专题65 几何概型 -2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题65 几何概型 -2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题65几何概型 最新考纲 ‎1.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.‎ ‎2.了解几何概型的意义.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．‎ ‎2．在几何概型中，事件A的概率的计算公式 P(A)＝.‎ ‎3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 ‎(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；‎ ‎(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．‎ ‎4．随机模拟方法 ‎(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．‎ ‎(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝作为所求概率的近似值．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】与长度、角度有关的几何概型 ‎【典型例题】‎ 在区间（0，6）中任取一个实数a，使函数f（x），在R上是增函数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x），在R上是增函数，‎ ‎∴，解得1＜a≤2，‎ ‎∴由几何概型得从区间（0，6）中任取一个值a，‎ 则函数f（x）是增函数的概率为p．‎ 故选：A． 【再练一题】‎ 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠A＝120°，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：在△ABM中，AM，‎ 即BM＝AM，‎ 则∠BAM＝30°，‎ 则BM的概率，‎ 故选：A． 思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．‎ ‎【题型二】与面积有关的几何概型 命题点1　与平面图形面积有关的问题 ‎【典型例题】‎ 如图，在区域：x2+y2≤4内取一点，则该点恰好取自阴影部分（阴影部为“x2+y2≤‎4”‎与“（x﹣1）2+（y﹣1）2≤‎2”‎的公共部分）的概率是（　　）‎ A． B．‎1‎ C．1 D．‎ ‎【解答】解：阴影部分面积为圆“（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2的半圆和圆x2+y2＝4的弓形面积之和，‎ 即（）2π×22﹣2＝2π﹣2，‎ 故所求概率为．‎ 故选：A． 【再练一题】‎ 黄金矩形是宽（b）与长（a）的比值为黄金分割比的矩形，如图所示，把黄金矩形ABCD分割成一个正方形ADEF和一个黄金矩形BCEF，再把矩形BCEF分割出正方形CEGH．在矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【解答】解：设AB＝a，BC＝b，则面积S＝ab，且，‎ 由题意可知，正方形CEGH的边长CE＝a﹣b，其面积为S′＝（a﹣b）2，‎ 矩形ABCD内任取一点，则该点取自正方形CEGH内的概率P，‎ ‎，‎ 故选：C． ‎ 命题点2　与线性规划知识交汇命题的问题 ‎【典型例题】‎ 已知正数a，b均小于2，若a、b、2能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形的三条边长的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：0＜a＜2，0＜b＜2，a，b，c能作为三角形的三条边长，则，它们能构造钝角三角形的三边长，则，‎ 如图：表示的图形的面积为2，‎ 表示图形的面积为π×222×2＝π﹣2，‎ 所以根据几何概型可得所求概率为1．‎ 故选：B．‎ ‎ 【再练一题】‎ 在长为2的木棍上随机选择一点切断为两根，它们能够与另一根长为1的木棍组成三角形的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设将长为2的木棍上随机选择一点切断为两根，两根长度分别为x、2﹣x，‎ 它们能够与另一根长为1的木棍组成三角形，‎ 则有，解得：，‎ 设“它们能够与另一根长为1的木棍组成三角形”为事件A，‎ 由几何概型中的线段型可得：‎ P（A），‎ 故选：C． 命题点3　与定积分交汇命题的问题 ‎【典型例题】‎ 如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，‎ 由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω），‎ 满足所投的点落在阴影图内所对应的几何度量：‎ S（A）（cosx﹣sinx）dx＝（sinx+cosx）1；‎ 所以P（A）．‎ 故选：B． 【再练一题】‎ 如图，矩形ABCD中曲线的方程分别是y＝sinx，y＝cosx，在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：结合正、余弦函数的图象可知，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故在矩形OABC内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为．‎ 故选：A．‎ ‎ 思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．‎ ‎【题型三】与体积有关的几何概型 ‎【典型例题】‎ 有一个边长为‎2米的正方体房间，每个墙角都安装有一个可消灭周围‎1米范围内的蚊子的灭蚊器（自身体积可忽略），若一只蚊子随机出现在该房间的某处，则它被灭蚊器消灭的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由题意可知，此概型为几何概型中的体积型，‎ 设“蚊子被灭蚊器消灭”为事件A，‎ 由球的定义知：墙角安装有一个可消灭周围‎1米范围内的蚊子的灭蚊器，‎ 其覆盖区域为个以正方体顶点为球心，1为半径的球体，正方体的8个顶点覆盖区域合计为1个球体，‎ 则P（A），‎ 故选：A． 【再练一题】‎ 有一杯‎2升的水，其中含有1个细菌，用一小杯从水中取‎0.1升水，则所取水中含有这个细菌的概率是（　　）‎ A．0.01 B．‎0.02 ‎C．0.05 D．