2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：椭圆上的点到两个焦点距离之和等于，所以到另一个焦点的距离为.‎ ‎【考点】椭圆定义．‎ ‎2．抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知可得 焦点为 ，故选C.‎ ‎3．双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令渐近线方程为 ，故选B.‎ ‎4．已知双曲线 的离心率为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知可得 ，故选B.‎ ‎5．已知是椭圆上一点， 是其左、右焦点，若，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知可得 ，故选C.‎ ‎6．设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（　 ）‎ A. B. C． D . ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2),因为直线l与圆相切，所以,解之得.‎ ‎7．已知抛物线： ，过点的直线交抛物线于,若为坐标原点，则直线的斜率之积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】显然直线的斜率存在，设其方程为 ，由 ‎ ‎，故选A.‎ ‎8．如果满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由上图可得作直线 ，将移至 点得最大值，由 ‎ ‎，故选C.‎ 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：‎ ‎1.在坐标系中作出可行域；‎ ‎2.根据目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；‎ ‎3. 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从面确定最优解；‎ ‎4.求最值：将最解代入目标函数即可求最大值与最小值.‎ ‎9．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦， 是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知可得 ，故选B.‎ ‎10．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】不妨设,直线 ，由 ‎ ‎ ，同理可得 ‎,故选D.‎ ‎11．已知抛物线： 的焦点为，准线为， 是上一点， 是直线与的一个交点，若，则（ ）‎ A. B. C. 3 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由 可得直线 的倾斜角为 或 ，故选A.‎ ‎12．已知抛物线： ，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由圆 圆心 ，半径，设 ‎ ‎ ‎ ‎ ，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 解答本题的关键步骤是：‎ ‎1.确定圆的标准方程；‎ ‎2.根据两点距离公式求出 ；‎ ‎3.根据直角三角形三边关系求出；‎ ‎4..根据四边形面积公式求出.‎ 二、填空题 ‎13．双曲线的实轴长为 ____________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由已知可得实轴长为 .‎ ‎14．已知双曲线： ，若直线交该双曲线于两点，且线段的中点为点,则直线的斜率为 ____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则 ‎ ‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题采用的是点差法求直线低斜率，即设出弦的两个端点的坐标，这两个端点的坐标满足双曲线方程，把这两个端点坐标代入到双曲线方程，将所得的两个式子作差.‎ ‎15．已知， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则_______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设椭圆方程为，双曲线方程为，‎ 点为第一象限内的交点，令，则，解得。在中，由余弦定理得 ‎，即，整理得 ‎，所以，即。答案：4‎ 点睛：求双曲线离心率的常用方法 ‎（1）根据题意直接求出，由求解；‎ ‎（2）根据条件求得间的关系，由求解；‎ ‎（3）根据条件得到间的二次关系式，然后利用化为关于的二次方程求解。‎ ‎16．已知椭圆： ，点与的焦点不重合，若关于的两焦点的对称点分别为 ‎， ，线段的中点在上，则____________．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ 又设 分别是椭圆 的左、右焦点， 为线段 的中点，如图所示,由已知条件,易得分别是线段 的中点，则在 和 中,有 ‎ ‎ ，又由椭圆定义,得 ，故 .‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 解答本题的关键步骤是：‎ ‎1.根据已知画出图象；‎ ‎2.根据三角形中点性质得 ；‎ ‎3.根据椭圆定义得；‎ ‎4.得出答案..‎ 三、解答题 ‎17．已知圆经过点 且圆心在直线上．‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线截圆所得弦长为 ，求直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或 ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由圆心在直线上,可设圆心C（）,再根据求出即可确定圆C的方程.‎ ‎（2）用点斜式设直线方程,但要考虑斜率存在与不存在两种情况,当斜率存在时设直线方程为,由圆心到直线的距离可求.‎ 试题解析：（1）设圆心C（）,（1分）‎ ‎（4分）‎ 所以（5分）,‎ 圆C的方程为（6分）‎ ‎（2）若直线的斜率不存在,方程为,此时直线截圆所得弦长为,符合题意；若直线的斜率存在,设方程为 由题意,圆心到直线的距离 ‎ 直线的方程为 综上,所求方程为或 ‎【考点】1圆的方程；2直线与圆.‎ ‎18．如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面， ， ， 是棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ‎ ‎【解析】试题分析：（I）易证得平面,再由面面垂直的判定定理即可证得平面平面；(II)设棱锥的体积为,易求得，三棱术的体积为,于是得,从而可得答案.‎ 试题解析： （I）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，‎ ‎∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1平面ACC1A1，‎ ‎∴DC1⊥BC．