1.4＋2a，解得a＝0.3.………………4分 ‎(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，‎ 理由如下：‎ 由已知中的频率分布直方图，可得月均用水量不低于3吨的频率为 ‎(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12，………………6分 又由样本容量为30万，所以样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12＝3.6万．‎ ‎...........8分 ‎(3)根据频率分布直方图，得0.08×0.5＋0.16×0.5＋0.30×0.5＋0.42×0.5＝0.48＜0.5，‎ ‎0．48＋0.5×0.50＝0.73＞0.5，∴中位数应在[2,2.5)组内．‎ 设出未知数x，令0.08×0.5＋0.16×0.5＋0.30×0.5＋0.42×0.5＋0.50×x＝0.5，‎ 解得x＝0.04，所以中位数是2＋0.04＝2.04.………………12分 ‎21.解法一：（Ⅰ）在图1中,可得,从而,‎ 故……………………………………………-3分 ‎∵面面,面面,面,‎ 从而平面……………………………………………6分 ‎（Ⅱ）取的中点，的中点,连结,‎ ‎∵是的中点是的中位线,是的中 位线,∴,‎ 又（Ⅰ）可知平面 ‎∴平面 ‎∵平面∴‎ 又∴‎ 连结,∵∴平面 又平面， ∴‎ ‎∴是二面角的平面角……………………………………………9分 在中，,,∴‎ ‎∴‎ ‎∴二面角的余弦值为.……………………………………………12分 解法二: （Ⅰ）在图1中,可得,从而,‎ 故……………………………………………2分 取中点连结,则,又面面,‎ 面面,面,从而平面,…………………………4分 ‎∴‎ 又,,‎ ‎∴平面……………………………………………6分 ‎（Ⅱ）建立空间直角坐标系如图所示,‎ 则,,,……8分 设为面的法向量,‎ 则即,解得 令,可得……………………………10分 又为面的一个法向量 ‎∴‎ ‎∴二面角的余弦值为.…………………12分 ‎22.解:（1）由题意，设点，，‎ 则线段中点的横坐标为，所以，‎ 又，得，‎ 所以抛物线的标准方程为.………………4分 ‎（2）设，过点，且斜率为的直线方程为，‎ 联立 ,消去得：‎ ‎，………………8分 易知抛物线的，由已知可得：，‎ 解得：，………………10分 符合.综上：的范围是.………………12分