河南省周口市扶沟县2020届高三下学期开学考试 文科数学（PDF版）

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- 1 - 扶沟高中 2019-2020 学年度（下）高三开学考试 文科数学 编审：高三文数组 2020.1.31. 一、单项选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．请将答案填涂在答题卷上. 1．已知复数 iiz  3)1( ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数．．．．所对应的点在 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若集合 { | 6}A x x  N ，  2| 8 15 0B x x x    ，则 A B 等于（ ） A． 3 5x x  B． 3,4,5 C． 3,4 D． 4 3．已知 1c0,1ba  ，则 ( ) A． cc ba  B． cc baab  C． cbca ab loglog  D． cc ba loglog  4．从1， 2 ，3， 4 这四个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（ ） A． 1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 5．已知向量    2,1,,  byxa ，且  3,1 ba ，则 ba 2 等于 ( ) A．1 B．3 C．4 D．5 6． 18sin2m  ，若 4nm2  ，则 127cos2 nm 2  ( ) A．1 B．2 C．4 D．8 7．某同学用“随机模拟方法”计算曲线 xlny  与直线 0y,ex  所围成的曲边三角形的面积时， 用计算机分别产生了 10 个在区间[l，e]上的均匀随机数 xi 和 10 个在区间[0，l]上的均匀随机数 1*Ni(yi ， )10i  ，其数据如下表的前两行． x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y 0.84 0.25 0.98 0.15 0.01 0.60 0.59 0.88 0.84 0.10 ln x 0.90 0.01 0.64 0.20 0.92 0.77 0.64 0.67 0.31 0.80 由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为 ( ) A． )1e(5 3  B． )1e(5 4  C． )1e(2 1  D． )1e(3 2  8．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F ，点 P 为抛物线上一点，过点 P 作抛物线的准线的垂 线，垂足为 E ，若 60EPF  ， PEF△ 的面积为16 3 ，则 p  （ ） A． 2 B． 2 2 C． 4 D．8 9．点 A ， B ，C ， D 在同一球面上， 2AB BC  ， 2AC  ，若球的表面积为 25π 4 ，则四 面体 ABCD 体积的最大值为（ ） A． 1 2 B． 3 4 C． 2 3 D．1 10．函数   xcos1e1 2xf x       的图象的大致形状是 ( ) 11．在△ABC 中， 6,2  CAB ，则 BCAC 3 的最大值为 ( ) A． 72 B． 73 C． 74 D． 75 12．若函数 3 2( ) lnf x x x x x ax    有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 0, B． (0,1] C．[ 1,0) D． ,0 二、填空题：每题 5 分，满分 20 分，请将答案填在答题卷上. 13．在平面直角坐标系中，设角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆 的交点的横坐标为 1 3 ，则 cos2 的值等于 ． 14．己知直线 l 与正方体 1111 DCBAABCD  的所有面所成的角都相等，且 l 平面 HDDBB 11 ， 则l 与平面 DDBB 11 所成角的正切值是 . 15．函数 π( ) sin( )3f x x  在区间[0,2π] 上至少存在5个不同的零点，则正整数 的最小值为 . 16．已知离心率为 e，焦点为 21, FF 的双曲线 C 上一点 P 满足 0sinsin 1221  FPFeFPF ， 则双曲线的离心率 e 的取值范围为 . - 2 - 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60 分. 17．（本小题满分 12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企 业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表. y 的分组 [ 0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80) 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表）.（精确到 0.01） 附： 74 8.602 . 18．（本小题满分 12 分）各项均不为零的数列 }{ na 前 n 项和为 nS ，数列 }{ 2 nna 前 n 项和为 nT ， 且 ).,3,2,1(,2 2 1  nSTa nn (1)求 2a 的值； (2)求数列 }{ na 的通项公式． 19．