北京市清华大学2020届高三上学期11月中学生标准学术能力诊断性测试数学（理）试题（二卷） 含解析

北京市清华大学2020届高三上学期11月中学生标准学术能力诊断性测试数学（理）试题（二卷） 含解析

中学生标准学术能力诊断性测试2019年11月测试 理科数学试卷(二卷)‎ 本试卷共150分，考试时间120分钟.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合并集的定义求出，根据集体补集的定义求出.‎ ‎【详解】因为，，所以，又因为集合 ‎，所以，故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的并集、补集运算，掌握集合的并集、补集的定义是解题的关键.‎ ‎2.已知空间三条直线，若l与m异面,且l与n异面,则（ ）‎ A. m与n异面 B. m与n相交 C. m与n平行 D. m与n异面、相交、平行均有可能 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作出图形，进行判断即可.‎ ‎【详解】解：空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，‎ 则可能平行（图1），也可能相交（图2），也m与n可能异面（如图3），‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查空间直线的位置关系，着重考查学生的理解与转化能力，考查数形结合思想，属于基础题．‎ ‎3.复数满足，则( )‎ A. 恒等于1 B. 最大值为1，无最小值 C. 最小值为1，无最大值 D. 无最大值，也无最小值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设复数，其中，，由题意求出，再计算的值．‎ ‎【详解】解：设复数，其中，，‎ 由，得，‎ ‎，‎ 解得；‎ ‎，‎ 即有最小值为1，没有最大值．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．‎ ‎4.某几何体的三视图如图所示(单位：cm) ，则该几何体的表面积(单位：cm2)是( )‎ A. 16 B. ‎32 ‎C. 44 D. 64‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．然后由直角三角形面积公式求解．‎ ‎【详解】解：由三视图还原原几何体如图，‎ 该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，底面．‎ 则．‎ 该几何体的表面积．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．‎ ‎5.已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断由，能不能推出，而后再看由，能不能推出，然后通过充分性、必要性的定义得出答案.‎ ‎【详解】由不等式，可以构造一个函数：，可以判断该函数为偶函数且时，函数单调递增.当时，而，这时可以为负数、正数、零，因此的大小关系不确定，因此由“”不一定能推出“”.当成立时，利用偶函数的性质，可以得到：‎ ‎，而，因此有，所以有且，如果，则有，所以，这与矛盾，故，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，构造函数，利用函数的性质和不等式的性质是解题的关键.‎ ‎6.函数y＝ln|x|·cos(－2x)的图像可能是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性，和特殊值，可判断。‎ ‎【详解】解：‎ 所以函数是奇函数，关于原点对称，故排除；当时，故故排除 故选：‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性及已知函数解析式确定其函数图象问题，属于基础题。‎ ‎7.已知两个不相等的非零向量，，满足，且与－的夹角为60°，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，由已知与的夹角为可得，由正弦定理得，从而可求的取值范围 ‎【详解】解：设，，，‎ 如图所示：‎ 则由 又与的夹角为，‎ 又由 由正弦定理得 故选：．‎ ‎【点睛】本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．‎ ‎8.已知随机变量ξ的分布列，则下列说法正确的是( )‎ A. 存x，y∈(0，1)，E(ξ)> B. 对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤‎ C. 对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D. 存在x，y∈(0，1)，D(ξ)>‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表示出期望与方差，利用基本不等式证明不等关系。‎ ‎【详解】解：依题意可得，‎ 因为 所以即故，错误；‎ 即，故成立；‎ 故错误 故选：‎ ‎【点睛】本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算，属于难题。‎ ‎9.设函数，若，则的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意构造新函数，结合所给条件和函数的性质确定的取值范围即可．‎ ‎【详解】令，其中，‎ 取可得 ‎ 取可得 ‎ 取可得 ‎ 由可得：， ‎ 将代入可得：．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查构造函数解题的方法，整体代换的数学思想等知识，属于比较困难的试题．‎ ‎10.