河北省衡水中学2016届高三（下）二调数学试卷（文科）（解析版）

河北省衡水中学2016届高三（下）二调数学试卷（文科）（解析版）

‎2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也不必要条件 ‎2．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001、002、…、699、700．从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（　　）‎ ‎33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42‎ ‎84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 85 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04‎ ‎32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45．‎ A．607 B．328 C．253 D．007‎ ‎4．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为（　　）‎ A．12π B．16π C．36π D．20π ‎5．若实数x，y满足，则y的最大值为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎6．已知函数，关于f（x）的性质，有以下四个推断：‎ ‎①f（x）的定义域是（﹣∞，+∞）； ②f（x）的值域是；‎ ‎③f（x）是奇函数； ④f（x）是区间（0，2）上的增函数．‎ 其中推断正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知A，B分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）‎ ‎12．已知数列{an}中，a1=1，a2k=a2k﹣1+（﹣1）k，a2k+1=a2k+2k（k∈N*），则{an}的前60项的和S60=（　　）‎ A．231﹣154 B．231﹣124 C．232﹣94 D．232﹣124‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知向量⊥，||=3，则•=　　．‎ ‎14．若等比数列{an}满足，则=　　．‎ ‎15．该试题已被管理员删除 ‎16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=4，△ABC的面积为，求a+c的值．‎ ‎18．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：‎ 支持 不支持 合计 中型企业 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 小型企业 ‎240‎ ‎200‎ ‎440‎ 合计 ‎320‎ ‎240‎ ‎560‎ ‎（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？‎ ‎（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率 K2=‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ K0‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E，F分别为PA、AC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求点F到平面ABE的距离．‎ ‎20．已知圆O：x2+y2=4，点A（，0），以线段AB为直径的圆O1内切于圆O，记点B的轨迹为Γ．‎ ‎（1）求曲线Γ的方程；‎ ‎（2）当OB与圆O1相切时，求直线AB的方程．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）a=2时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎　‎ 四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．‎ ‎（1）求证：△DEF～△DHG；‎ ‎（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知曲线E的极坐标方程为，倾斜角为α的直线l过点P（2，2）．‎ ‎（1）求E的直角坐标方程和直线l的参数方程；‎ ‎（2）设l1，l2是过点P且关于直线x=2对称的两条直线，l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点．求证：|PA|：|PD|=|PC|：|PB|．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．‎ ‎（Ⅰ）求m；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．‎ ‎　‎ ‎2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知复数z，“z+=0”是“z为纯虚数”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也不必要条件 ‎【考点】复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．‎ ‎【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0．‎ ‎∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．‎ ‎【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），‎ 则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001、002、…、699、700．从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（　　）‎ ‎33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42‎ ‎84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 85 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04‎ ‎32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45．‎ A．607 B．328 C．253 D．007‎ ‎【考点】简单随机抽样．‎ ‎【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读，依次为253，313，457，860，736，253，007，其中860，736不符合条件故可得结论 ‎【解答】解：从第5行第6个数2的数开始向右读，第一个数为253，符合条件，第二个数为313，符合条件，‎ 第三个数为457，符合条件，‎ 以下依次为：860，736，253，007，328，‎ 其中860，736不符合条件且253与第一个重复了不能取，这样007是第四数，第五个数应为328．‎ 故第五个数为328．．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为（　　）‎ A．12π B．16π C．36π D．20π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求．