数学（理）卷·2017届天津市河西区高三（一模）总复习质量调查（一）（2017

数学（理）卷·2017届天津市河西区高三（一模）总复习质量调查（一）（2017

‎2017年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={y|y=ex，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（　　）‎ A．{x|x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1} D．∅‎ ‎2．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（　　）‎ A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．1‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎4．若q＞0，命题甲：“a，b为实数，且|a﹣b|＜2q”；命题乙：“a，b为实数，满足|a﹣2|＜q，且|b﹣2|＜q”，则甲是乙的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，‎ ‎ =2cosC，则 c=（　　）‎ A．2 B．4 C．2 D．3‎ ‎6．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（　　）‎ A． B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎7．如图在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3， •=2，则•的值是（　　）‎ A．18 B．20 C．22 D．24‎ ‎8．已知函数f（x）=，若g（x）=ax﹣|f（x）|的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[，） B．（0，） C．（0，） D．[，）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1﹣i，则|z|=　　．‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是　　．‎ ‎11．若（x+）n的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n的值为　　．‎ ‎12．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎13．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，若实数a满足f（log2）＜f（﹣），则a的取值范围是　　．‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）‎ 在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎15．已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．‎ ‎16．甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．‎ ‎（Ⅰ）求恰好抽到两张A的概率．‎ ‎（Ⅱ）记四张牌中含有黑桃的张数为x，求x的分布列与期望．‎ ‎17．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．‎ ‎（Ⅰ）若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．‎ ‎（Ⅲ）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N），且满足an+Sn=2n+1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k≠0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．‎ ‎20．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x．‎ ‎（I）求函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0，证明x1+x2≥．‎ ‎　‎ ‎2017年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．已知集合M={x|y=ln（1﹣x）}，集合N={y|y=ex，x∈R（e为自然对数的底数）}，则M∩N=（　　）‎ A．{x|x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1} D．∅‎ ‎【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．‎ ‎【分析】分别求出M、N的范围，在求交集．‎ ‎【解答】解：∵集合M={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，‎ N={y|y=ex，x∈R（e为自然对数的底数）}={y|y＞0}，‎ ‎∴M∩N={x|0＜x＜1}，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．若实数x，y满足条件则z=3x﹣4y的最大值是（　　）‎ A．﹣13 B．﹣3 C．﹣1 D．1‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3x﹣4y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=y=1时，z达到最大值﹣1．‎ ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，‎ 得到如图的△ABC及其内部，‎ 其中A（﹣1，3），C（1，1），B（3，3）．‎ 设z=F（x，y）=3x﹣4y，将直线l：z=3x﹣4y进行平移，‎ 观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点C时，目标函数z达到最大值，‎ ‎∴z最大值=F（1，1）=﹣1，‎ 故选：C ‎　‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=0，a=3，q=‎ a=，k=1‎ 不满足条件a＜，a=，k=2‎ 不满足条件a＜，a=，k=3‎ 不满足条件a＜，a=，k=4‎ 满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．若q＞0，命题甲：“a，b为实数，且|a﹣b|＜2q”；命题乙：“a，b为实数，满足|a﹣2|＜q，且|b﹣2|＜q”，则甲是乙的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可．‎ ‎【解答】解：若a，b为实数，且|a﹣b|＜2q，‎ 则﹣2q＜a﹣b＜2q，‎ 故命题甲：﹣2q＜a﹣b＜2q；‎ 若a，b为实数，满足|a﹣2|＜q，且|b﹣2|＜q，‎ 则2﹣q＜a＜2+q①，2﹣q＜b＜2+q②，‎ 由②得：﹣2﹣q＜﹣b＜﹣2+q③，‎ ‎①+③得：﹣2q＜a﹣b＜2q，‎ 故命题乙：﹣2q＜a﹣b＜2q，‎ 故甲是乙的充分必要条件，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6， =2cosC，则 c=（　　）‎ A．2 B．4 C．2 D．3‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．‎ ‎【解答】解： =‎ ‎==1，‎ 即有2cosC=1，‎ 可得C=60°，‎ 若S△ABC=2，则absinC=2，‎ 即为ab=8，‎ 又a+b=6，‎ 由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab ‎=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，‎ 解得c=2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（　　）‎ A． B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x与圆x2+y2﹣4y+3=0相切⇔圆心（0，2）到渐近线的距离等于半径r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：取双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x，即bx﹣ay=0．