专题11-3 热点题型二 几何概型-《奇招制胜》2017年高考数学（文）热点+题型全突破

专题11-3 热点题型二 几何概型-《奇招制胜》2017年高考数学（文）热点+题型全突破

近年来在高考中对几何概型的考查逐渐成为热点，主要考查学生统计与概率思想， 转化能力即将所求事件的概率计算转化为对应事件的“测度”；如长度、面积、体 积、角度等的比值来求解。题目难度为中等。为了便于学习和掌握此类问题的求解 方法,下面结合高考题进行了以下归纳： 类型一 几何概型 类型二 几何概型的交汇命题 【基础知识整合】 第一部分：概率的概念与性质 1.概率和频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事 件 A 出现的次数 nA 为 事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝nA n 为事件 A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳 定于概率 P(A)，因此可以 用频率 fn(A)来估计概率 P(A)． 2.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 若事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包 含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) B ⊇ A (或 A ⊆ B) 相等关系 若 B ⊇ A，且 A ⊇ B，那么称事件 A 与事件 B 相等 A＝B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，则 称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) A∪B (或 A＋B) 交事件 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则 A∩B(或 AB) (积事件) 称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) 互斥事件 若 A∩B 为不可能事件，那么称事件 A 与事件 B 互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A∩B＝∅且 A∪B＝Ω 3.概率的几个基本性质： (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率 P(E)＝1. (3)不可能事件的概率 P(F)＝0. 4．互斥事件概率的加法公式 (1)若事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； (2)若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)＝1－P(B)． 名师点睛：(1)从集合的角度理解互斥事件和对立事件： ①几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空 集． ②事件 A 的对立事件 A－所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果 组成的集合的补集． (2)概率加法公式的推广：当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用 到概率加法公式的推广，即 P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 第二部分：几何概型 1.几何概型的定义；如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体 积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何 概型． 2.几何概型的两个基本特点： （1）无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． （2）等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3.几何概型的概率公式；P(A)＝ 构成事件 A 的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) . 名师点睛：几何概型的两种类型： (1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时的概型． (2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为 一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区 域，即可借助平面区域解决。 类型一 几何概型 【典例 1】【2014 辽宁高考文 6】若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB ＝2，BC＝1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( ) A.π 2 B.π 4 C.π 6 D.π 8 【答案】B 考点；几何概型． 【思路点拨】本题考查几何概型.通过计算基本事件及基本事件空间的几何度量，利用几何概型 概率的计算公式求解.本题属于基础题，难度不大，关键是要理解几何概型的概念， 正确计算几何度量. 【典例 2】【2014 高考重庆文 15】某校早上 8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 7:30—7:50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小 王至少早 5 分钟到校的概率为_____（用数字作答） 【答案】 9 32 考点：几何概型. 【思路点拨】本题考查了几何概率的求法，本题属于基础题，注意将时间型的概率转化为几何 概率来 求解时关键. 【变式训练】 1．【2014 湖南文 5】在区间[ 2,3] 上随机选取一个数 X ，则 1X  的概率为（ ） 4. 5A 3.5B 2. 5C 1.5D 【答案】B 【解析】在 2,3 上符合 1X  的区间为 2,1 ,因为区间 2,3 的区间长度为且区间 2,1 的区间长度为,所以根据几何概型的概率计算公式可得 3 5P  ,故选 B. 考点；几何概型 2.【2017 兰州模拟】已知一只蚂蚁在边长分别为 5,12,13 的三角形的边上随机爬行， 则其恰在离三个顶点的距离都大于 1 的地方的概率为( ) A.4 5 B.3 5 C. π 60 D.π 3 【答案】 A 【解析】由题意可知，三角形的三条边长的和为 5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三 个顶点的距离都大于 1 的地方爬行，则它爬行的区域长度为 3＋10＋11＝ 24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为24 30 ＝4 5. 3.【2016 哈尔滨模拟】在体积为 V 的三棱锥 SABC 的棱 AB 上任取一点 P，则三棱 锥 SAPC 的体积大 于V 3 的概率是________． 【答案】 1－ π 12. 【解析】如图，与点 O 距离等于 1 的点的轨迹是一个半球面，其体积 V1＝1 2×4 3π×13 ＝2π 3 . 事件“点 P 与点 O 距离大于 1 的概率”对应的区域体积为 23－2π 3 ， 根据几何概型概率公式得，点 P 与点 O 的距离大于 1 的概率 P＝23－2π 3 23 ＝1 － π 12. 类型二 几何概型的交汇命题 【典例 1】【2015 高考山东文 7】在区间 0,2 上随机地取一个数,则事件“ 1 2 11 log 2x  （ ） 1” 发生的概率为( ) （A） 3 4 （B） 2 3 （C） 1 3 （D） 1 4 【答案】 A 考点；1.几何概型；2.对数函数的性质. 【思路点拨】本题考查几何概型及对数函数的性质，在理解几何概型概率计算方法的前提下， 解答本题的关键，是利用对数函数的单调性，求得事件发生的范围.本题属于小综合 题，较好地考查了几何概型、对数函数等基础知识. 【典例 2】【2015 高考陕西文 12】 设复数 ( 1)z x yi   ( , )x y R ，若| | 1z  ，则 y x 的概 率（ ） A． 3 1 4 2 B． 1 1 2  C． 1 1 4 2 D． 1 1 2  【答案】C 考点；1.复数的模长； 2.几何概型. 【思路点拨】1.本题考查复数的模长和几何概型，利用 z a bi  2 2| |z a b   把此题转化 成几何概型，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.2.求几何概型， 一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件 A 构成 区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解；求几何概型概率时， 一定要分清“试验”和“事件”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）.3. 本题属于题，注意运算的准确性. 【变式训练】 1.【2015 高考福建文】如图，矩形 ABCD 中，点 A 在轴上，点 B 的坐标为 (1,0) ．且 点C 与点 D 在函数 1, 0 ( ) 1 1, 02 x x f x x x      的图像上．若在矩形 ABCD 内随机取一 点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ） A． 1 6 B． 1 4 C． 3 8 D． 1 2 【答案】B 【解析】由已知得 (1,0)B ， (1,2)C ， ( 2,2)D  ， (0,1)F ．则矩形 ABCD 面积为 3 2 6  ， 阴影部分面积为 1 33 12 2    ，故该点取自阴影部分的概率等于 3 12 6 4  ． 考点；几何概型． 2.【2015 高考重庆文】在区间[0,5]上随机地选择一个数 p，则方程 2 2 3 2 0x px p+ + - = 有两 个负根的概率为________. 【答案】 3 2 考点；几何概率. 3.【2016 兰州模拟】已知线段 AC＝16 cm，先截取 AB＝4 cm 作为长方体的高，再 将线段 BC 任意分成两段作为长方形的长和宽，则长方体的体积超过 128 cm3 的 概率为________． 【答案】 1 3 【解析】依题意，设长方体的长为 x cm，则相应的宽为(12－x) cm，由 4x(12－x)>128， 得 x2－12x＋32<0 得 4

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