河北省承德第一中学2019-2020学年高一下学期第4次月考数学试题

河北省承德第一中学2019-2020学年高一下学期第4次月考数学试题

承德一中高一年级数学周测试题（4） 答题须知：大部分题目均有改动，请认真作答。如发现扫题迹象，直接 0 分，不接受成绩申诉，特此声明！ 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知，，那么 a，b，，的大小关系是 A. B. C. D. 2. 已知是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是 A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 3. 若直线平面，则 a 平行于平面内的 A. 一条确定的直线 B. 所有的直线 C. 无穷多条平行的直线 D. 任意一条直线 4. 已知，则的最小值为 A. B. 2 C. 0 D. 5. 在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为 1，则与侧面所成角的大小为 A. B. C. D. 6. 圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为的扇形，则圆锥的表面积 A. B. C. D. 7. 在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的外接圆面积 为 A. B. C. D. 8. 在中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，若，且，则 tan tanA B  （ ） A. 1 B. 1 C. 1 2 D. 1 2 9. 设等比数列的前 n 项和为，若，则 A. B. C. D. 10. 如图所示，在长方体中，若，E，F 分别是，的中点，则下列结论中一定不成立的是 ①与垂直； ②平面； ③与所成的角为； ④平面． A. ②③ B. ①④ C. ③ D. ② 11. 已知数列：，，，，，那么数列前 50 项的和为 A. 50 51 B. 200 51 C. 49 50 D. 196 50 12. 已知四面体 ABCD 中，平面平面 BCD，为边长 2 的等边三角形，，，则 异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 直线 l 的一个方向向量为，直线的一个方向向量为若，则_____ 14. 若不等式的解集是，则不等式的解集为__________． 15. 数列{ }na 的通项，则数列{ }na 中的最大项的值是________． 16. 在中，已知，，D 是斜边 AB 上任意一点如图，沿直线 CD 将折成直二面角如图若折叠后 A，B 两点间 的距离为 d，则 d 的最小值为__________． 三、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，其它各题 12 分，共 70 分） 17. 已知函数． 当时，解不等式； 已知，的解集为，求的最小值． 18. 如图，在正方体中，E、F、P 为棱 AD、AB、的中点． 求证：平面平面． 求证：平面平面． 19. 如图，在四棱锥中，底面 ABCD 是正方形．点 M 是棱 PC 的中点，平面 ABM 与棱 PD 交于点 N． 1 求证：； 2 若，且平面平面 ABCD，求证：平面 PCD． 20. 已知分别为内角的对边， ． 求 A． 已知点 D 在边 BC 上，，求 AD． 21. 在四棱锥中，平面 ABCD，，，，，M 为棱 PD 上的点． 1 若，求证：平面 ACM； 2 若 M 是 PD 的中点，求直线 PB 与平面 ACM 所成角的正弦值． 22. 已知数列中，，． 证明为等比数列并求其通项公式； （2）求数列的通项公式； 若，求数列的前 n 项和。 高一数学周末测试（4）参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1.【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查了比较大小，属于基础题． 利用不等式的性质是解决本题的关键． 【解答】 解：因为，， 所以且， 故， 故选 B． 2．【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了空间中的线面关系，处理此类问题，往往要求掌握空间中线面关系的判定定理及性质，然后再 结合模型处理，属基础题． 一一判断即可． 【解答】 解：若 ，则或或 m 与相交但不垂直，故 A 错误； 若， ，则，故 B 正确； 若， ，则 n 与的位置关系不确定，故 C 错误； 若，则 m 与 n 可能平行、相交或异面，故 D 错误． 故选 B． 3.