已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过且与一条渐近线平行的直线的方程，依题意在双曲线右支上存在点P，使得点到直线的距离为，则点到直线距离大于，可求出与的关系，即可求出离心率的取值范围。‎ ‎【详解】解：双曲线的渐近线为，由极限思想，设过且与一条渐近线平行的直线的方程为即，依题意若在双曲线右支上存在点P，使得点到直线的距离为，则点到直线距离大于，即 即 故选：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线中离心率的范围的求解，极限思想的运用，属于中档题。‎ ‎11.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别是边AB，CD的中点，现将△ABC沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系，设二面角为，用含的式子表示点坐标，利用向量法表示出线面角的正弦值的平方，构造函数利用函数的单调性求出，即可求出线面角的正切值的最大值。‎ ‎【详解】解：如图，‎ 以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设二面角为，可证，设棱形的边长为，则，，，，，‎ 易知平面的法向量 设直线与平面所成角为，则 令，‎ 则时即在上单调递增；‎ 时即在上单调递减；‎ 则 故选：‎ ‎【点睛】本题考查利用空间向量法求线面角的最值问题，综合性比较强，难度比较大。‎ ‎12.己数列{an}满足a1＝1，an＋1＝lnan＋＋1，记Sn＝[a1]＋ [a2]＋···＋[an]，[t]表示不超过t的最大整数，则S2019的值为( )‎ A. 2019 B. ‎2018 ‎C. 4038 D. 4037‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出数列的前几项，猜想时构造函数证明猜想是正确的，即可求出.‎ ‎【详解】解：依题意得，，‎ 可猜想时 证明：令 则 可得在单调递减，在单调递增.‎ 即 ‎，满足条件，故猜想正确；‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查由递推公式求数列的和，综合性较强，难度比较大。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由直线y=kx与圆相交得 ‎ 所以概率为 .‎ ‎14.如图，在△ABC中，AB>AC，BC＝，A＝60°，△ABC的面积等于，则角平分线AD的长等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用三角形的面积公式可求，由余弦定理可得，联立解得：‎ ‎，根据余弦定理可求的值，利用角平分线可得，结合，解得的值，在中，由余弦定理可得的值．‎ ‎【详解】解：，，的面积等于，‎ 解得：，①‎ 由余弦定理，‎ 可得：，‎ 解得：，②‎ 由①②联立解得：，或（由于，舍去）．‎ ‎， 为角平分线，可得，且，‎ 解得：，‎ 在中，由余弦定理可得：‎ ‎．‎ 故答案为： ．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎15.已知数列{an}满足an＋an＋1＝15－2n，其前n项和为Sn，若Sn≤S8恒成立，则a1的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意设，由递推式表示出、，要使恒成立则解得。‎ ‎【详解】解：设，因为，则，，，，，，，，；‎ 可知数列奇数项是递减的，且偶数项也是递减的.‎ 且当时 当时 要使恒成立 则解得即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推关系式及数列的前项和的性质，属于中档题。‎ ‎16.已知P为椭圆C：上一个动点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若，则d＝__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，的值得出点坐标，再求出切线方程，利用点到直线的距离公式计算．‎ ‎【详解】解：设，，则，‎ 不妨设在第一象限，则，，‎ 故以为圆心以为半径的圆为：，①‎ 以为圆心以为半径的圆为：，②‎ ‎①②得：，代入椭圆方程可得：，‎ 故，，‎ 当时，由得，故，‎ 椭圆在处的切线的斜率．‎ 切线方程为：，即，‎ 原点到切线的距离．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的性质，切线的求法，点到直线的距离应用，属于中档题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题：60分.‎ ‎17.已知函数f(x)＝sinx－cosx ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f(B)＝，b＝3，求△ABC面积的最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用辅助角公式将函数化简，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间；‎ ‎（2）由（1）可求利用余弦定理及重要不等式，可求面积最大值。‎ ‎【详解】解：‎ ‎（1）令，解得 ‎，‎ 故函数的单调递增区间为，‎ ‎（2）由 或，‎ 或，‎ 是三角形的内角，‎ 即 当且仅当时， 的面积取最大值是 ‎【点睛】本题考查三角函数的性质，余弦定理在解三角形中的应用，属于一般题。‎ ‎18.如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点.