‎ 由圆x2+y2﹣4y+3=0化为x2+（y﹣2）2=1．圆心（0，2），半径r=1．‎ ‎∵渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，∴=1化为3a2=b2．‎ ‎∴该双曲线的离心率e===2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．如图在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3， •=2，则•的值是（　　）‎ A．18 B．20 C．22 D．24‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由=3，可得=+， =﹣，进而由AB=8，AD=5， =3， •=2，构造方程，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵=3，‎ ‎∴=+， =﹣，‎ 又∵AB=8，AD=5，‎ ‎∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，‎ 故•=22，‎ 故答案为：22．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数f（x）=，若g（x）=ax﹣|f（x）|的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[，） B．（0，） C．（0，） D．[，）‎ ‎【考点】函数的图象；分段函数的应用．‎ ‎【分析】将函数g（x）的零点问题转化为y=|f（x）|与y=ax的图象的交点问题，借助于函数图象来处理．‎ ‎【解答】解：由于函数g（x）=ax﹣|f（x）|有3个零点，则方程|f（x）|﹣ax=0有三个根，‎ 故函数y=|f（x）|与y=ax的图象有三个交点．‎ 由于函数f（x）=，则其图象如图所示，‎ 从图象可知，当直线y=ax位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，‎ 因为点A能取到，则4个选项中区间的右端点能取到，排除BC，‎ ‎∴只能从AD中选，故只要看看选项AD区间的右端点是选还是选，‎ 设图中切点B的坐标为（t，s），则斜率k=a=（lnx）′|x=t=，‎ 又（t，s）满足：，解得t=e，‎ ‎∴斜率k=a==，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=1﹣i，则|z|=　1　．‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：z（1+i）=（1﹣i），‎ ‎∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i）（1﹣i），‎ ‎∴2z=﹣2i，z=﹣i．‎ 则复数z的模|z|=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是　　．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积．‎ ‎【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，‎ 该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，‎ 如图所示：‎ ‎∴该几何体的体积为23﹣×22×1=8﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．若（x+）n的二项展开式中前三项的系数成等差数列，则常数n的值为　8　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】根据（x+）n的二项展开式的通项公式，写出它的前三项系数，利用等差数列求出n的值．‎ ‎【解答】解：∵（x+）n的二项展开式的通项公式为 Tr+1=•xn﹣r•=••xn﹣2r，‎ 前三项的系数为1，，，‎ ‎∴n=1+，‎ 解得n=8或n=1（不合题意，舍去），‎ ‎∴常数n的值为8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎12．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是　﹣4＜m＜2　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．‎ ‎【解答】解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8‎ ‎∵x+2y＞m2+2m恒成立，‎ ‎∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2‎ 故答案为：﹣4＜m＜2．‎ ‎　‎ ‎13．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，若实数a满足f（log2）＜f（﹣），则a的取值范围是　（0，）∪（，+∞）　．‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可．‎ ‎【解答】解：∵偶函数f（x）是[0，+∞）上单调递减，满足不等式f（log2）＜f（﹣），‎ ‎∴不等式等价为f（|log2|）＜f（），‎ 即|log2|＞，‎ 即log2＞或log2＜﹣，‎ 即0＜a＜或a＞，‎ 故答案为：（0，）∪（，+∞）．‎ ‎　‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）‎ 在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin2θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为　　．‎ ‎【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】‎ 先利用直角坐标与极坐标间的关系，将点A的极坐标、直线及曲线的极坐标方程化成直角坐标或方程，再利用直角坐标方程的形式，由抛物线的定义可得丨PA丨+d=|PF|+|PA|≥|AF|，当A，P，F三点共线时，其和最小，再求出|AF|的值即可．‎ ‎【解答】解：点A（1，）的直角坐标为A（0，1），‎ 曲线曲线ρsin2θ=4cosθ的普通方程为y2=4x，是抛物线．‎ 直线ρcosθ+1=0的直角坐标方程为x+1=0，是准线．‎ 由抛物线定义，点P到抛物线准线的距离等于它到焦点A（0，1）的距离，‎ 所以当A，P，F三点共线时，其和最小，‎ 最小为|AF|=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎15．已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间；‎ 利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x﹣1=sin（2x+）+sin2x﹣1=cos2x+sin2x﹣1=2sin（2x+）﹣1，‎ 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．‎ ‎（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin（2x++）﹣1=2cos（2x+）﹣1的图象，‎ 在区间[0，]上，2x+∈[，]，故当2x+=π时，即x=时，函数取得最小值为﹣2﹣1=﹣3；‎ 当 2x+=时，即x=0时，函数取得最大值为﹣1．‎ ‎　‎ ‎16．甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．‎ ‎（Ⅰ）求恰好抽到两张A的概率．‎ ‎（Ⅱ）记四张牌中含有黑桃的张数为x，求x的分布列与期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）基本事件总数n==36，恰好抽到两张A包含的基本事件个数m==15，由此能求出恰好抽到两张A的概率．