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查线面平行性质定理的应用，属基础题． 利用线面平行性质定理判断． 【解答】 解：过直线 a 的平面与平面的交线都与 a 平行，所以正确选项为 C． 故选 C． 4.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查基本不等式的知识，属于基础题． 变形，利用基本不等式的性质即可得出最小值． 【解答】 解：， 则 ， 当且仅当时取等号， 的最小值为 0． 故选 C． 5.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运 算求解能力、空间想象能力，是中档题． 取 AC 中点 D，连接，BD，则是与侧面所成的角，由此能求出与侧面所成的角． 【解答】 解：取 AC 中点 D，连接，BD， 正三棱柱的底面是边长为 1 的正三角形，侧棱长为， ， 在平面中， 平面， 是与侧面所成角． ，， ， ， ， 与侧面所成角为． 故选 D． 6.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 设此圆锥的底面半径，先求圆锥的侧面积，再求底面积，由此能求出此圆锥的表面积． 【解答】 解：设圆锥的底面半径长为 r，则 ， ， 这个圆锥的侧面积为， 底面积为， 所以这个圆锥的表面积为． 故选 D． 7.【答案】A 【解析】【分析】 本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 设的外接圆半径为 R，由余弦定理化简已知可得，利用正弦定理可求 ，解得，即可得解的外 接圆面积． 【解答】 解：设的外接圆半径为 R， ， 由余弦定理可得： ， 由正弦定理可得， ，解得， 的外接圆面积为． 故选 A． 8. 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了正弦定理，同角三角函数关系，是基础题． 利用了正弦定理推出 ，然后将全部用 A 来表示 【解答】 解：因为 ， 所以 ， 因为，所以， 故 sin( A)sin sin cos2tan tan 1cos cos sincos( A)2 A A AA B A A A           9.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查等比数列的性质，属于基础题． 利用为等比数列即可求解． 【解答】 解：由等比数列的性质：，也成等比数列， 所以设， 所以 ， 所以， 所以． 故选 B． 10.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查空间中直线与平面的位置关系，直线与平面平行判定，直线与平面垂直的性质，异面直线所成的 角的求法，考查空间想象能力，是基础题． 观察长方体的图形，连，运用中位线定理推出，结合线面平行和垂直的判定定理和性质定理，分析判断正 误；利用异面直线所成的角判断的正误． 【解答】 解：连，则交于 E 且 F 为中点， 可得，由平面，可得， 可得，故正确； 对于，不垂直平面，又， 所以 EF 不垂直于平面故不正确； 对于，EF 与所成角就是，因为不确定的大小，无法求得角度，故不正确； 对于，，平面，平面， 所以平面，故正确； 故答案为：D． 11.【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查数列中的裂项求和法，基础题型． 先求出数列的通项公式，再根据裂项求和即可． 【解答】 解：数列的通项公式为， 则数列的通项公式为， 其前 50 项的和为， 故选 B． 12.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查异面直线的夹角，属于中档题． 通过平移法求解异面直线所成角即可． 【解答】 解：如图 过 D 作 DE 垂直 AB 于点 E，过 E 作，交 AD 与点 F，过 F 作，交 CD 于点 G， 因为平面平面 BCD， 平面平面，，CD 在平面 BCD 内， 所以平面 ABD，AD，DE 在平面 ABD 内，所以，， 结合所给数据易知，，，所以， 所以 ，所以异面直线 AC 与 BD 所成角为其补角， 所以异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为， 故选 A． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13．【答案】 【解答】 解：由题意，若，则， 可得， 解得． 故答案为． 14.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的灵活应用问题，是基础题目． 根据不等式的解集得出，与的值，把不等式化为，从而得出不等式的解集． 