2019-2020学年山东省高一上学期选课走班第二次调考数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省高一上学期选课走班第二次调考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省高一上学期选课走班第二次调考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解出集合、，利用并集的定义可求出集合.‎ ‎【详解】‎ ‎，，因此，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查并集的计算，同时也考查了对数不等式和一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．下列说法中，正确的是（ ）‎ A．任意两个单位向量都是相等的向量 B．若，是平面内的两个不同的点，则 C．若向量，，则 D．零向量与任意向量平行 ‎【答案】D ‎【解析】A选项单位向量可能方向不同，B选项两个互为相反向量，C选项若是零向量不合题意，D选项正确.‎ ‎【详解】‎ 对于A，如果这两个向量的方向不同，则它们不相等，选项A错误；‎ 对于B这两个向量的方向相反，则它们不相等，选项B错误；‎ 对于C，若是零向量，则，可以不平行，选项C错误；‎ 规定零向量与任意向量平行.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查向量相关概念的辨析，关键在于熟练掌握向量相关基础知识.‎ ‎3．已知是非空集合，：，：，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】根据集合的运算关系分析两个条件的推出关系即可得解.‎ ‎【详解】‎ 若，则一定成立；‎ 若，则，则不一定是空集.‎ 故是的充分不必要条件.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确掌握充分条件与必要条件之间的推出关系，准确辨析即可得解.‎ ‎4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，，分别是的边，的中点，则（ ）‎ A．且 B．且 C．且 D．且 ‎【答案】B ‎【解析】根据方格中的点线位置关系判定是的中位线，根据中位线关系，结合勾股定理求解.‎ ‎【详解】‎ 因为是的中位线，所以，即.‎ 根据勾股定理可求得.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查向量关系的判定，通过向量关系求模长关系，利用勾股定理求线段长度.‎ ‎5．某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（ ）‎ A．甲景区月客流量的中位数为12950人 B．乙景区月客流量的中位数为12450人 C．甲景区月客流量的极差为3200人 D．乙景区月客流量的极差为3100人 ‎【答案】D ‎【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据茎叶图的数据：‎ 甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.‎ 甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.‎ ‎6．为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从500台取暖器中取50台进行检验，用随机数表抽取样本，将500台取暖器编号为001，002，…，500.下图提供了随机数表第7行至第9行的数据：‎ ‎82 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76‎ ‎63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79‎ ‎33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54‎ 若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据，则抽出第4台取暖器的编号为 A．217 B．206 C．245 D．212‎ ‎【答案】B ‎【解析】从第7行第4列开始向右依次读取3个数据，重复的去掉后可得.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据简单的随机抽样的方法，利用随机数表从第7行的第4列开始向右读取，依次为217，157，245，217，206，由于217重复，所以第4台取暖器的编号为206．选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查随机数表，属于基础题.‎ ‎7．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（ ）‎ A．“至少一个红球”与“至少一个黄球” B．“至多一个红球”与“都是红球”‎ C．“都是红球”与“都是黄球” D．“至少一个红球”与“至多一个黄球”‎ ‎【答案】B ‎【解析】A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确；‎ C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生.‎ ‎【详解】‎ 从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，‎ 各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，‎ ‎“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；‎ ‎“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；‎ ‎“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；‎ ‎“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义.‎ ‎8．甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（ ）‎ A．甲得分的平均数比乙的大 B．乙的成绩更稳定 C．甲得分的中位数比乙的大 D．甲的成绩更稳定 ‎【答案】B ‎【解析】根据图形中的数据，可求出甲乙的平均数，中位数，分析数据的离散程度，确定方差大小，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 甲、乙得分的平均数均为13，中位数均为13，‎ 甲得分的方差明显比乙大.