【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版4-8解三角形的综合应用作业

【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版4-8解三角形的综合应用作业

课时跟踪检测（二十四） 解三角形的综合应用 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________方向上．‎ 解析：由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以 ∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.‎ 答案：南偏西80°‎ ‎2．(2019·扬州调研)如图，勘探队员朝一座山行进，在前后A，B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°，两个观察点A，B之间的距离是100 m，则此山CD的高度为________m.‎ 解析：设山高CD为x，‎ 在Rt△BCD中有：BD＝CD＝x，在Rt△ACD中有：AC＝2x，AD＝x.‎ 而AB＝AD－BD＝(－1)x＝100.‎ 解得x＝＝50(＋1)．‎ 答案：50(＋1)‎ ‎ 3.(2019·南通模拟)2018年12月，为捍卫国家主权，我国海军在南海海域进行例行巡逻，其中一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东35°的方向航行40 海里后到达海岛C.如果巡逻舰直接从海岛A出发到海岛C，则航行的路程为________海里．‎ 解析：根据题意画出图形，如图所示．‎ 在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40.‎ 根据余弦定理，‎ 得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC ‎＝402＋(40)2－2×40×40× ‎＝400(8＋4)＝400(＋)2，‎ ‎∴AC＝20(＋)．‎ 故所求航行的路程为20(＋)海里．‎ 答案：20(＋)‎ ‎4．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C 北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________ km.‎ 解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，‎ 设BC＝x km 则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos 120°，‎ 因为x＞0，所以x＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎5.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.‎ 解析：如题图，由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，所以BS＝＝3(km)．‎ 答案：3 ‎6．(2018·天一中学检测)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．‎ 解析：如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD＝200－80x，BE＝50x，‎ 所以y2＝(200－80x)2＋(50x)2－2×(200－80x)·50x·cos 60°整理得y2＝12 900x2－42 000x＋40 000(0≤x≤2.5)，所以当x＝时y2最小．‎ 答案： 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是________海里．‎ 解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，‎ 解得BC＝10(海里)．‎ 答案：10 ‎2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为________km/h.‎ 解析：设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.‎ 答案：6 ‎3．(2018·启东二模)如图所示，为了测量A，B两处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿的距离为________海里．‎ 解析：由题意可知CD＝40，∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，∠BCD＝90°，‎ ‎∴∠ACD＝30°，∠ADC＝105°，‎ ‎∴∠CAD＝45°.‎ 在△ACD中，由正弦定理，得＝，‎ ‎∴AD＝20，‎ 在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∴BD＝CD＝40.‎ 在△ABD中，由余弦定理，‎ 得AB＝ ＝20.‎ 故A，B两处岛屿的距离为20海里．‎ 答案：20 ‎4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.‎ 解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.‎ 答案：50‎ ‎5．(2018·镇江模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c ‎，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为________．‎ 解析：由题意得sin2A＜sin2B＋sin2C，‎ 再由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0.‎ 则cos A＝＞0，‎ 因为0＜A＜π，所以0＜A＜.‎ 又a为最大边，所以A＞.‎ 因此角A的取值范围是.‎ 答案： ‎6. (2019·通州中学高三测试)甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min时，两船间的距离是________km.