北京市清华大学2020届高三上学期11月中学生标准学术能力诊断性测试数学(理)试题(二卷) 含解析

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北京市清华大学2020届高三上学期11月中学生标准学术能力诊断性测试数学(理)试题(二卷) 含解析

中学生标准学术能力诊断性测试2019年11月测试 理科数学试卷(二卷)‎ 本试卷共150分,考试时间120分钟.‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合并集的定义求出,根据集体补集的定义求出.‎ ‎【详解】因为,,所以,又因为集合 ‎,所以,故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的并集、补集运算,掌握集合的并集、补集的定义是解题的关键.‎ ‎2.已知空间三条直线,若l与m异面,且l与n异面,则( )‎ A. m与n异面 B. m与n相交 C. m与n平行 D. m与n异面、相交、平行均有可能 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作出图形,进行判断即可.‎ ‎【详解】解:空间三条直线l、m、n.若l与m异面,且l与n异面,‎ 则可能平行(图1),也可能相交(图2),也m与n可能异面(如图3),‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查空间直线的位置关系,着重考查学生的理解与转化能力,考查数形结合思想,属于基础题.‎ ‎3.复数满足,则( )‎ A. 恒等于1 B. 最大值为1,无最小值 C. 最小值为1,无最大值 D. 无最大值,也无最小值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设复数,其中,,由题意求出,再计算的值.‎ ‎【详解】解:设复数,其中,,‎ 由,得,‎ ‎,‎ 解得;‎ ‎,‎ 即有最小值为1,没有最大值.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的概念与应用问题,是基础题.‎ ‎4.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积(单位:cm2)是( )‎ A. 16 B. ‎32 ‎C. 44 D. 64‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原原几何体如图,该几何体为三棱锥,底面是直角三角形,底面.然后由直角三角形面积公式求解.‎ ‎【详解】解:由三视图还原原几何体如图,‎ 该几何体为三棱锥,底面是直角三角形,底面.‎ 则.‎ 该几何体的表面积.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题.‎ ‎5.已知,则“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断由,能不能推出,而后再看由,能不能推出,然后通过充分性、必要性的定义得出答案.‎ ‎【详解】由不等式,可以构造一个函数:,可以判断该函数为偶函数且时,函数单调递增.当时,而,这时可以为负数、正数、零,因此的大小关系不确定,因此由“”不一定能推出“”.当成立时,利用偶函数的性质,可以得到:‎ ‎,而,因此有,所以有且,如果,则有,所以,这与矛盾,故,故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,构造函数,利用函数的性质和不等式的性质是解题的关键.‎ ‎6.函数y=ln|x|·cos(-2x)的图像可能是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性,和特殊值,可判断。‎ ‎【详解】解:‎ 所以函数是奇函数,关于原点对称,故排除;当时,故故排除 故选:‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性及已知函数解析式确定其函数图象问题,属于基础题。‎ ‎7.已知两个不相等的非零向量,,满足,且与-的夹角为60°,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,,由已知与的夹角为可得,由正弦定理得,从而可求的取值范围 ‎【详解】解:设,,,‎ 如图所示:‎ 则由 又与的夹角为,‎ 又由 由正弦定理得 故选:.‎ ‎【点睛】本题主考查了向量的减法运算的三角形法则,考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质,属于中档题.‎ ‎8.已知随机变量ξ的分布列,则下列说法正确的是( )‎ A. 存x,y∈(0,1),E(ξ)> B. 对任意x,y∈(0,1),E(ξ)≤‎ C. 对任意x,y∈(0,1),D(ξ)≤E(ξ) D. 存在x,y∈(0,1),D(ξ)>‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表示出期望与方差,利用基本不等式证明不等关系。‎ ‎【详解】解:依题意可得,‎ 因为 所以即故,错误;‎ 即,故成立;‎ 故错误 故选:‎ ‎【点睛】本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算,属于难题。‎ ‎9.设函数,若,则的取值范围是  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意构造新函数,结合所给条件和函数的性质确定的取值范围即可.‎ ‎【详解】令,其中,‎ 取可得 ‎ 取可得 ‎ 取可得 ‎ 由可得:, ‎ 将代入可得:.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查构造函数解题的方法,整体代换的数学思想等知识,属于比较困难的试题.‎ ‎10.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,使得点F2到直线PF1的距离为a,则该双曲线的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过且与一条渐近线平行的直线的方程,依题意在双曲线右支上存在点P,使得点到直线的距离为,则点到直线距离大于,可求出与的关系,即可求出离心率的取值范围。