天津市河西区2020届高三二模数学试题 Word版含解析

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河西区2019-2020学年度第二学期 高三年级总复习质量调查(二)‎ 一､选择题 ‎1.设集合，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合M，N，根据补集运算求解即可.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，属于容易题.‎ ‎2.设：“条件与条件互斥”，：“条件与条件互为对立事件”，则是的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分而不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对立事件和互斥事件的关系，即可容易判断充分性和必要性.‎ ‎【详解】因为对立一定互斥，互斥不一定对立.‎ 故命题是命题的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及对立事件和互斥事件的联系，属综合基础题.‎ ‎3.已知 x 与 y 之间的一组数据：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎48‎ ‎6.7‎ 则 y 与 x 的线性回归方程为，则 a 的值为（ ）‎ A. 0.325 B. 0 C. 2.2 D. 2.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，‎ ‎【详解】解：由题意，，‎ ‎，‎ 样本中心点为，‎ 数据的样本中心点在线性回归直线上，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程，考查样本中心点的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎4.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线上的一点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，先求得双曲线焦点坐标，再结合双曲线定义，即可求得，则方程得解.‎ ‎【详解】因为的焦点为，故双曲线的焦点在轴上，‎ 故设双曲线方程为，则；‎ 由双曲线定义知：，解得；‎ 故可得；‎ 则双曲线方程为：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及其定义，以及抛物线焦点坐标的求解，属综合基础题.‎ ‎5.已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解.‎ ‎【详解】由，‎ 则，‎ 即，‎ 所以，且，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、弦化切，属于基础题.‎ ‎6.已知正四棱锥的底面是边长为的正方形，其体积为，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（ ）‎ A. B. 2 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正四棱锥的体积可求出圆柱的高，根据圆柱底面圆过棱锥底面正方形的四个顶点可求圆柱底面圆半径，利用表面积公式计算即可.‎ ‎【详解】因为正四棱锥的底面是边长为的正方形，‎ 其体积为，底面积为 所以棱锥高,‎ 即圆柱的高为2，‎ 因为圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，‎ 所以正方形的对角线为圆的直径，即 所以圆柱的表面积为 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了正四棱锥的体积，圆柱的表面积，考查了空间想象能力，属于容易题.‎ ‎7.函数的部分图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 排除法，根据和的符号可排除B，D，再对函数求导，判断函数在上的单调性即可得出结论．‎ ‎【详解】解：，∴舍去B，，∴舍去D，‎ 时，，‎ ‎，‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．‎ ‎8.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（ ）‎ A. 64 B. 72 C. 96 D. 144‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意把四位数分为含有3个偶数与2个偶数两类,每一类要考虑特殊元素0的安排情况,利用排列组合的应用可分别求出每类四位数的个数,相加即可.‎ ‎【详解】根据题意,数字0，1, 2, 3, 4中有2个奇数,3个偶数.‎ 若组成的四位数要求至少有两个数字是偶数,则四位数中含有2个或3个偶数,分2种情况讨论:‎ ‎①四位数中含有3个偶数，1个奇数，因为0不能在首位,有3种情况,选取一个奇数有 种，与另两个偶数安排在其他三个位置，有种情况，‎ 则有个符合条件的四位数;‎ ‎②四位数中含有2个偶数,2个奇数;若偶数中有0,在2、4中选出1个偶数,有种取法,其中0不能在首位,有3种情况，将其他3个数全排列,‎ 安排在其他三个位置,有种情况,则有个符合条件的四位数；若偶数中没有0,将其他4个数全排列,有个符合条件的四位数；‎ 则一共有36+36+24=96个符合条件的四位数.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查分类计数原理及排列组合的运用，注意优先考虑特殊元素的安排情况，属于中档题.‎ ‎9.已知函数若函数 的零点个数为2，则（）‎ A. 或 B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可知当时，的图象可由的图象沿轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数的图象，将的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可.‎ ‎【详解】如图，可得的图象.令，当时，不符合题意；当时，得，若，则满足可得；若 ‎，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当时，因为，所以在上有两个交点，不合题意舍去，当时，则需解得，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.‎ 二､填空题 ‎10.设复数满足（为虚数单位），则值为__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】‎ 分析：由条件得到复数的代数形式，即可求得复数模长.‎ 详解：因为，所以==，‎ 所以 点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力． ‎ ‎11.二项式的展开式中常数项为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：二项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该二项式展开式中常数项为，故答案为.‎ 考点：二项展开式的通项公式.‎ ‎12.若直线与圆相切，则实数______.‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线和圆相切转化为点到直线的距离等于半径即可.‎ ‎【详解】直线与圆相切，‎ 圆心到直线的距离 平方可得，解得 故答案为：25‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆位置关系，直线与圆相切考，点到直线的距离公式，考查了运算能力，属于基础题.‎ ‎13.某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为______；取出的3件产品中次品的件数的期望是______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先计算所有抽取产品的可能，再计算3件产品中且有一件次品的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得；‎ ‎（2）先求得的分布列，再求其期望即可.