‎ ‎【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，‎ 在Rt△OMB中，OM=1，MB=，‎ ‎∴OA=，即球的半径为，‎ ‎∴球O的表面积为12π．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．若实数x，y满足，则y的最大值为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】做出不等式组的简单线性规划，如图阴影部分所示，找出y的最大值即可．‎ ‎【解答】解：做出直线y=x，y=x与圆（x﹣1）2+y2=1的图象，得出不等式组对应的可行域，如图阴影部分所示，‎ 根据题意得：y的最大值为1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．已知函数，关于f（x）的性质，有以下四个推断：‎ ‎①f（x）的定义域是（﹣∞，+∞）； ②f（x）的值域是；‎ ‎③f（x）是奇函数； ④f（x）是区间（0，2）上的增函数．‎ 其中推断正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】根据f（x）的表达式求出其定义域，判断①正确；根据基本不等式的性质求出f（x）的值域，判断②正确；根据奇偶性的定义，判断③正确；根据函数的单调性，判断④错误．‎ ‎【解答】解：①∵函数，‎ ‎∴f（x）的定义域是（﹣∞，+∞），‎ 故①正确； ‎ ‎②f（x）=，‎ x＞0时：f（x）≤，‎ x＜0时：f（x）≥﹣，‎ 故f（x）的值域是，‎ 故②正确；‎ ‎③f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函数，‎ 故③正确；‎ ‎④由f′（x）=，‎ 令f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1，‎ 令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜﹣1，‎ ‎∴f（x）在区间（0，2）上先增后减，‎ 故④错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 代入椭圆方程得，‎ 相减得，‎ ‎∴．‎ ‎∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2， ==．‎ ‎∴，‎ 化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．‎ ‎∴椭圆E的方程为．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．‎ ‎【解答】解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，‎ 三棱柱的底面是等腰直角三角形，‎ 其面积S=×1×2=1，高为1；‎ 故其体积V1=1×1=1；‎ 三棱锥的底面是等腰直角三角形，‎ 其面积S=×1×2=1，高为1；‎ 故其体积V2=×1×1=；‎ 故该几何体的体积V=V1+V2=；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，则输出的S=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，i=2，不满足退出循环的条件，A=3；‎ 再次执行循环体后，S=，i=3，不满足退出循环的条件，A=6；‎ 再次执行循环体后，S=，i=4，不满足退出循环的条件，A=10；‎ 再次执行循环体后，S=，i=5，不满足退出循环的条件，A=15；‎ 再次执行循环体后，S=，i=6，满足退出循环的条件，‎ 故输出结果为：，‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．已知A，B分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是C上一点，且直线AP，BP的斜率之积为2，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b的关系，从而可求双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：设P（x，y），实轴两顶点坐标为（±a，0），则 ‎∵点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为2，‎ ‎∴•=2，‎ ‎∴=+1，‎ ‎∵﹣=1，‎ ‎∴+1﹣=1，‎ ‎∴b2=2a2，‎ ‎∴c2=a2+b2=3a2，‎ ‎∴c=a，‎ ‎∴e==，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】函数单调性的性质；其他不等式的解法．‎ ‎【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式．‎ ‎【解答】解：‎ 由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a ‎ 即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．‎ 故选C ‎　‎ ‎12．已知数列{an}中，a1=1，a2k=a2k﹣1+（﹣1）k，a2k+1=a2k+2k（k∈N*），则{an}的前60项的和S60=（　　）‎ A．231﹣154 B．231﹣124 C．232﹣94 D．232﹣124‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】由条件可得a2k+1﹣a2k﹣1=2k+（﹣1）k，将k换为k﹣1，k﹣2，…，1，累加可得a2k+1=2k+1+（﹣1）k﹣，求得{an}的通项公式，讨论n为奇数和偶数的情况，再由分组求和，结合等比数列的求和公式计算即可得到所求和．‎ ‎【解答】解：a2k+1=a2k+2k=a2k﹣1+（﹣1）k+2k，‎ 所以a2k+1﹣a2k﹣1=2k+（﹣1）k，‎ 同理a2k﹣1﹣a2k﹣3=2k﹣1+（﹣1）k﹣1，‎ ‎…‎ a3﹣a1=2+（﹣1），‎ 所以（a2k+1﹣a2k﹣1）+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）+…+（a3﹣a1）‎ ‎=（2k+2k﹣1+…+2）+[（﹣1）k+（﹣1）k﹣1+…+（﹣1）]，‎ 由此得a2k+1﹣a1=2（2k﹣1）+ [（﹣1）k﹣1]，‎ 于是a2k+1=2k+1+（﹣1）k﹣，‎ a2k=a2k﹣1+（﹣1）k=2k+（﹣1）k﹣1﹣+（﹣1）k=2k+（﹣1）k﹣，‎ ‎{an}的通项公式为：‎ 当n为奇数时，an=2+（﹣1）﹣；‎ 当n为偶数时，an=2+（﹣1）﹣；‎ 则S60=（a1+a3+a5+…+a59）+（a2+a4+a6+..+a60）‎ ‎=[（2+22+23+…+230）+（﹣++…﹣）﹣×30]‎ ‎+[（2+22+23+…+230）+（﹣+﹣+…+）﹣×30]‎ ‎=2×+0﹣90=232﹣94．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知向量⊥，||=3，则•=　9　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．‎ ‎【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，‎ ‎∵||=3，‎ ‎∴．‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎14．若等比数列{an}满足，则=　　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等比数列{an}的性质可得： =a1a5=，即可得出．