‎ 解析：画出示意图如图所示，设行驶15 min时，甲船到达M点，乙船到达N点，由题意知AM＝8×＝2(km)，BN＝12×＝3(km)，MB＝AB－AM＝3－2＝1(km)，由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos 120°＝1＋9－2×1×3×＝13，所以MN＝(km)．‎ 答案： ‎7．(2018·南京模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗．‎ 解析：依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，‎ 所以∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.‎ 由正弦定理可知＝，‎ 所以AC＝·sin∠CEA＝20 m.‎ 所以在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20×＝30 m.‎ 因为国歌时长为50 s，所以升旗速度为＝0.6 m/s.‎ 答案：0.6‎ ‎8．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，沿山坡向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡的坡角为θ，则cos θ＝________.‎ 解析：在△ABC中，由正弦定理可知BC＝＝＝50(－)(m)．‎ 在△BCD中，由正弦定理可知sin∠BDC＝＝＝－1.‎ 由题图知cos θ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎9．(2018·镇江期末)如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC＝200 m，斜边AB＝400 m．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.‎ ‎(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；‎ ‎(2) 设∠CEF＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF＝，请将甲、乙之间的距离y表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．‎ 解：(1)依题意得BD＝300，BE＝100.‎ 在△ABC中，cos B＝＝，所以B＝.‎ 在△BDE中，由余弦定理得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cos B＝3002＋1002－2×300×100×＝70 000，‎ 所以DE＝100.‎ 答：甲、乙两人之间的距离为100 m.‎ ‎(2)由题意得EF＝2DE＝2y，∠BDE＝∠CEF＝θ.‎ 在Rt△CEF中，CE＝EF·cos∠CEF＝2ycos θ.‎ 在△BDE中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，‎ 所以y＝＝，0＜θ＜，‎ 所以当θ＝时，y有最小值50.‎ 答：甲、乙之间的最小距离为50 m.‎ ‎10．(2019·淮安模拟)如图，某军舰艇位于岛A的正西方C处，且与岛A相距12海里．经过侦察发现，国际海盗船以10海里/小时的速度从岛A出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时在B处追上．‎ ‎(1)求该军舰艇的速度；‎ ‎(2)求sin α的值．‎ 解：(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝10×2＝20，AC＝12，∠ACB＝α，‎ 在△ABC中，由余弦定理，‎ 得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB ‎＝202＋122－2×20×12cos 120°＝784，‎ 解得BC＝28，‎ 所以该军舰艇的速度为＝14海里/小时．‎ ‎(2)在△ABC中，由正弦定理，得＝，‎ 即sin α＝＝＝.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取＝1.4，＝1.7)‎ 解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m)．‎ 又在△ABC中，＝，‎ 所以BC＝×sin 15°＝10 500(－)．‎ 因为CD⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(－)×＝10 500(－1)＝7 350.‎ 故山顶的海拔高度h＝10 000－7 350＝2 650(m)．‎ 答案：2 650‎ ‎2．(2019·南京调研)某市有一中心公园，平面图如图所示，公园的两条观光路为l1，l2，公园管理中心位于点O正南方2 km l1上的A处，现计划在l2即点O北偏东45°方向，观光路l2路旁B处修建一公园服务中心．‎ ‎(1)若为方便管理，使AB两点之间的直线距离不大于2 km，求OB长度的取值范围；‎ ‎(2)为了方便市民活动，拟在l1，l2上分别选点M，N，修建一条小路MN.因环境需要，以O为圆心， km为半径的扇形区域有珍贵的植物不能被破坏，即不适宜修建，请确定M，N的位置，使M，N之间的距离最短．‎ 解：(1)在△ABO中，OA＝2，OB＝x，∠AOB＝135°，‎ 根据余弦定理得，AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos 135°，‎ ‎∴22＋x2－2×x×2×≤(2)2，‎ 即x2＋2x－16≤0，解得－4≤x≤2，‎ ‎∵x≥0，∴0≤x≤2，‎ 故OB长度的取值范围为[0,2 ]．‎ ‎(2)依题意得，直线MN必与圆O相切．设切点为C，连结OC，则OC⊥MN.‎ 设OM＝a，ON＝b，MN＝c，‎ 在△OMN中，∵MN·OC＝·OM·ON·sin 135°，∴·c＝·ab，即c＝ab，‎ 由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos 135°＝a2＋b2＋ab≥(2＋)ab＝(2＋)c，‎ 解得c≥2＋，‎ 当且仅当a＝b＝时，c取得最小值2＋.‎ ‎∴M，N与点O的距离均为 km时，M，N之间的距离最短，最短距离为(2＋)km.‎