‎ 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，‎ ‎∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，‎ ‎∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，‎ ‎∴平面BDC1⊥平面BDC；‎ ‎（II）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，‎ 又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，‎ ‎∴（V﹣V1）：V1=1：1，‎ ‎∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；几何体的体积.‎ ‎【易错点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱,棱锥,棱台的体积.着重考查直线与平面垂直的判定定理的应用与棱柱,棱锥的体积,考查分析,表达与运算能力,属于中档题.证明垂直问题时一定严格按照定理成立的条件规范书写过程,另注意问题的转化:线线垂直--线面垂直--线线垂直.本题难度中等.‎ ‎19．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出的值，若不明确，需分焦点在轴和轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.‎ 试题解析：解：（1）由题意知，‎ ‎.又双曲线的焦点坐标为，，‎ 椭圆的方程为.‎ ‎（2）若直线的倾斜角为，则，‎ 当直线的倾斜角不为时，直线可设为，‎ ‎，由 设，，‎ ‎，，综上所述：范围为.‎ ‎【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题.‎ ‎20．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形， 底面， 分别为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）若，试问在线段上是否存在点，使得二面角 的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）满足条件的 存在，是 中点 ‎【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题取PD中点M，利用三角形中位线性质得，再结合平行四边形性质得四边形EFMA为平行四边形，从而得出EF∥AM，（2）涉及二面角问题，一般利用空间向量进行解决，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面的法向量，结合向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角的关系列等量关系，求出待定参数 试题解析：证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，‎ 在△PCD中，F为PC的中点，∴，‎ 正方形ABCD中E为AB中点，∴，∴，‎ 故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，‎ 又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，‎ ‎∴EF∥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：‎ 如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，‎ 则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0， ，0），F（， ，1），‎ 由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0），‎ 假设存在Q满足条件：设，‎ ‎∵，∴， ，λ∈，‎ 设平面PAQ的法向量为，‎ 由，可得，‎ ‎∴，‎ 由已知： ，解得： ，‎ 所以满足条件的Q存在，是EF中点．‎ ‎【考点】线面平行判定定理，利用空间向量研究二面角 ‎【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．‎ ‎21．已知椭圆的左、右焦点分别为短轴两个端点为 且四边形是边长为的正方形．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明： 为定值．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析 ‎【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，关键是求出，为此要列出关于的两个等式，由椭圆的性质及，四边形是边长为2的正方形，知；（2）本小题采用解析几何的基本方法，设，写出直线方程，再代入椭圆方程求得点坐标，然后直接计算，可得定值．‎ 试题解析：（1）， ，∴，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（2）， ，设， ，‎ 则， ，‎ 直线，即，‎ 代入椭圆得，‎ ‎∵，∴， ，‎ ‎∴，‎ ‎∴（定值）‎ ‎【考点】椭圆的标准方程，椭圆的综合应用．‎ ‎【名师点晴】1．确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件（即确定焦点的位置）和两个定形条件（即确定a，b的大小）．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为＋＝1 （a>b>0）或＋＝1 （a>b>0），或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1 （m>0，n>0，且m≠n）．‎ ‎2．解析几何中的定值问题，可根据已知条件设出一个参数，用这个参数表示出相应点的坐标，直线斜率、直线方程或曲线方程等等，再求出结论，如本题求出，它的最终结果与参数无关，是定值．‎ ‎22．如图，抛物线： 与椭圆： 在第一象限的交点为， 为坐标原点， 为椭圆的右顶点， 的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线交于、 两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）存在直线符合条件 ‎【解析】试题分析：（1）设，因为的面积为，求得，代入抛物线即可求，则抛物线方程可求；（2），则设法求出与 的表达式，并找到它们之间的联系.为此，设直线的方程为.与联立，设， ，可知， .直线OC的方程为，与联立并整理得，则可求，直线方程可得.‎ 试题解析：（1）因为的面积为，设，所以，‎ 代入椭圆方程得，抛物线的方程是： .‎ ‎（2）存在直线符合条件. 显然直线不垂直于y轴，故直线的方程可设为.与联立，设， ‎ 理由：显然直线不垂直于y轴，故直线的方程可设为，‎ 与联立得.‎ 设， ，则， ，‎ ‎∴.‎ 由直线OC的斜率为 ‎，故直线OC的方程为，与联立得 ‎，同理， ，‎ 所以.‎ 可得，‎ 要使，只需，‎ 即，解得，‎ 所以存在直线符合条件.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线综合问题 ‎【思路点睛】（1）通过三角形的面积，求出，然后求出横坐标，代入抛物线的方程，求出，即可得到抛物线方程．（2）关键在于 即得表达式，所以这里应该成为本题的切入点