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查数据的处理以及数据的分析，属于基础题.‎ ‎9．某社区组织“学习强国”的知识竞赛，从参加竞赛的市民中抽出40人，将其成绩分成以下6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中按分层抽样抽取8人，则第2，3，4组抽取的人数依次为（ ）‎ A．1，3，4 B．2，3，3 C．2，2，4 D．1，1，6‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据频率分布直方图计算出第2，3，4组的频率关系，根据比例关系求解.‎ ‎【详解】‎ 设第2，3，4组抽取的学生人数依次为，，，‎ 则，‎ 又，则，，.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 此题考查频率分布直方图，根据直方图求频率，根据各组的频率关系进行分层抽样计算抽取个数.‎ ‎10．已知函数，若在上恒成立，则a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】在上恒成立，则抛物线在间的部分都在轴上方或在轴上，只需最低点，即区间的两个端点满足即可，可得，求解即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 因为在上恒成立，‎ 所以解得.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式在给定区间恒成立，转为为二次函数图像特征，考查数形结合思想，属于基础题.‎ 二、多选题 ‎11．若函数在上是单调函数，则的取值可能是（ ）‎ A．0 B．1 C． D．3‎ ‎【答案】BC ‎【解析】根据函数的单调性求出a的取值范围，即可得到选项.‎ ‎【详解】‎ 当时，为增函数，‎ 所以当时，也为增函数，‎ 所以，解得.‎ 故选：BC ‎【点睛】‎ 此题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，易错点在于忽略掉分段区间端点处的函数值辨析导致产生增根.‎ ‎12．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，总有，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】CD ‎【解析】根据得在上是增函数，结合是偶函数，得关于直线对称，在上是增函数，即可判定选项.‎ ‎【详解】‎ 因为对任意的，有，‎ 不妨设，因为，所以，‎ ‎，‎ 所以在上是增函数，‎ 所以在上是增函数.因为是偶函数，所以的图象关于 轴对称，故的图象关于直线对称，所以，，则.‎ 故选：CD ‎【点睛】‎ 此题考查函数单调性的判断，根据奇偶性判断函数的对称性，对性质综合应用进行函数值的大小比较.‎ ‎13．已知函数,若关于x的方程有8个不同的实根，则a的值可能为（ ）.‎ A．-6 B．8 C．9 D．12‎ ‎【答案】CD ‎【解析】分的不同进行讨论再数形结合分析即可.‎ ‎【详解】‎ 当时, 仅一根,故有8个不同的实根不可能成立.‎ 当时, 画出图象,当时, ,,‎ 又有8个不同的实根,故有三根,且.‎ 故.又有三根, 有两根,且满足.‎ 综上可知,.‎ 故选：CD ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数形结合以及分类讨论求解的方法,需要根据题意将复合函数零点分步讨论,属于中等题型.‎ 三、填空题 ‎14．已知，则的最小值为______.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】根据题意，，利用基本不等式或勾型函数求最值.‎ ‎【详解】‎ 法一：，当且仅当，即时取等号.‎ 法二：根据勾型函数性质在递减，在递增，时取得最小值7.‎ 故答案为：7‎ ‎【点睛】‎ 此题考查求函数的最值，根据函数单调性求最值，或根据基本不等式求最值，注意考虑最值取得的条件.‎ ‎15．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A为“正面朝上的点数为3”，事件B为“正面朝上的点数为偶数”，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别求出事件发生的概率，再根据事件A与事件B互斥，由互斥事件概率关系，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，事件A与事件B互斥，‎ 则.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查互斥事件并事件发生的概率，解题的关键判断出事件间的关系，属于基础题.‎ ‎16．第28届金鸡百花电影节将在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映．若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为 _____．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】首先根据题意，列举出从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况，共10种情况，其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种，根据古典概型概率计算公式即可求结果.‎ ‎【详解】‎ 从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为（《南方车站的聚会》，《春江水暖》），（《南方车站的聚会》，《第一次的离别》），（《南方车站的聚会》，《春潮》），（《南方车站的聚会》，《抵达之谜》），（《春江水暖》，《第一次的离别》），（《春江水暖》，《春潮》），（《春江水暖》，《抵达之谜》），（《第一次的离别》，《春潮》），（《第一次的离别》，《抵达之谜》），（《春潮》，《抵达之谜》），共10种情况，其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的有7种，故所求概率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型概率的计算，属于基础题.‎ ‎17．已知函数，，若函数，则______，的最大值为______.‎ ‎【答案】0 6 ‎ ‎【解析】①计算出，，根据函数关系即可得值；‎ ‎②作出函数图象即可得到最值.‎ ‎【详解】‎ ‎①因为，，所以.‎ 画出函数的图象（实线部分），由图象可得，当时，取得最大值6.‎ 故答案为：①0；②6‎ ‎【点睛】‎ 此题考查函数新定义问题，关键在于读懂定义，根据定义求解，数形结合处理最值更加直观，减少计算量.‎ 四、解答题 ‎18．已知集合或,.