‎ ‎(1)求证：AE//平面PDC；‎ ‎(2)若BC＝CD＝PD，求直线AC与平面PBC所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．‎ ‎（2）推导出，由，得，再推导出，，从而平面，，，，进而平面，连结，，则就是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的余弦值．‎ ‎【详解】解：（1）证明：取的中点，连结、，‎ 是的中点，，且，‎ ‎，，，且，‎ 四边形是平行四边形，，‎ 又平面，平面．‎ ‎（2）解：，是等腰三角形，‎ ‎，又，，‎ 平面，平面，‎ ‎，又，平面，‎ 平面，，，‎ 又，平面，‎ 连结，，则就是直线与平面所成角，‎ 设，‎ 在中，解得，，，‎ 在中，解得，‎ 在中，，‎ 直线与平面所成角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19.已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各取2个球.‎ ‎(1)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；‎ ‎(2)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设事件“从甲盒内取出的个红球；事件为“从乙盒内取出的个红球”，表示出事件的概率，取出的4个球中恰有1个红球的，包含两个基本事件，利用互斥事件和概率计算公式计算；‎ ‎（2）为取出的4个球中红球的个数，则可能的取值为0，1，2，3，4，结合（1）中信息分别求出相应的概率，写出分布列即可．‎ ‎【详解】（1）设事件“从甲盒内取出个红球；事件为“从乙盒内取出的个红球” ‎ 则， ‎ 设事件为“取出的4个球中恰有1个红球”，‎ 取出的4个球中恰有1个红球的概率为，‎ ‎（2）可能的取值为0，1，2，3，4．‎ 由（1）得，，，‎ ‎，，‎ 则的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 即 ‎【点睛】本题考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列，考查运用概率知识解决实际问题的能力．‎ ‎20.如图，斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，直线PM垂直平分弦AB，且分别交AB、x轴于M、P，已知P(4，0).‎ ‎(1)求M点的横坐标；‎ ‎(2) 求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，，，，，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，解方程可得所求坐标；‎ ‎（2）设直线即，与抛物线联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，化简整理，运用导数判断单调性，可得最大值．‎ ‎【详解】解：（1）设，，，，，，‎ 则，，，‎ ‎，‎ 而，‎ 由得，即；‎ ‎（2）设直线即，‎ 与抛物线联立得，‎ 则，，‎ 所以，‎ 而到直线的距离为，‎ 所以，‎ 又由于，‎ 所以，‎ 令，则且，‎ 所以，‎ 令，‎ 则，‎ 当，，当时，，‎ 故，‎ 即面积的最大值为8．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若a＝0，求函数f(x)值域；‎ ‎(2)设函数f(x)的两个零点为x1，x2，且x1≠x2，求证：x1·x2>e2.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，即可计算出函数的最大值，即可求出函数的值域。‎ ‎（2）因为可得，设则，要证即证构造函数证明其恒大于零即可。‎ ‎【详解】解（1）当时，‎ 令解得 当时，,在上单调递增，‎ 当时，,在上单调递减，‎ 即函数的值域为 ‎（2）不妨设，‎ 即 设 要证 即证 即 设 在单调递增，‎ 即 ‎【点睛】本题考查导数与函数，利用导数求函数的最值及证明不等式，属于难题。‎ ‎(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；‎ ‎(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|＝4，求△MAB面积的最大值与最小值.‎ ‎【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，，可将直线的方程转化为直角坐标方程，由曲线的参数方程消去参数，可得其普通方程；‎ ‎（2）设，由条件可得，再由到直线的距离求出最值即可．‎ ‎【详解】解：（1）直线的极坐标方程为，即．‎ 由，，可得直线的直角坐标方程为，‎ 将曲线参数方程，消去参数，‎ 得曲线的普通方程为；‎ ‎（2）设，，‎ 点的极坐标化为直角坐标为，‎ 则，‎ 点到直线的距离，其中 所以 面积的最大值为，最小值为 ‎【点睛】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程转化为普通方程和利用参数法求点到直线的距离，考查了转化思想和计算能力，属中档题．‎ ‎23.已知a，b，c为正实数，且满足a＋b＋c＝3.证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ac≤3；‎ ‎(2).‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用重要不等式证明；‎ ‎（2）由基本不等式有：，，，三式相加可得：，即可证明．‎ ‎【详解】（1）证明：正实数，，满足，‎ ‎，，‎ 当且仅当时等号成立 ‎（2），，‎ 当且仅当时等号成立 ‎【点睛】本题考查了重要不等式、基本不等式的性质，属于基础题．‎ ‎ ‎