（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 111 CBAABC  中，E，F 分别为 BCCA ,11 的中点， .2, 11  AABCABABFC (1)求证： //1FC 平面 ABE； (2)求三棱锥 1ABCE  的体积． 20．（本小题满分 12 分）已知函数 . 6 1sin)( 3xaxxxf  (1)求函数 )(xf 在点 ))0(,0( f 处的切线方程； (2)若 )(xf 存在极小值点 1x 与极大值点 2x ，求证： .22 21  xax 21．（本小题满分 12 分）已知椭圆 2 2 2 2 1( 0): x y a baE b     的离心率为 3 2 ，且过点 3(1, )2 ． （1）求 E 的方程； （2）是否存在直线 :l y kx m  与 E 相交于 P ，Q两点，且满足： ①OP 与OQ （O为坐标原点）的斜率之和为 2；②直线l 与圆 2 2 1x y  相切， 若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由． （二）选考题：共 10 分.请在第 22、23 题中任选一题作答，多做，按所做的第一题计分. 22．（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知过点 P(m,0)的直线 l 的参数方程是 x＝m＋ 3 2 t， y＝1 2t (t 为参数)，以平面直角坐标系的原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)若直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，且|PA|·|PB|＝2，求实数 m 的值． 23．（10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集； (2)若 f(x)≤1，求 a 的取值范围． - 1 - 扶沟高中 2019-2020 学年度（下）高三开学考试 文科数学参考答案 一、单项选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．请将答案填涂在答题卷上. 1-12 ADCBD BACCB CD 二、填空题：每题 5 分，满分 20 分，请将答案填在答题卷上. 13． 7 9  14． 2 15．3 16． )21,1(  三、解答题：共 70 分. 17．（本小题满分 12 分） 解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率 为14 7 0.21100   .…………2分 产值负增长的企业频率为 2 0.02100  .…………4分 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负 增长的企业比例为2%. …………5分 （2） 1 ( 0.10 2 0.10 24 0.30 53 0.50 14 0.70 7) 0.30100y             ，…………7分   5 22 1 1 100 i i i s n y y    2 2 2 2 21 ( 0.40) 2 ( 0.20) 24 0 53 0.20 14 0.40 7100               =0.0296，…10分 0.0296 0.02 74 0.17s     ， 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.…………12分 18．（本小题满分 12 分） 解：(1)因为 ),3,2,1(,2 2 1  nSTa nn ，所以 2 2 2 2 )2(24 aa  ．…………2 分 所以 42 a ，或 02 a （舍）．………………………………………………………4 分 (2) 因为 ),3,2,1(2  nST nn ，所以 ).,3,2(2 11   nST nn 所以 ),3,2()( 1 2   naSSna nnnn …………………………………………………6 分 因为 0na ，所以 ),3,2()( 11   nSSnSSna nnnnn ① 可得： ),3,2()1( 11   nSSan nnn ②…………………………8 分 ②一①得： )2(1 1   nn a n a nn ，………………………………………10 分 故 )2(,2),2(,22 2  nnana n a n n ……………………………………11 分 当 1n 时，上式也成立，所以 .*2 Nnnan  ……………………………………12 分 方法 2： 因为 ),3,2,1(2  nST nn ，所以 ),3,2(2 11   nST nn . 所以 ),3,2()( 1 2   naSSna nnnn ……………………………………………………6 分 因为 0na ，所以 ),3,2()( 11   nSSnSSna nnnnn 所以 )2( 1 1 1     nS n nS nn .………………8 分 所以 )2)(1(1 3 2 4 3 1 21 1 1    nnnSn n n n n nSn ，………………………9 分 当 1n 时，上式也成立． *)()1( NnnnSn  所以 )1(21   nnSSa nnn .………………………………………………………11 分 当 1n 时，上式也成立，所以 *2 Nnnan  .……………………………………12 分 19．