0.1‎ ‎【解答】解：根据题意，水杯中有水两升，其中含有1个细菌，‎ 而从中用一小杯从水中取‎0.1升水，‎ 则小杯中含有这个细菌的概率为：．‎ 故选：C． 思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．‎ 基础知识训练 ‎1．在区间内任取一个实数，则此数大于2的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据几何概型可知，所求概率为：‎ 本题正确选项：‎ ‎2．已知扇形（为圆心）对应的圆心角为，点在弧上，且，则往扇形内投掷一点，该点落在内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设扇形的半径为，则 又 ‎ 则该点落在内的概率为：‎ 本题正确选项：‎ ‎3．在区间上任取一个实数，则的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由已知区间[1，10]上任取一个实数x，对应集合的区间长度为9，‎ 而满足的x3，对应区间长度为2，所以所求概率是；‎ 故选：B．‎ ‎4．如图所示，椭圆内切于矩形，其中矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300粒黄豆，落在椭圆内的黄豆数为204粒，以此实验数据为依据，可以估计出椭圆的面积约为（　　）‎ A．7.68 B．‎8.68 ‎C．16.32 D．17.32‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设椭圆面积为s，∵椭圆内切于矩形，其中矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300粒黄豆，落在椭圆内的黄豆数为204粒，‎ ‎∴，以此实验数据为依据，可以估计出椭圆的面积约为：．‎ 故选：C．‎ ‎5．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马中，为阳马中最长的棱，，若在阳马的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据题意，的长等于其外接球的直径，因为，∴，∴，又平面，所以，‎ ‎∴.‎ ‎6．‎1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设，在梯形中随机取一点，则此点取自等腰直角中（阴影部分）的概率是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 在直角中，，‎ 则，故选C.‎ ‎7．如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知，，在上任取一点，则此点取自正方形的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由图形得，为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知，，‎ 设CD＝，由DE∥BC则有，即，解得x＝，‎ 设在△ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC为事件A，‎ 由几何概型中的面积比得：P（A）＝＝.‎ 故选：C．‎ ‎8．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如下图所示：‎ 设长方形的长为，宽为，则 阴影部分的面积 所求概率为：‎ 本题正确选项：‎ ‎9．某变量的总体密度曲线为，变量的总体密度曲线为，在同一直角坐标系中作两曲线如图所示，图中两阴影区域记作I，II，在矩形区域中任取一点，则点落在区域I或II的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可得，区域Ⅰ的面积：‎ ‎.‎ 区域Ⅱ的面积：‎ ‎，‎ 则点落在区域I或II的概率为.‎ 故选：B.‎ ‎10．如图所示，在内随机选取一点，则的面积不超过四边形面积的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由于的面积等于四边形面积时，是面积的一半，此时点在三角形的中位线上，如图所示，当在中位线下方时，满足“的面积不超过四边形面积”.根据面积比等于相似比的立方可知.所以根据几何概型概率计算公式由.故选D.‎ ‎11．已知平面区域，直线和曲线有两个不的交点，它们围成的平面区域为，向区域Ω上随机投一点 ，点落在区域内的概率为．若，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意知，平面区域，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，‎ 又由直线过半圆上一点，‎ 当时直线与轴重合，此时，故可排除，‎ 若，如图所示，可求得，‎ 所以的取值范围为．‎ ‎12．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，边长为2的正方形的孔的面积为，‎ 又由半径为2的圆形纸板的面积为，‎ 根据面积比的几何概型，可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为，‎ 故选D.‎ ‎13．已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5．在矩形内随机地撒1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为________．‎ ‎【答案】33‎ ‎【解析】‎ 设阴影部分面积为 由几何概型可知：，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎14．在区间内任取一个实数，则实数落在区间的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 区间长度为，区间长度为，则由几何概型可知长度的比值为概率，所以 ‎15．一根绳子长为‎5米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于‎3米的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，将‎5米长的绳子剪为两段，有一段大于‎3米的概率为.‎ 故答案为 ‎16．对任意，的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设事件，则构成区域的长度为，‎ 所有的基本事件构成的区域的长度为，故.‎ 故答案为：．‎ ‎17．如图所示，阴影部分由函数图像与轴围成，向正方形中投掷一点，该点落在阴影区域的概率为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 解：根据题意，‎ 阴影部分的面积为，‎ 根据几何概型得，向正方形中投掷一点，该点落在阴影区域的概率为.