‎ ‎【解答】解：由等比数列{an}的性质可得： =a1a5=，‎ 则==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．该试题已被管理员删除 ‎　‎ ‎16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为　4　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象．‎ ‎【分析】由题意得f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可得f（x）=﹣x4﹣x3+x2+4x．利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最大值．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，‎ ‎∴f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，‎ 即b=0且（1﹣4）[（﹣4）2+a•（﹣4）+b]=0，‎ 解之得a=4，b=0，‎ 因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+4x）=﹣x4﹣x3+x2+4x，‎ 求导数，得f′（x）=﹣x3﹣3x2+2x+4=﹣（x+1）（x+1+）（x+1﹣）‎ 当x∈（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1，﹣1+）时，f'（x）＞0，‎ 当x∈（﹣1﹣，﹣1）∪（﹣1+，+∞）时，f'（x）＜0，‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，﹣1﹣）单调递增，在（﹣1﹣，﹣1）单调递减，在（﹣1，﹣1+）单调递增，在（﹣1+，+∞）单调递减，‎ 故当x=﹣1﹣和x=﹣1+时取极大值，f（﹣1﹣）=f（﹣1+）=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b=4，△ABC的面积为，求a+c的值．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理化简bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），通过两角和与差的三角函数求出cosB，即可得到结果．‎ ‎（2）利用三角形的面积求出ac=4，通过由余弦定理求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）因为bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），…‎ 所以sinBcosA=（﹣2sinC﹣sinA）cosB…‎ 所以sin（A+B）=﹣2sinCcosB ‎∴cosB=﹣…‎ ‎∴B=…‎ ‎（2）由=得ac=4…．‎ 由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c）2﹣ac=16…‎ ‎∴a+c=2 …‎ ‎　‎ ‎18．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如表：‎ 支持 不支持 合计 中型企业 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 小型企业 ‎240‎ ‎200‎ ‎440‎ 合计 ‎320‎ ‎240‎ ‎560‎ ‎（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？‎ ‎（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家，然后从这8家中选出2家，求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率 K2=‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ K0‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，列表确定基本事件，即可求出这2家中恰好中、小型企业各一家的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）K2=≈5.657，‎ 因为5.657＞5.024，‎ 所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中、小企业数之比为1：3，‎ 按分层抽样得到的8家中，中、小企业分别为2家和6家，‎ 分别记为A1，A2，B1，B2，B3，B4，B5，B6，把可能结果列表如下：‎ A1‎ A2‎ B1‎ B2‎ B3‎ B4‎ B5‎ B6‎ A1‎ ‎﹣‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ A2‎ ‎﹣‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ B1‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎﹣‎ B2‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎﹣‎ B3‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎﹣‎ B4‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎﹣‎ B5‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎﹣‎ B6‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎﹣‎ 结果总数是56，符合条件的有24种结果．（若用树状图列式是：）‎ 从8家中选2家，中、小企业恰各有一家的概率为=．…‎ ‎　‎ ‎19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E，F分别为PA、AC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求点F到平面ABE的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取AD中点G，并连接EG，FG，BD，根据中位线的平行性质，及线面平行、面面平行的判定定理即可判定平面EFG∥平面PAB，而EF⊂平面EFG，所以EF∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）容易说明PD⊥平面ABE，而取BE中点H，连接FH，则FH∥ED，所以FH⊥平面ABE，所以求线段FH的长度即是点F到平面ABE的距离．并且能得到FH=，而PD在直角三角形PAD中，由PA=AD=1，是可以求出来的．这样也就求出了点F到平面ABE的距离．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取AD中点G，连接EG，FG，BD则：‎ EG∥PA，FG∥AB；‎ PA⊂平面PAB，EG⊄平面PAB；‎ ‎∴EG∥平面PAB，同理FG∥平面PAB，EG∩FG=G；‎ ‎∴平面EFG∥平面PAB，EF⊂平面EFG；‎ ‎∴EF∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）PA=AD，E是PD中点，∴AE⊥PD，即PD⊥AE；‎ PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD；‎ ‎∴PA⊥AB，即AB⊥PA，又AB⊥AD；‎ ‎∴AB⊥平面PAD，PD⊂平面PAD；‎ ‎∴AB⊥PD，即PD⊥AB，AE∩AB=A；‎ ‎∴PD⊥平面ABE，取BE中点H，连接FH；‎ ‎∵F是BD中点，∴FH∥ED，∴FH⊥平面ABE，且FH=，又ED=；‎ ‎∴；‎ 在Rt△PAD中，PA=AD=1，∴PD=；‎ ‎∴FH=；‎ 即点F到平面ABE的距离为．