2017-2018学年山东省蒙阴县第一中学高二上学期期中考试数学试题（学优部）
2017-2018 学年山东省蒙阴县第一中学高二上学期期中
考试数学试题（学优部）
考试时间：120 分钟；满分 150 分 2017.11
第一卷 选择题（共 60 分）
一、选择题（每题只有一个正确答案，12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．不等式 2 2 15 0x x 的解集是( )
A. { 5, 3}x x x 或
B. { | 3 5}x x C. R D.
2．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 4 88, 20S S ，则 13 14 15 16a a a a （ ）
A. 20 B. 16 C. 12 D. 8
3．设 a，b 为非零实数，且 a＜b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. a2＞a b B. a2＜b2 C. 2 2
1 1
a b
4．在 ABC 中，
02, 2, 45a b A ，则 B 等于（ ）
A.
045 B.
030 C.
060 D.
030 或 060
5．已知等比数列 满足 ，且成等差数列，则公比等于（ ）
A. 或 B. 或 C. D. []
6．下列函数中，最小值为 4 的是（ ）
A.
4y x x
B.
4sin siny x x
（0＜x＜π）
C. 4x xy e e D. y=
2
2
21
1
x
x
7．以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是（ ）
A. 在 ABC 中， : : sin :sin :sina b c A B C
B. 在 ABC 中，若sin 2 sin 2A B ，则 a b
C. 在 ABC 中，若sin sinA B ，则 A B ;若 A B ，则sin sinA B 都成立
D. 在 ABC 中， sin sin sin
a b c
A B C
8．已知
△
ABC 中，a= 3 ，b=1，B=30°，则
△
ABC 的面积是（ ）
A.
3
2 B.
3
4 C.
3
2 或 3 D.
3
2 或
3
4
9． ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知
25, 2,cos 3a c A
，
则b （ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
10．定义 1 2 n
n
p p p 为 n 个正数 1 2, , , np p p 的“均倒数”，若已知数列 na 的前 n 项
的“均倒数”为
1
2 1n ，又
1
4
n
n
ab
，则 1 2 2 3 2016 2017
1 1 1
bb bb b b
（ ）
A.
2013
2014 B.
2014
2015 C.
2015
2016 D.
2016
2017
11．若变量 满足约束条件，则 2z x y 的最大值和最小值的和为( )
A. 4 B. C. D.
12．已知数列 na 满足
2n
1 2 3 na a a ... a =2 (n∈N*)，且对任意 n N
都有
taaa n
＜111
21
，则 t 的取值范围为（ ）
A. （
1
3 ，+∞） B. [
1
3 ，+∞） C. （
2
3 ，+∞） D. [
2
3 ，+∞）
第二卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．在 ABC 中，角 A、B、C 所对边分别是 a、b、c，若 2 2 2 0a b c ab ，则角
C __________；
14 ． 数 列 na 的 前 n 项 和 为 nS ，
*
1 2 2 1001, 2, 1 1 ,n
n na a a a n N S 则
__________
15．如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D．测
得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=40 米，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°，则塔高 AB=_______
米. []
16．已知不等式
4 01x m x
对一切 1,x 恒成立，则实数 m 的取值范围是
__________．
三、解答题
17．(本题满分 10 分）
解下列关于 x 的不等式．
（1）
1 32
x
x
， （2） 2 22 0x ax a a R
18．(本题满分 12 分）
在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且满足
3cos sin3b a C c A
.
（1）求角 A 的大小；
（2）若边长 2a ，求 ABC 的面积的最大值.
19.(本题满分 12 分）
已知等差数列 na 的首项 1 1a ，公差 0d ，等比数列 nb 满足 1 1a b ， 2 2a b ，
5 3a b
（1）求数列 na ， nb 通项公式；
（2）设数列 nc 对任意 *n N ，均有
1 2
1
1 2
n
n
n
cc c ab b b
，求数列 nc 的前 2017 项和
2017S ．
20．(本题满分 12 分）
临沂市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充
入保护液体.该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容
积少 0.5 立方米，且每立方米液体费用 500 元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费
用与保护罩容积成反比，当容积为 2 立方米时，支付的保险费用为 4000 元.
（Ⅰ）求该博物馆支付总费用 y 与保护罩容积 x 之间的函数关系式；
（Ⅱ）求当容积为多少立方米时该博物馆支付总费用最小，其最小值是多少元？
21.(本题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， ，且
2 3 2
cos cos
a c b
A B
.
（1）若 5sinb B ，求 a ；
（2）若 6a ， ABC 的面积为
5
2 ，求 b c .
22．(本题满分 12 分）
已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a ，
*
1 2 1,n na S n N ．等 差数列 nb 中，
2 5b ，且公差 2d ．
（Ⅰ）求数列 ,n na b 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数 n ，使得 1 1 2 2 ... 60n na b a b a b n ＞ ?．若存在，求出 n 的最小值；若 不
存在，请说明理由．
参考答案
1--5 BACBA 6---10 CBDDD 11---12 BD
13． 3
14．2600 15． 20 6 16． 5m
17．试题解析：
x2﹣ax﹣2a2≤0（a∈R）
解：当 a=0 时，x2≤0， 解得 x=0----------------5 分
当 a≠0 时，原式
⇔
（x+a）（x﹣2a）≤0,
当 a＞0 时，-a<2a,解得-a2a,解得 2a
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