‎ ‎（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，‎ 甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，‎ 乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，‎ 从两个口袋分别任取两张牌．‎ 基本事件总数n==36，‎ 恰好抽到两张A包含的基本事件个数m==15，‎ ‎∴恰好抽到两张A的概率p==．‎ ‎（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，‎ P（X=0）===，‎ P（X=1）===，‎ P（X=2）===，‎ P（X=3）===，‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎1 ‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P E（X）==．‎ ‎　‎ ‎17．如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=2BC=2，三角形PCD是正三角形，且平面ABCD⊥平面PCD．‎ ‎（Ⅰ）若O是CD的中点，证明：BO⊥PA；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的正弦值．‎ ‎（Ⅲ）在线段CP上是否存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，若存在，确定点Q的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可证明；‎ ‎（Ⅱ）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）设出Q的坐标，利用向量方法，即可求解．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵平面 ABCD⊥平面 PCD，平面 ABCD∩平面 PCD=CD，四边形 ABCD 是矩形．‎ ‎∴AD⊥平面PCD，BC⊥平面PCD，‎ 若O是CD 的中点，OP⊥CD．OP=．‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，AB=2BC=2．‎ 则O（0，0，0），B（1，0，1），A（﹣1，0，1），‎ P（0，，0）．‎ ‎∴=（1，0，1），=（﹣1，﹣，1）．‎ ‎∴•═0，‎ ‎∴⊥，∴BO⊥PA．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知： =（2，0，0）．‎ 设平面BPA的法向量为=（x，y，z），‎ 由，取y=1，‎ 平面BPA的一个法向量为=（0，1，）．‎ 取=（0，0，1），设平面PAD的法向量为=（a，b，c），‎ 则，取b=1，则=（﹣，1，0）．‎ ‎∴cos＜，＞==，‎ 由图可以看出：二面角B﹣PA﹣D 是一个钝角，故其余弦值为﹣，正弦值为．‎ ‎（Ⅲ）解：假设存在Q，直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为，‎ 直线AQ与平面ABP的法向量所成角的余弦值为．‎ 设Q（m，（1﹣m），0），则=（m+1，（1﹣m），﹣1），‎ ‎∴=，∴12m2﹣4m+5=0，方程无解，‎ ‎∴在线段CP上不存在点Q，使得直线AQ与平面ABP所成角的正弦值为．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N），且满足an+Sn=2n+1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）再写一式，两式相减得2an﹣an﹣1=2，整理 ‎，即，数列{an﹣2}是首项为，公比为的等比数列，即可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）利用裂项法，即可证明结论．‎ ‎【解答】（1）解：∵an+Sn=2n+1，令n=1，得2a1=3，． ‎ ‎∵an+Sn=2n+1，∴an﹣1+Sn﹣1=2（n﹣1）+1，（n≥2，n∈N）‎ 两式相减，得2an﹣an﹣1=2，整理，（n≥2）‎ ‎∴数列{an﹣2}是首项为，公比为的等比数列 ‎∴． ‎ ‎（2）证明：∵‎ ‎∴==． ‎ ‎　‎ ‎19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），一个焦点为（，0）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k≠‎ ‎0）与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆过点（1，），结合给出的焦点坐标积隐含条件a2﹣b2=c2求解a，b的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，B横纵坐标的和与积，进一步求得AB的垂直平分线方程，求得Q的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ|，由弦长公式求得|AB|，作比后求得的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a=2，b=1．‎ ‎∴椭圆C的方程是；‎ ‎（Ⅱ）联立，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则有，，‎ ‎．‎ ‎∴线段AB的中点坐标为，‎ ‎∴线段AB的垂直平分线方程为．‎ 取y=0，得，‎ 于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q，‎ 又点P（1，0），‎ ‎∴．‎ 又=．‎ 于是，．‎ ‎∵k≠0，‎ ‎∴．‎ ‎∴的取值范围为．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x．‎ ‎（I）求函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤（﹣1）x2+ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；‎ ‎（Ⅲ）若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0，证明x1+x2≥．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求f′（x），而使f′（x）≤‎ ‎0的x所在区间便为f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）构造函数，求g′（x）=，容易判断当a≤0时不合题意；而a＞0时，能够求出f（x）的最大值为，可设h（a）=，该函数在（0，+∞）上为减函数，并且h（1）＞0，h（2）＜0，从而得到整数a最小为2；‎ ‎（Ⅲ）由f（x1）+f（x2）+2（x+x）+x1x2=0便得到，这样令t=x1x2，t＞0，容易求得函数t﹣lnt的最小值为1，从而得到，解这个关于x1+x2的一元二次不等式即可得出要证的结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）（x＞0）；‎ ‎∴x≥1时，f′（x）≤0；‎ ‎∴f（x）的单调减区间为[1，+∞）；‎ ‎（Ⅱ）令；‎ 所以=；‎ ‎（1）当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0；‎ ‎∴此时g（x）在（0，+∞）上是递增函数；‎ 又g（1）=；‎ ‎∴g（x）≤0不能恒成立，即关于x的不等式f（x）≤不能恒成立；‎ ‎∴这种情况不存在；‎ ‎（2）当a＞0时，；‎ ‎∴当x时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0；‎ ‎∴函数g（x）的最大值为=；‎ 令；‎ ‎∵h（1）=，h（2）=，又h（a）在a∈（0，+∞）上是减函数；‎ ‎∴当a≥2时，h（a）＜0；‎ 所以整数a的最小值为2；‎ ‎（Ⅲ）证明：由f（x1）+f（x2）；‎ 即；‎ 从而；‎ 令t=x1x2，则由h（t）=t﹣lnt得，h′（t）=；‎ 可知，h（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；‎ ‎∴h（t）≥h（1）=1；‎ ‎∴，又x1+x2＞0；‎ 因此成立．‎ ‎　‎