‎ ‎【详解】解:双曲线的渐近线为,由极限思想,设过且与一条渐近线平行的直线的方程为即,依题意若在双曲线右支上存在点P,使得点到直线的距离为,则点到直线距离大于,即 即 故选:‎ ‎【点睛】本题考查双曲线中离心率的范围的求解,极限思想的运用,属于中档题。‎ ‎11.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E,F分别是边AB,CD的中点,现将△ABC沿着对角线AC翻折,则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系,设二面角为,用含的式子表示点坐标,利用向量法表示出线面角的正弦值的平方,构造函数利用函数的单调性求出,即可求出线面角的正切值的最大值。‎ ‎【详解】解:如图,‎ 以的中点为坐标原点,建立空间直角坐标系,设二面角为,可证,设棱形的边长为,则,,,,,‎ 易知平面的法向量 设直线与平面所成角为,则 令,‎ 则时即在上单调递增;‎ 时即在上单调递减;‎ 则 故选:‎ ‎【点睛】本题考查利用空间向量法求线面角的最值问题,综合性比较强,难度比较大。‎ ‎12.己数列{an}满足a1=1,an+1=lnan++1,记Sn=[a1]+ [a2]+···+[an],[t]表示不超过t的最大整数,则S2019的值为( )‎ A. 2019 B. ‎2018 ‎C. 4038 D. 4037‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出数列的前几项,猜想时构造函数证明猜想是正确的,即可求出.‎ ‎【详解】解:依题意得,,‎ 可猜想时 证明:令 则 可得在单调递减,在单调递增.‎ 即 ‎,满足条件,故猜想正确;‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题考查由递推公式求数列的和,综合性较强,难度比较大。‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由直线y=kx与圆相交得 ‎ 所以概率为 .‎ ‎14.如图,在△ABC中,AB>AC,BC=,A=60°,△ABC的面积等于,则角平分线AD的长等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用三角形的面积公式可求,由余弦定理可得,联立解得:‎ ‎,根据余弦定理可求的值,利用角平分线可得,结合,解得的值,在中,由余弦定理可得的值.‎ ‎【详解】解:,,的面积等于,‎ 解得:,①‎ 由余弦定理,‎ 可得:,‎ 解得:,②‎ 由①②联立解得:,或(由于,舍去).‎ ‎, 为角平分线,可得,且,‎ 解得:,‎ 在中,由余弦定理可得:‎ ‎.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式,余弦定理,同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.‎ ‎15.已知数列{an}满足an+an+1=15-2n,其前n项和为Sn,若Sn≤S8恒成立,则a1的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意设,由递推式表示出、,要使恒成立则解得。‎ ‎【详解】解:设,因为,则,,,,,,,,;‎ 可知数列奇数项是递减的,且偶数项也是递减的.‎ 且当时 当时 要使恒成立 则解得即 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推关系式及数列的前项和的性质,属于中档题。‎ ‎16.已知P为椭圆C:上一个动点,F1、F2是椭圆C的左、右焦点,O为坐标原点,O到椭圆C在P点处的切线距离为d,若,则d=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算,的值得出点坐标,再求出切线方程,利用点到直线的距离公式计算.‎ ‎【详解】解:设,,则,‎ 不妨设在第一象限,则,,‎ 故以为圆心以为半径的圆为:,①‎ 以为圆心以为半径的圆为:,②‎ ‎①②得:,代入椭圆方程可得:,‎ 故,,‎ 当时,由得,故,‎ 椭圆在处的切线的斜率.‎ 切线方程为:,即,‎ 原点到切线的距离.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的性质,切线的求法,点到直线的距离应用,属于中档题.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:60分.‎ ‎17.已知函数f(x)=sinx-cosx ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若f(B)=,b=3,求△ABC面积的最大值.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用辅助角公式将函数化简,根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间;‎ ‎(2)由(1)可求利用余弦定理及重要不等式,可求面积最大值。‎ ‎【详解】解:‎ ‎(1)令,解得 ‎,‎ 故函数的单调递增区间为,‎ ‎(2)由 或,‎ 或,‎ 是三角形的内角,‎ 即 当且仅当时, 的面积取最大值是 ‎【点睛】本题考查三角函数的性质,余弦定理在解三角形中的应用,属于一般题。‎ ‎18.如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD//BC,BC=2AD,AD⊥CD,PD⊥平面ABCD,E为PB的中点.‎ ‎(1)求证:AE//平面PDC;‎ ‎(2)若BC=CD=PD,求直线AC与平面PBC所成角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取的中点,连结、,推导出四边形是平行四边形,从而,由此能证明平面.