【解答】 解：不等式的解集是， ，且对应方程的实数根是和 1， 由根与系数的关系，得 即，； ，且，， 不等式可化为， 解得； 该不等式的解集为． 故答案为． 15.【答案】9 【解析】【分析】 本题考查数列的通项公式和数列的函数特征，属于基础题． 化简通项公式为，利用二次函数的特征即可求出结果． 【解答】 解： ， 又， 当时，取得最大值为 9． 故答案为 9． 16.【答案】 【解析】【分析】 本题考查平面与平面的位置关系，考查两条异面直线上两点间的距离，属于中档题． 过 A 作 CD 的垂线 AG，过 B 作 CD 的延长线的垂线 BH，设，利用两条异面直线上两点间的距离转化为含 有的三角函数求得最值． 【解答】 解：如图，过 A 作 CD 的垂线 AG，过 B 作 CD 的延长线的垂线 BH， 由题意可得平面平面 ACD，且平面平面， 因为平面 ACD，平面 BCD， 所以平面 BCD，平面 ACD． 设，则 ， 则，，，， ， 当 ，即 CD 为的角平分线时，d 取得最小值， 故答案为． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17.【答案】解：由题意可得， 则，即， 解得， 所以的解集为； 由题意可知，m、n 为的两根， 所以， 所以，， ，当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为 2． 【解析】本题考查了一元二次不等式的解法和利用基本不等式求最值，还用到了二次函数性质及一元二次 方程的根与系数的关系的知识，是基础题． 由题意可得，解得． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，故，即可求出最终答案． 18.【答案】【解答】 证明：连接 BD ，如图： 在正方体中， ，， 四边形为平行四边形， ， 又 E，F 为中点， ， ， 面，面， 面， 同理：面，， 平面面． 在正方体中， 平面，而平面， ， 又在正方体中， ， 1 1 1,A A AC  平面 1 1CAAC ,， 平面， 又平面， 平面 平面． 【解析】本题主要考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的判 定定理，属于中档题． 欲证面面平行，只需证明平面 HEF 内两条相交直线 EF、FH 平行于平面即可． 欲证面面垂直，只需证明平面内直线垂直平面内两条相交直线即可． 19.【答案】解：Ⅰ证明：因为底面 ABCD 是正方形， 所以， 又因为平面 PCD，平面 PCD， 所以平面 PCD， P 又因为 A，B，M，N 四点共面，且平面平面，平面 ABMN， 所以． Ⅱ证明：在正方形 ABCD 中，， 又因为平面平面 ABCD，且平面平面，平面 ABCD， 所以平面 PAD， 又平面 PAD， 所以， 由Ⅰ可知， 又因为，所以， 由点 M 是棱 PC 中点，所以点 N 是棱 PD 中点， 在中，因为， 所以， 又因为，PD，平面 PCD， 所以平面 PCD． 【解析】本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判定，考查学生分析解决问 题的能力，属于中档题． Ⅰ先证明平面 PCD，即可证明； Ⅱ利用平面平面 ABCD，即可证明，再证明，进而即可证明平面 PCD． 20.【答案】解：在中，由余弦定理得， ， 化简得，， ， 又， ． 依题意，， 在中，由正弦定理得， ，即 ， 解得 ， 又，， ， ， ， 在中，由余弦定理得， ， 即， ． 【解析】本题考查正余弦定理在解三角形中的运用，考查常见三角函数的值，属于较易题． 由余弦定理有， ，得，进而可求得 A； 在中，由正弦定理可解得 ，得，进而可得，在中，再运用余弦定理即可得解． 21.【答案】证明：连接 BD，交 AC 于点 F，连接 FM. ，，， ， ， ， ，又平面 ACE，平面 ACM， 平面 ACM； 解：作，由知， 与平面 ACM 所成的角的正弦值等于与平面 ACM 所成的角 的正弦值，不妨 设为， 由勾股定理可得，，则， ， 平面 ABCD，AC、BC、平面 ABCD， ，，， 又，PC、平面 PCD， 平面 PCD，即平面， 由勾股定理得，， 在直角中，M 为 PD 的中点， ， ， ． 设点到平面 ACM 的距离为 d，由可得， 解得． 又， ． 【解析】本题主要考查线面平行的证明，线面角的求法，棱锥的体积公式，属于较难题． 利用对应线段成比例，证明，从而证明线面平行； 由线面平行将原问题转化为与平面 ACM 所成的角的正弦值，然后运用等体积法求出距离即可求出线面角的 正弦值． 22.【答案】解：依题意，， 故， 故是以 3 为首项，3 为公比的等比数列， 故 依题意， ， 累加可得，， 故时也适合； （3）， 故， 当 n 为偶数时，； 当 n 为奇数时，为偶数， ； 综上所述， 【解析】本题主要考查数列通项公式，数列求和的求解，属于基础题． 构造法求数列的通项公式． 分类讨论，数列求和．