‎ ‎18．点为周长等于的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点，则劣弧的长度小于的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图所示，取M，N与A将圆弧进行三等分，‎ 则劣弧，‎ ‎∴当B落在上时符合题意，‎ ‎∴劣弧的长度小于的概率为，‎ 故答案为：．‎ ‎19．记函数的定义域为，在区间上随机取一个数，则的概率为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 由题可知的定义域为解得范围是：，区间长度为，而区间的长度为，所以概率是.‎ 故答案为：.‎ ‎20．如图，在边长为3的正方形内有一个阴影部分，某同学利用随机模拟的方法求阴影部分的面积.若在正方形内随机产生10000个点，并记录落在阴影部分内的点的个数有3000个，则该阴影部分的面积约为_______.‎ ‎【答案】2.7‎ ‎【解析】‎ 设阴影部分的面积为，由题意得，若在正方形内随机产生10000点，落在阴影部分内的点有3000个，则，解得.‎ ‎21．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒100粒豆子，落在阴影区域内的豆子共60粒，据此估计阴影区域的面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，豆子落在阴影区域的概率约为，‎ 设阴影区域的面积为，‎ 则，即.‎ 故答案为 ‎22．在中任取一实数作为，则使得不等式成立的概率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 依题意，，故所求概率.故答案为：.‎ 能力提升训练 ‎1．如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设圆的半径为2，阴影部分为8个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为,则，圆的面积为，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是，则,故本题选D.‎ ‎2．如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边角形的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题，，可得，AD=4，且 ‎ 所以在三角形ADB中， ‎ 解得AB= ‎ 所以概率为 ‎ 故选：A ‎3．如图，在边长为2的正方形中，随机撒1000粒豆子，若按π≈3计算，估计落到阴影部分的豆子数为（　　）‎ A．125 B．‎150 ‎C．175 D．200‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意知圆的半径为1，则圆的面积近似为3，‎ 又正方形面积为4，则阴影部分面积为.‎ 设落到阴影部分的豆子数为，‎ 则．‎ 故选：A．‎ ‎4．设函数，若从区间上任取一个实数，则所选取的实数满足的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意，函数，‎ 令，即，解得，‎ 根据长度比的几何概型可得概率为，故选C．‎ ‎5．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图：设，以为圆心的扇形面积是，‎ 的面积是，‎ 所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，‎ 即，‎ 所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是 ‎，故选B.‎ ‎6．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ）‎ A．0.18 B．‎0.32 ‎C．0.36 D．0.64‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设305路车和202路车的进站时间分别为、，设所有基本事件为 ,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件，则,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则，则.‎ 选.‎ ‎7．如图所示，在一个边长为3的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有150粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设阴影部分的面积为x，‎ 则，‎ 解得x．‎ 故答案为：．‎ ‎8．谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle）是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，如图先作一个三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么灰色三角形为剩下的面积（我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形）．若通过该种方法把一个三角形挖3次，然后在原三角形内部随机取一点，则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：由图可知每次挖去的三角形的面积为上一次剩下的面积的，‎ ‎∴每次剩下的面积为上一次剩下的面积的，‎ 设最初的面积为1，则挖3次后剩下的面积为，‎ 故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为，‎ 故答案为：‎ ‎9．如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为_________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由图象可知，直线方程为：‎ 则阴影部分面积为：‎ 所求概率 本题正确结果：‎ ‎10．如图所示，在正方形内，随机投入一个质点，则所投质点恰好落在与轴及抛物线所围成的区域内的概率是______________． ‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 由题设正方形的边长为2，则阴影部分的面积为，‎ 故所投质点恰好落在与轴及抛物线所围成的区域内的概率是.‎ 故答案为：. ‎