‎ ‎(2)推导出,由,得,再推导出,,从而平面,,,,进而平面,连结,,则就是直线与平面所成角,由此能求出直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎【详解】解:(1)证明:取的中点,连结、,‎ 是的中点,,且,‎ ‎,,,且,‎ 四边形是平行四边形,,‎ 又平面,平面.‎ ‎(2)解:,是等腰三角形,‎ ‎,又,,‎ 平面,平面,‎ ‎,又,平面,‎ 平面,,,‎ 又,平面,‎ 连结,,则就是直线与平面所成角,‎ 设,‎ 在中,解得,,,‎ 在中,解得,‎ 在中,,‎ 直线与平面所成角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明,考查线面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.‎ ‎19.已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球,现从甲,乙两个盒内各取2个球.‎ ‎(1)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;‎ ‎(2)设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1);(2)分布列见解析,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设事件“从甲盒内取出的个红球;事件为“从乙盒内取出的个红球”,表示出事件的概率,取出的4个球中恰有1个红球的,包含两个基本事件,利用互斥事件和概率计算公式计算;‎ ‎(2)为取出的4个球中红球的个数,则可能的取值为0,1,2,3,4,结合(1)中信息分别求出相应的概率,写出分布列即可.‎ ‎【详解】(1)设事件“从甲盒内取出个红球;事件为“从乙盒内取出的个红球” ‎ 则, ‎ 设事件为“取出的4个球中恰有1个红球”,‎ 取出的4个球中恰有1个红球的概率为,‎ ‎(2)可能的取值为0,1,2,3,4.‎ 由(1)得,,,‎ ‎,,‎ 则的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 即 ‎【点睛】本题考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列,考查运用概率知识解决实际问题的能力.‎ ‎20.如图,斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A、B两点,直线PM垂直平分弦AB,且分别交AB、x轴于M、P,已知P(4,0).‎ ‎(1)求M点的横坐标;‎ ‎(2) 求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,,,,,,运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式,解方程可得所求坐标;‎ ‎(2)设直线即,与抛物线联立,运用韦达定理和弦长公式,以及点到直线的距离公式,化简整理,运用导数判断单调性,可得最大值.‎ ‎【详解】解:(1)设,,,,,,‎ 则,,,‎ ‎,‎ 而,‎ 由得,即;‎ ‎(2)设直线即,‎ 与抛物线联立得,‎ 则,,‎ 所以,‎ 而到直线的距离为,‎ 所以,‎ 又由于,‎ 所以,‎ 令,则且,‎ 所以,‎ 令,‎ 则,‎ 当,,当时,,‎ 故,‎ 即面积的最大值为8.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的方程和性质,直线和抛物线方程联立,运用韦达定理和弦长公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若a=0,求函数f(x)值域;‎ ‎(2)设函数f(x)的两个零点为x1,x2,且x1≠x2,求证:x1·x2>e2.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数的导数,即可计算出函数的最大值,即可求出函数的值域。‎ ‎(2)因为可得,设则,要证即证构造函数证明其恒大于零即可。‎ ‎【详解】解(1)当时,‎ 令解得 当时,,在上单调递增,‎ 当时,,在上单调递减,‎ 即函数的值域为 ‎(2)不妨设,‎ 即 设 要证 即证 即 设 在单调递增,‎ 即 ‎【点睛】本题考查导数与函数,利用导数求函数的最值及证明不等式,属于难题。‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点P的极坐标为,直线l的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程;‎ ‎(2)若Q是曲线C上的动点,M为线段PQ的中点,直线l上有两点A,B,始终满足|AB|=4,求△MAB面积的最大值与最小值.‎ ‎【答案】(1),;(2)最大值为,最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由,,可将直线的方程转化为直角坐标方程,由曲线的参数方程消去参数,可得其普通方程;‎ ‎(2)设,由条件可得,再由到直线的距离求出最值即可.‎ ‎【详解】解:(1)直线的极坐标方程为,即.‎ 由,,可得直线的直角坐标方程为,‎ 将曲线参数方程,消去参数,‎ 得曲线的普通方程为;‎ ‎(2)设,,‎ 点的极坐标化为直角坐标为,‎ 则,‎ 点到直线的距离,其中 所以 面积的最大值为,最小值为 ‎【点睛】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程,参数方程转化为普通方程和利用参数法求点到直线的距离,考查了转化思想和计算能力,属中档题.‎ ‎23.已知a,b,c为正实数,且满足a+b+c=3.证明:‎ ‎(1)ab+bc+ac≤3;‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用重要不等式证明;‎ ‎(2)由基本不等式有:,,,三式相加可得:,即可证明.‎ ‎【详解】(1)证明:正实数,,满足,‎ ‎,,‎ 当且仅当时等号成立 ‎(2),,‎ 当且仅当时等号成立 ‎【点睛】本题考查了重要不等式、基本不等式的性质,属于基础题.‎ ‎ ‎
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