2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（大纲卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（大纲卷）

绝密★启用前 ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．已知是第二象限角，‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3．已知向量 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4．不等式 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6．函数 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7．已知数列满足 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8．已知且则的方程为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9．若函数 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10．已知曲线 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎11．已知正四棱锥的正弦值等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎12．已知抛物线与点，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．设 .‎ ‎14．从进入决赛的名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）‎ ‎15．若满足约束条件则 .‎ ‎16．已知圆和圆是球的大圆和小圆，其公共弦长等于球的半径，则球的表面积等于 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 等差数列中，‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）设 ‎18．（本小题满分12分）设的内角的对边分别为，。‎ ‎（I）求 ‎（II）若，求。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥都是边长为的等边三角形.‎ ‎（I）证明： （II）求点 ‎ ‎20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.‎ ‎（I）求第局甲当裁判的概率；（II）求前局中乙恰好当次裁判概率.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数 ‎（I）求；‎ ‎（II）若 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知双曲线离心率为直线 ‎（I）求；‎ ‎（II）证明：成等比数列 参考答案 一、选择题 ‎1．B 2. A 3. B 4. D 5. C 6. A 7. C 8. C 9. B 10. D 11. A 12. D ‎ ‎13. -1 14. 60 15. 0 16. ‎ ‎17． （Ⅰ）设等差数列的公差为d，则 因为，所以.‎ 解得，.‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ），‎ 所以.‎ ‎18.（Ⅰ）因为，‎ 所以.‎ 由余弦定理得，，‎ ‎ 因此，.‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 故或，‎ ‎ 因此，或.‎ ‎19. （Ⅰ）证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形.‎ ‎ 过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.‎ ‎ 连结OA，OB,OD,OE.‎ ‎ 由和都是等边三角形知PA=PB=PD，‎ ‎ 所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，‎ ‎ 故，从而. ‎ ‎ 因为O是BD的中点，E是BC的中点，‎ 所以OE//CD.因此，. ‎ ‎（Ⅱ）解：取PD的中点F，连结OF，则OF//PB.‎ ‎ 由（Ⅰ）知，，故.‎ ‎ 又，，‎ ‎ 故为等腰三角形，因此，.‎ ‎ 又，所以平面PCD.‎ ‎ 因为AE//CD，平面PCD，平面PCD，所以AE//平面PCD.‎ ‎ 因此，O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而，‎ ‎ 所以A至平面PCD的距离为1.‎ ‎20. （Ⅰ）记表示事件“第2局结果为甲胜”，‎ ‎ 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，‎ ‎ A表示事件“第4局甲当裁判”.‎ 则. ‎ ‎. ‎ ‎（Ⅱ）记表示事件“第1局结果为乙胜”，‎ 表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，‎ 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，‎ B表示事件“前4局中恰好当1次裁判”.‎ 则.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎21. （Ⅰ）当时，‎ ‎ .‎ ‎ 令，得，，.‎ 当时，，在是增函数；‎ 当时，，在是减函数；‎ 当时，，在是增函数；‎ ‎（Ⅱ）由得，.‎ 当，时，‎ ‎，‎ 所以在是增函数，于是当时，.‎ 综上，a的取值范围是.‎ ‎22. （Ⅰ）由题设知，即，故.‎ ‎ 所以C的方程为.‎ ‎ 将y=2代入上式，求得，.‎ ‎ 由题设知，，解得，.‎ ‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，C的方程为. ①‎ 由题意可设的方程为，，代入①并化简得，‎ ‎.‎ 设，，则 ‎，，，.‎ 于是 ‎，‎ 由得，，即.‎ 故，解得，从而.‎ 由于，‎ ‎，‎ 故，‎ ‎.‎ 因而，所以、、成等比数列. ‎