（本小题满分 12 分） 解:(1)如图，设 D 为边 AB 的中点，连接 ED，FD ∵D，F 分别为 AB，BC 的中点，∴ ACDFACDF 2 1,//  ……1 分 又∵ ,2 1,// 11 ACECACEC  ∴ 11,// ECDFECDF  ………2 分 ∴四边形 FDEC1 为平行四边形，∴ EDFC //1 ………………3 分 - 2 - 又 ED 平面 FCABE 1, 平面 ABE，…………4 分 ∴ //1FC 平面 ABE. ……………………5 分 (3) 在直三棱柱中 ,1 ABCC  又  11 ,CCABFC 平面 FCBBCC 111 , 平面 11111 , CFCCCBBCC  ，……6 分 ∴ AB 平面 11BBCC ， ……………………7 分 BC 面 ,11BBCC ∴ ,BCAB  ……………………8 分 由三角形 ABC 的面积为 2，可得三角形 ABF 的面积为 1，……………………9 分 由(1) //1FC 平面 EAB 知： 1C 到平面 EAB 的距离等于 F 到平面 EAB 的距离…………10 分 ∴ ABFEEABFEABCABCE VVVV   11 ……………………11 分 ∴ 3 2213 1 3 1 1   AASV ABFABFE ．所以三棱锥 1ABCE  的体积为 3 2 . ……12 分 20．（本小题满分 12 分） (1)解： 2 2 1cos)(,0)0( xaxxff  ………………………………2 分 af  1)0( ，所以函数 )(xf 在点 ))0(,0( f 处的切线方程为 xay )1(  ；…………4 分 (2)设 )()( xfxg  ，则 xxxg sin)(  ，设 )()( xgxh  ，则 ,0cos1)(  xxh 所以 )(xh 在 ),(  上单调递增． 又因为 0)0( h ，所以在 ),0[  上， 0)( xh ，即 ,0)(  xg 所以 )(xg 在 ),0(  上单调递增．……………………………………………………………6 分 当 1a 时， 01)0(  ag ，所以在 ),0[  上， 0)( xg ，即 ,0)(  xf 所以函数 )(xf 在 ),0[  上是单调增函数. 又 )(xf 是奇函数，所以函数 )(xf 在 ),(  上单调递增，无极值点；………………7 分 当 1a 时， ,01)0(  ag 01)1cos()1( 2 1)1cos()1( 2 1)1cos()1( 22  aaaaaaag 又因为函数 )(xg 在 ),0[  上单调递增，所以函数 )(xf  在 ),0[  上有且只有一个零点 )1,0(1  ax 可知 1x 是 )(xf 的唯一极小值点，且 )1,0(1  ax …………………………………………9 分 又 )(xf 是奇函数，所以函数 )(xf 必存在唯一极大值点，记为 2x ，且 12 xx  ，……11 分 所以 0)1(22)2()2( 121  axxax ，所以 22 21  xax 成立.………12 分 21．（本小题满分 12 分） 解：（1）由已知得 3 2 c a  ， 2 2 1 3 14a b   ，解得 2 4a  ， 2 1b  ， ∴椭圆 E 的方程为 2 2 14 x y  ．…………4 分 （2）把 y kx m  代入 E 的方程得   2 2 21 4 8 4 1 0k x kmx m     ， 设  1 1,P x y ，  2 2,Q x y ，则 1 2 2 8 1 4 kmx x k    ，  2 1 2 2 4 1 1 4 m x x k    ①，………6 分 由已知得    1 2 2 11 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2OP OQ kx m x kx m xy y y x y xk k x x x x x x         ， ∴  1 2 1 22( 1) 0k x x m x x    ②，…………7 分 x （0，xl） xl (xl，+∞) )( xf  - 0 + )( xf ↘ 极小值 ↗ - 3 - 把①代入②得  2 2 2 2 8( 1) 1 8 01 4 1 4 k m km k k      ，即 2 1m k  ③，…………8 分 又    2 2 216 4 1 16 4Δ k m k k     ，由 2 2 4 0 1 0 k k m k        ，得 1 4k   或 0 1k  …9 分 由直线l 与圆 2 2 1x y  相切，则 2 | | 1 1 m k   ④，…………10 分 ③④联立得 0k  （舍去）或 1k   ，∴ 2 2m  ，…………11 分 ∴直线l 的方程为 2y x   ．.………12 分 （二）选考题：共 10 分。请在第 22、23 题中任选一题作答，如多做，按所做第一题计分。 22．(10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 解：(1)消去参数 t，可得直线 l 的普通方程为 x＝ 3y＋m，即 x－ 3y－m＝0. 因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ. 可得曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2＝2x，即 x2－2x＋y2＝0.……… 5 分 (2) 把 x＝m＋ 3 2 t， y＝1 2t 代入 x2－2x＋y2＝0， 得 t2＋( 3m－ 3)t＋m2－2m＝0. 由Δ>0，得－12. 当 x<－1 时，由 2x＋4≥0，解得－2≤x<－1， 当－1≤x≤2 时，显然满足题意， 当 x>2 时，由－2x＋6≥0，解得 2

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