‎ ‎　‎ ‎20．已知圆O：x2+y2=4，点A（，0），以线段AB为直径的圆O1内切于圆O，记点B的轨迹为Γ．‎ ‎（1）求曲线Γ的方程；‎ ‎（2）当OB与圆O1相切时，求直线AB的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设切点为P，连OO1，O1P，利用两圆相内切的性质可得：|OO1|+|O1P|=|OP|=2，取A关于y轴的对称点A′，连A′B，利用三角形的中位线定理可得：|A′B|+|AB|=2（|OO1|+|O1P|）=4．再利用椭圆的定义即可得出．‎ ‎（II）OB与圆O1相切，∴⊥．设B（x0，y0），可得+=0，又=1，解得B，再利用斜率计算公式、点斜式即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设切点为P，连OO1，O1P，‎ 则|OO1|+|O1P|=|OP|=2，‎ 取A关于y轴的对称点A′，连A′B，‎ 故|A′B|+|AB|=2（|OO1|+|O1P|）=4．‎ ‎∴点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为4的椭圆．‎ 其中，a=2，c=，b=1，‎ 则曲线Γ的方程为+y2=1．‎ ‎（Ⅱ）∵OB与圆O1相切，∴⊥．设B（x0，y0），‎ 则+=0，又=1，解得，．‎ ‎∴，kAB=或，则直线BA的方程为：．‎ 即x+y﹣=0或x﹣y﹣=0．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）a=2时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）利用导数的运算法则可得f′（x），分别解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出单调区间．‎ ‎（2）由（1）可知：f（1）min=f（1），可得．令，利用导数研究其单调性极值与最值可得：g（x）的最大值，即可得出．‎ ‎【解答】（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），又．‎ 当a=2时，．令f'（x）＞0，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1，‎ ‎∴f（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增．‎ ‎（2）证明：由（1）可知，f（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增．‎ ‎∴．‎ 即，∴．‎ 令，而g'（x）=（2﹣x）（e﹣x+1），‎ 易知x=2时，g（x）取得最大值，即．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ 四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D，A、B、C为切点，直线DO1与⊙O1与E、G两点，直线DO2交⊙O2与F、H两点．‎ ‎（1）求证：△DEF～△DHG；‎ ‎（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求的值．‎ ‎【考点】圆的切线的性质定理的证明；相似三角形的判定．‎ ‎【分析】（1）欲求证：△DEF～△DHG，根据AD是两圆的公切线得出线段的乘积式相等，再转化成比例式相等，最后结合角相等即得；‎ ‎（2）连接O1A，O2A，AD是两圆的公切线结合角平分线得到：AD2=O1A×O2A，设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，利用AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，分别用x表示出DE和DF，最后算出即可．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，‎ ‎∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，‎ ‎∴DE×DG=DF×DH，‎ ‎∴，‎ 又∵∠EDF=∠HDG，‎ ‎∴△DEF∽△DHG．‎ ‎（2）连接O1A，O2A，‎ ‎∵AD是两圆的公切线，‎ ‎∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，‎ ‎∴O1O2共线，‎ ‎∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，‎ ‎∴DG⊥DH，∴AD2=O1A×O2A，‎ 设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，‎ ‎∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，‎ ‎∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）‎ ‎∴DE=6x，DF=4x，∴．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知曲线E的极坐标方程为，倾斜角为α的直线l过点P（2，2）．‎ ‎（1）求E的直角坐标方程和直线l的参数方程；‎ ‎（2）设l1，l2是过点P且关于直线x=2对称的两条直线，l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点．求证：|PA|：|PD|=|PC|：|PB|．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线的直角坐标方程；由三角函数的关系求出直线l的参数方程即可；‎ ‎（2）利用韦达定理和弦长公式能求出|PA|•|PB|及|PC|•|PD|的值，从而证出结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵E的极坐标方程为，‎ ‎∴ρ2cos2θ=4ρsinθ，‎ ‎∴E：x2=4y（x≠0），‎ ‎∴倾斜角为α的直线l过点P（2，2），‎ ‎∴l：（t为参数） ‎ ‎（2）∵l1，l2关于直线x=2对称，‎ ‎∴l1，l2的倾斜角互补．设l1的倾斜角为α，则l2的倾斜角为π﹣α，‎ 把直线l1：（t为参数）代入x2=4y并整理得：‎ t2cos2α+4（cosα﹣sinα）t﹣4=0，‎ 根据韦达定理，t1t2=，即|PA|×|PB|=．‎ 同理即|PC|×|PD|==．‎ ‎∴|PA|×|PB|=|PC|×|PD|，‎ 即|PA|：|PD|=|PC|：|PB|．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．‎ ‎（Ⅰ）求m；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；‎ ‎（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；‎ 当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；‎ 当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．‎ 故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．‎ ‎（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），‎ 当且仅当a=b=c=时，等号成立．‎ 此时，ab+bc取得最大值=1．‎ ‎　‎ ‎2016年10月19日