‎ ‎【详解】（1）从10件产品中，抽取3件，有种可能；‎ 若取出的3件中恰有1件是次品，有种可能；‎ 故满足题意的概率；‎ ‎（2）根据题意，，‎ ‎；；‎ ‎，‎ 故.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查超几何分布中概率的计算，以及期望的求解，属中档题.‎ ‎14.已知，为正实数，且，则的最小值为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，为正实数，且，可知，于是，可得 ‎，再利用基本不等式即可得出结果.‎ ‎【详解】解：，为正实数，且，可知，‎ ‎，‎ ‎.‎ 当且仅当时取等号.‎ 的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.‎ ‎15.在中，点､分别为､的中点，点为与的交点，若，，且满足，则______；______.‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点､分别为､的中点，可得为三角形的重心，再将、、、用、表示，利用，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为点､分别为､的中点，所以为三角形的重心，‎ 所以，‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ ‎.‎ 故答案为：1；.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了三角形重心的性质，考查了平面向量的数量积，属于中档题.‎ 三､解答题 ‎16.已知函数 ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）讨论在区间上的单调性；‎ ‎【答案】（1）.（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，利用三角恒等变换化简为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；‎ ‎（2）先求得在上的单调增区间，结合区间，即可求得结果.‎ ‎【详解】（1）依题意，‎ 所以.‎ ‎（2）依题意，令，，‎ 解得，‎ 所以的单调递增区间为，.‎ 设，，易知，‎ 所以当时，在区间上单调递增；‎ 在区间上单调递减.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.‎ ‎17.在正四棱柱中，，为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）若为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求的长.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立如图所示空间直角坐标系，（1）求出平面的法向量，利用证明即可；‎ ‎（2）利用即可证明；（3）设点的坐标为(1，1，)，由线面角公式可求出，即可利用向量的模求的长.‎ ‎【详解】如图建立空间直角坐标系，‎ ‎(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)，(0，1，1)‎ ‎（1）证明：设平面的法向量(，，)，‎ ‎(1，1，0)，(0，1，1)‎ 由，即，‎ 取，得(1，-1，1)，‎ 又(-1，1，2)，‎ 因为，所以，‎ 所以平面.‎ ‎（2）证明：由（1）可知(1，-1，1)，‎ ‎(-1，1，-1)，，所以，‎ 所以平面.‎ ‎（3）设点的坐标为(1，1，)，‎ ‎(0，1，)，‎ 设直线与平面所成角为，则 ‎，‎ 解得，‎ 所以点的坐标为(1，1，1)，(1，1，1)，，‎ 所以的长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，线面平行，线面角，线段的长，考查了运算能力，属于中档题.‎ ‎18.已知数列的前项和为，且，数列是公差为0的等差数列，且满足，是和的等比数列.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）设数列的通项公式，求；‎ ‎【答案】（1），.（2）.（3） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两式()， ()相减得到()，再根据等比数列的通项公式可得，根据求得等差数列的公差，再根据等差数列的通项公式可得；‎ ‎（2）根据裂项求和可得结果；‎ ‎（3）由的通项公式分析可知，数列的前项中，有项的值不为1，它们是，，，，，其余的项的值都为1，由此可得，然后利用等比数列的前项和公式可得结果.‎ ‎【详解】（1）因为()，所以()，‎ 两式相减，整理得：，‎ 又当时，，，‎ 所以()，‎ 所以是以6为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎.‎ 设等差数列的公差为，‎ 因为，是和的等比中项，‎ 所以，即，‎ 整理得，‎ 解得或，因为公差不为0，‎ 所以，‎ 故.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ ‎（3）因为，，‎ 所以数列的前项中，有项的值不为1，它们是，，，，，其余的项的值都为1，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了由与的关系式求，考查了等比中项的应用，考查了裂项求和方法，考查了等比数列的前项和公式，考查了分析问题的能力，属于较难题.‎ ‎19.如图，已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的一个焦点为，是椭圆上一点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设椭圆的上下顶点分别为，，是椭圆上异于､的任意一点，‎ 轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点.‎ ‎①求证：；‎ ‎②若的面积为，求的值；‎ ‎【答案】（1）（2）①证明见解析；②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设椭圆方程为,由题意,得,再由是椭圆上的一个点,即可求出椭圆方程;‎ ‎(2)根据题意,求出直线AB的方程、点M,C,N的坐标,计算,可得,再利用,结合椭圆方程,求解可得结果.‎ ‎【详解】（1）设椭圆方程为，‎ 由题意，得.因为，所以.‎ 又是椭圆上的一个点，所以，‎ 解得或(舍去)，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）①解：因为，，则，且.‎ 因为为线段中点，所以.‎ 又，所以直线的方程为.‎ 因为，∴‎ 令，得，‎ 又，为线段的中点，有，‎ 所以.‎ 因此，‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎②由①知，.‎ 因为，‎ 所以在中，，‎ 因此，从而有，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查了运算能力，涉及向量运算，属于难题.‎ ‎20.已知函数为自然对数的底数）．‎ ‎（1）求函数的值域；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，判断出函数单调性，进而可得出值域；‎ ‎（2）先由题意，将问题转化为对任意恒成立，构造函数，对函数求导，用导数方法判断其单调性，求其最小值，即可得出结果.‎ ‎（3）令，对函数求导，用导数方法研究其单调性，求其最小值，只需最小值大于0即可.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，所以，‎ 故函数在上单调递减，函数的最大值为；‎ 的最小值为，‎ 所以函数的值域为．‎ ‎（2）原不等式可化为 …（*），‎ 因为恒成立，故（*）式可化为．‎ 令，则，‎ 当时，，所以函数在上单调递增，故，所以；‎ 当时，令，得，‎ 所以当时，；当时，．‎ 所以当，即时，函数成立；‎ 当，即时，函数在上单调递减，，解得 综上，．‎ ‎（3）令，则．‎ 由，故存在，使得，‎ 即 ． ‎ 所以，当时，；当时，．‎ 故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，‎ 故函数 ‎，‎ 因为，所以，‎ 故，‎ 即．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数单调性、最值、以及由不等式恒成立求参数的问题，属于常考题型.‎