‎ ‎(1)当时,求;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或;(2).‎ ‎【解析】（1）计算，或，再计算得到答案.‎ ‎（2）根据得到，故或，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为,所以,即,‎ 当时,或,所以或.‎ ‎(2)因为,所以, ,‎ 则或,即或,‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.‎ ‎19．（1）求值.‎ ‎（2）已知，证明：.‎ ‎【答案】（1）7；（2）见解析 ‎【解析】（1）根据对数运算法则化简求值；‎ ‎（2）利用作差法证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式.‎ ‎（2）证明：因为，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查对数的计算综合运用，关键在于熟练掌握对数的运算法则和相关公式，第二问考查证明不等式，常用作差法证明.‎ ‎20．为了了解学生的学习情况，一次测试中，科任老师从本班中抽取了n个学生的成绩（满分100分，且抽取的学生成绩均在内）进行统计分析.按照，，，，，的分组作出频率分布直方图和频数分布表.‎ 频数分布表 x ‎4‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎（1）求n，a，x的值；‎ ‎（2）在选取的样本中，从低于60分的学生中随机抽取两名学生，试问这两名学生在同一组的概率是多少？‎ ‎【答案】（1），，；（2）‎ ‎【解析】（1）根据频数和频率的关系，求出样本总数，求出的频率，即可求出，再由样本和为，求出；‎ ‎（2）两组中的学生人数分别为2，4，将6人按组编号，列出从6人中抽取2人的所有基本事件，确定满足条件的基本事件的个数，由古典概型的概率公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意知，样本容量，‎ ‎，‎ 又，解得.‎ ‎（2）由频数分布表可知 两组中的学生人数分别为2，4，‎ 将组中的学生标记为A，B，‎ 组中的学生标记为a，b，c，d.‎ 在这两组中的学生中随机抽2名学生有如下情形：‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，共有15个基本事件.‎ 其中两名学生在同一组的情形：，，，‎ ‎，，，，共有7个基本事件.‎ 即这两名学生在同一组的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查补全频率分布直方图和分布表，考查古典概型的概率，属于基础题.‎ ‎21．某校针对校食堂饭菜质量开展问卷调查，提供满意与不满意两种回答，调查结果如下表（单位：人）：‎ 学生 高一 高二 高三 满意 ‎500‎ ‎600‎ ‎800‎ 不满意 ‎300‎ ‎200‎ ‎400‎ ‎（1）求从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率；‎ ‎（2）从参与调查的高三学生中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求这两人对校食堂饭菜质量都满意的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）高三人数除以全校总人数即是所求概率；‎ ‎（2）采用分层抽样的6人中结果满意的4人，不满意的2人，分别求出基本事件总数和两人都是满意所包含的基本事件个数，即可得到概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得该校学生总人数为人，‎ 则从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率.‎ ‎（2）依题意可得，从调查结果为满意的高三学生中应抽取人，设为，，，；从调查结果为不满意的高三学生中应抽取人，设为，.‎ 从这6人中任意选取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15种.‎ 设表示事件“两人都满意”，则事件包含的基本事件有，，，‎ ‎，，，共6种.‎ 故所求概率.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件的个数，其中涉及分层抽样，考查概率与统计知识的综合应用.‎ ‎22．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量,可由函数模型给出,其中n是指改良工艺的次数.‎ ‎（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;‎ ‎（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.‎ ‎（参考数据:取）‎ ‎【答案】（1） （2）6次 ‎【解析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；‎ ‎（2）结合题意解指数不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）由题意得,,‎ 所以当时,,‎ 即,解得,‎ 所以,‎ 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.‎ ‎（2）由题意可得,,‎ 整理得,,即,‎ 两边同时取常用对数,得,‎ 整理得,‎ 将代入,得,‎ 又因为,所以.‎ 综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.‎ ‎23．已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎(1)证明:在上单调递增；‎ ‎(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）用增函数定义证明；‎ ‎（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，‎ 则 ‎，‎ ‎∵，∴，，∴，即，‎ ‎∴在上单调递增；‎ ‎（2）总存在，对任意都成立，即 ‎，‎ 的最大值为，‎ 是偶函数，在是增函数，∴当时，，‎ ‎∴，整理得，，‎ ‎∵，∴，即，∴，∴．即的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，‎ 如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，‎ 如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，‎ 如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．‎